數據庫函數依賴，屬性集閉包

函數依賴的閉包

定義：若F爲關係模式R(U)的函數依賴集，咱們把F以及全部被F邏輯蘊涵的函數依賴的集合稱爲F的閉包，記爲F+。
即：F+={X→Y|X→Y∈F∨「應用Armstong公理從F中導出的任何X→Y」}
△ F包含於F+，若是F=F+，則F爲函數依賴的一個完備集。
△ 規定：若X爲U的子集，X→Φ 屬於F+。

關係模式R<U,F>如有n個屬性，則在模式R上可能成立的函數依賴有4n個，其中n個屬性中組合成X有2n個,組合成Y有2n個。

例:已知關係模式R(ABC),F={A→C,B→C},求F+

解：∵U={A，B，C}，左部不一樣的屬性集組合有23=8種：

Φ、A、B、C、AB、BC、AC、ABC。

（1）∴Φ→Φ

（2）∵(A)F+=AC

∴A→Φ、A→A、A→C、A→AC。

（3）∵(B)F+=BC

∴B→Φ、B→B、B→C、B→BC。

（4）∵(C)F+=C

∴C→Φ、C→C。

（5）∵(AB)F+=ABC

∴AB→Φ、AB→AB 、AB→A、AB→B 、AB→C、AB→BC 、AB→AC、AB→ABC 。

（6）∵(BC)F+=BC

∴BC→Φ、BC→BC、BC→B、BC→C。

（7）∵(AC)F+=BC

∴AC→Φ、AC→BC、AC→B、AC→C。

（8）∵(ABC)F+=ABC

∴ABC→Φ、ABC→ABC 、ABC→A、ABC→B 、ABC→C、ABC→BC 、ABC→AB、ABC→AC。

因此F+共有35個具體以下：

∴Φ→Φ、A→∅、A→A、A→C、A→AC

B→Φ、B→B、B→C、B→BC

C→Φ、C→C、 AB→∅、AB→AB 、AB→A、AB→B 、AB→C、AB→BC 、AB→AC、AB→ABC 、

BC→Φ、BC→BC、BC→B、BC→C、

AC→Φ、AC→BC、AC→B、AC→C、

ABC→Φ、ABC→ABC 、ABC→A、ABC→B 、ABC→C、ABC→BC 、ABC→AB、ABC→AC
轉載於：https://blog.csdn.net/xr_acmer/article/details/22893987

函數依賴集的閉包

F：FD的集合稱爲函數依賴集。

F閉包：由F中的全部FD能夠推導出全部FD的集合，記爲F+。

例1，對於關係模式R(ABC)，F＝{A→B,B→C}，求F+。

根據FD的定義，可推出F+={φ→φ,A→φ,A→A,A→B,A→C,A→AB,A→BC,A→ABC,…}，共有43個FD。其中，φ表示空屬性集。

屬性集閉包

屬性集閉包定義 ：
對F，F+中全部X→A的A的集合稱爲X的閉包，記爲X+。能夠理解爲X+表示全部X能夠決定的屬性。

屬性集閉包的算法：

A+：將A置入A+。對每一FD，若左部屬於A+，則將右部置入A+，一直重複至A+不能擴大。

超鍵、候選鍵

若X+包含R的全部屬性，則X是超鍵。當X不可約時則爲候選鍵。 如上例：A+＝ABC，則A爲超鍵，由於A不可約則爲候選鍵。

設關係模式R中U=ABC.......等N個屬性，U中的屬性在FD中有四種範圍：

(1)左右出現;
(2)只在左部出現;
(3)只在右部出現;
(4)不在左右出現;

求候選鍵算法：
1.R:只在FD右部出現的屬性，不屬於候選碼;
2.L:只在FD左部出現的屬性，必定存在於某候選碼當中;
3.N:外部屬性必定存在於任何候選碼當中;
4.其餘屬性逐個與2,3的屬性組合，求屬性閉包，直至X的閉包等於U,若等於U,則X爲候選碼。
例2，對於關係模式R(ABCD)，F＝{A→B,B→C,D→B}，求其候選鍵。

