（ZZ）素數算法大全，及C程序實現優化詳解 (一) 試除法

常常有初學者詢問求解N內全部素數（質數）的問題，對此，網上的解答也不少，但不少要麼不夠專業，要麼只有程序沒有算法解析，因此三藏大廈對此問題作個小結，探討一下求解素數的常見算法，同時給出相應的C語言程序及其解析。爲了方便初學者理解，本文將從易到難闡述不一樣算法，高手能夠直接看後面的高效算法

質數的定義

一個數，若是隻有1和它自己兩個因數，這樣的數叫作質數，又稱素數。 

試除判斷法

算法描述：從上述定義可知，素數不能被1和它自己以外的數整除，因此，判斷一個數x是否素數只要看它是否能被2~sqrt(x)間的數整除便可；而求N內全部素數則是循環重複上述過程。

C語言實現：

#include <time.h>
#include <malloc.h> 
#define N 100000
// 簡單試除判斷法 Ver1 
int SimpleDivisionV1(int n)
{
 int i,j;
 // 素數數量統計 
 int count = 0;
 // 分配存放結果的空間 
 int* primes = (int*)malloc( sizeof(int)*n ); 
 
 // 2是素數誰都知道，不算了 
 primes[count++] = 2;
 // 循環計算3~n間的數 
 for (i=3; i<=n; i++)
 {
  // 爲何是sqrt(i)，思考一下 
  for (j=2; j<=sqrt(i); j++)
  {
   // i被j整除，顯然不是素數了 
   if (i%j == 0) break;
  }
  // i不能被2~sqrt(i)間的數整除,素數也 
  if (j > sqrt(i))
  {
   primes[count++] = i;
  }
 }
 
 // 因輸出費時，且和算法核心相關不大，故略
  
 // 釋放內存，別忘了傳說中的內存泄漏 
 free(primes);
 
 return count;
} 

void main()
{
 int count;
 clock_t start, end;
 // time函數不夠精確，用clock湊合一下吧 
 start = clock(); 
 count = SimpleDivisionV1(N);
 
 end = clock();
 printf("[%d]之內素數個數：%d, 計算用時：%d毫秒\n", N, count, end-start);
 getch(); 
}

計算結果：
[100000]之內素數個數：9592, 計算用時：468毫秒
[1000000]之內素數個數：78498, 計算用時：10859毫秒
[5000000]之內素數個數：348513, 計算用時：103560毫秒

噢噢，算算十萬還行，百萬就10秒多了，並且時間增加很快，這不行，得優化一下！

優化分析：

仔細研究一下SimpleDivisionV1咱們能夠發現如下幾個問題：

1. 在循環條件中重複調用sqrt(i)顯然是比較浪費時間的
2. 判斷素數，真的須要拿2~sqrt(i)間的全部整數去除嗎？咱們知道，合數均可以分解成若干質數，因此只要2~sqrt(i)間的質數不能整除i便可

根據上面兩點，咱們可將SimpleDivisionV1升級爲SimpleDivisionV2，以下

 // 簡單試除判斷法 Ver2 
int SimpleDivisionV2(int n)
{
 int i, j, k, stop;
 // 素數數量統計 
 int count = 0;
 // 分配存放結果的空間 
 int* primes = (int*)malloc( sizeof(int)*n ); 
 
 // 2是素數誰都知道，不算了 
 primes[count++] = 2;
 stop = count;
 // 循環計算3~n間的數 
 for (i=3; i<=n; i++)
 {
  k = sqrt(i);
  // 在循環條件中重複調用sqrt是低效作法，故引入k 
  while (primes[stop] <= k && stop < count)
   stop++;
  // stop幹什麼用，思考一下
  for (j=0; j<stop; j++)
  {
   if (i%primes[j] == 0) break;
  }
  // i不能被2~sqrt(i)間的素數整除，天然也不能被其餘數整除,素數也 
  if (j == stop)
  {
   primes[count++] = i;
  }
 }
 
 // 因輸出費時，且和算法核心相關不大，故略
  
 // 釋放內存，別忘了傳說中的內存泄漏 
 free(primes);
 
 return count;
}

而後將main中調用的函數替換爲SimpleDivisionV2，在看一下執行結果：

[100000]之內素數個數：9592, 計算用時：46毫秒
[1000000]之內素數個數：78498, 計算用時：546毫秒
[5000000]之內素數個數：348513, 計算用時：3515毫秒
[10000000]之內素數個數：664579, 計算用時：8000毫秒

很開心的看到，通過優化，速度提升了幾十倍，尤爲是時間增加曲線的坡度變小了，N值越大，V2函數比V1的效率就越高

對於試除判斷這種質數算法來講，三藏認爲SimpleDivisionV2基本已經接近極限，不大可能有量級上的突破了，有興趣的朋友能夠本身進一步優化。初學者除了參看上述例子外，能夠嘗試作各類修改及細節優化，也能夠將除法變乘法，多加練習是學習編程的好方法。

雖然，上例中V2已經比V1快了不少了，但隨着N的增大，耗時仍是很多，那麼咱們還有更好的方法嗎？