先按照屬性集閉包的算法，求各個閉包,而後求得候選鍵。

(1) 求A+。

① A+＝A。
② 由A→B，而A €A+可知，則A+＝AB。

③ 由B→C，而B A+可知，則A+＝ABC。

④ A+封閉，即A+＝ABC。

(2) 求B+、C+、D+。

按步驟(1)可得：B+＝BC，C+＝C，D+＝BCD。

(3) 求其候選鍵。 顯然，R的候選鍵爲AD。

例3，對於關係模式R(ABC)，F={A→BC,BC→A}，求其候選鍵。

(1) 求屬性的閉包。
按例2可得：A+＝ABC，B+＝B，C+＝C。

(2) 求屬性集的閉包。
由BC→A，則(BC)+＝ABC，其他屬性集閉包爲屬性閉包的並集。

(3) 求其候選鍵。 顯然，R的候選鍵爲A和BC。

最小函數依賴集

定義：若是函數依賴集F知足如下條件，則稱F爲一個極小函數依賴集。也稱爲最小依賴集或最小覆蓋。

(1)F中任一函數依賴的右部僅含有一個屬性。

(2)F中不存在這樣的函數依賴X→A，使得F與F-{X→A}等價。

(3)F中不存在這樣的函數依賴X→A，X有真子集Z使得F-{X→A}U{Z→A}與F等價。

最小依賴集通用算法：

① 用分解的法則，使F中的任何一個函數依賴的右部僅含有一個屬性；

② 去掉多餘的函數依賴：從第一個函數依賴X→Y開始將其從F中去掉，而後在剩下的函數依賴中求X的閉包X+，看X+是否包含Y，如果，則去掉X→Y；不然不能去掉，依次作下去。直到找不到冗餘的函數依賴；

③ 去掉各依賴左部多餘的屬性。一個一個地檢查函數依賴左部非單個屬性的依賴。例如XY→A，若要判Y爲多餘的，則以X→A代替XY→A是否等價？若A屬於(X)+，則Y是多餘屬性，能夠去掉。

例四、求F={A→B,B→A,B→C,A→C,C→A},最小（極小）函數依賴集合

一、利用分解規則，將全部的函數依賴變成右邊都是單個屬性的函數依賴。從題目來看，F中的任何一個函數依賴的右部僅含有一個屬性：
{A→B,B→A,B→C,A→C,C→A}

二、去掉F中多餘的函數依賴

（1）設A→B冗餘，從F中去掉A→B,則F1={B→A,B→C,A→C,C→A}。計算(A)F1+：設X(0)=A,計算X(1)：掃描F1中各個函數依賴，找到左部爲A或A子集的函數依賴，A→C。故有X(1)=X(0)U C=AC;掃描F1中各個函數依賴，找到左部爲AC或爲AC子集的函數依賴，C→A,X(2)=X(1)U C=AC.但AC不包含B，故A->B不能從Ｆ中去掉。

（2）設B→A冗餘，從F中去掉B→A，則F2={A→B,B→C,A→C,C→A}。計算(B)F2+:設X(0)=B，計算X(1)：掃描F2中各個函數依賴，找到左部爲B或者B子集的函數依賴，B→C.故有X(1)=X(0)U C =BC;掃描F2中各個函數依賴，找到左部爲BC或爲BC子集的函數依賴，C->A,X(2)=X(1)U A=ABC.X(2)包含全部屬性，故B→A可從Ｆ中去掉。

（3）設B→C冗餘，從F中去掉B→C，則F3={A→B,A→C,C→A}。計算(B)F3+：掃描F3中各個函數依賴，找不到左部爲B或B子集的函數依賴,由於找不到這樣的函數依賴，故有X(1)=X(0)=B，(B)F1+= B不包含C，故B→C不是冗餘的函數依賴，不能從F1中去掉。

（4）設A→C冗餘，從F中去掉A→C，則F4={A→B,B→C，C→A}。計算(A)F4+：設X(0)=A,計算X(1)：掃描F4中各個函數依賴，找到左部爲A或A子集的函數依賴，A→B。故有X(1)=X(0)U B=AB;掃描F4中各個函數依賴，找到左部爲AB或爲AB子集的函數依賴，B→C,X(2)=X(1)U C=ABC.X(2)包含全部屬性，故A→C可從Ｆ中去掉。

（5）設C→A冗餘，從F中去掉C→A，則F4={A→B,B→C}。計算(C)F5+：設X(0)=C,計算X(1)：掃描F5中各個函數依賴，找到左部爲C或C子集的函數依賴，找不到左部爲C或C子集的函數依賴,由於找不到這樣的函數依賴，故有X(1)=X(0)=C，(B)F1+= C不包含A，故C→A不是冗餘的函數依賴，不能從F中去掉。

（6）至此，全部依賴均以驗算完畢，故F最小（極小）函數依賴集合爲：{A→B,B→C，C→A}

轉載於：https://www.cnblogs.com/bewolf/p/4445027.html