UVA11300 Spreading the Wealth 數學

前方數學警告

題目連接:https://onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=25&page=show_problem&problem=2275

https://www.luogu.com.cn/problem/UVA11300

分析:

搞了這麼久終於碰到一個數學題了，這也是本蒟蒻作的第一個數學題吧，值得記念。
第一次看見這題的時候，嗯，好像是個暴力。。。而後就打了一個暴力，發現樣例過了？但本身造了組數據就有了點問題，我暴力的思路是因爲一我的只能給左邊或右邊，因而把這兩種狀況都枚舉一下，取最小值就好，但有可能跑一遍不能讓整個數組都變成我想要的那個值，故我又加了一個bool表示有無把全部數字都變成那個數，這麼寫確定T啊。
我:萬一數據水呢？
數據:我不水。
因此交上去果斷T掉了，我又想驗證一下這麼寫可不能夠，找某人代碼過來對拍了一下，而後結果是我居然把一個A掉的代碼給拍出了錯解？嗯，看來寫個暴力仍是有收穫的，我其實很想把那個代碼粘上來的，但它88行有點長我沒存不當心弄丟了，來看一下正解吧。

首先我最開始發現的那個性質是沒有問題的，即每一個人只會被它周圍的人影響，一旦他周圍的人的轉移硬幣數肯定了，那麼這我的的轉移硬幣數也可求，因而受這一點啓發，不妨設\(x_i\)表示第\(i\)我的給第\(i-1\)我的的硬幣數，當\(i==1\)時，爲給\(n\)的硬幣數。因爲最後要求全部人金幣同樣（共產主義），因此最後每一個人的金幣數量是肯定的，即\(M=tot/n\)，也就是說每一個人最後都是\(M\)，因而有\(A_i+x_{i+1}-x_i=M\)，就是原來有的加上獲得的減去失去的等於最終的，光看這個式子，這啥也看不出來啊，因此繼續觀察這個式子，發現它跟周圍的式子相加會出現一個神奇的結果，咱們加一下看看。
\(A_1+x_2-x_1=M\) 1
\(A_2+x_3-x_2=M\) 2
\(A_3+x_4-x_2=M\) 3
1+2得\(A_1+A_2+x_3-x_1=M*2\) -> \(x_3=x_1-(A_1+A_2-M*2)\)
1+2+3得\(x_4=x_1-(A_1+A_2+A_3-M*3)\)
………………
不難概括得出\(x_n=x_1-\)\(\sum_{i=1}^n(A_{i-1}+(i-1)*M\)\()\)
有這個式子咱們就能夠很簡單困難的求出答案了，設\(B_i=\)\(\sum_{i=1}^n(A_{i-1}+(i-1)*M\)，\(B\)數組能夠由遞推獲得，那麼問題就簡化成了在數組\(B\)中求一個數，使得剩餘數到它的距離之和最小，答案是中位數，證實以下。

假設\(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\)有序，則\(a_3\)是中位數無疑，咱們用線段來表示點與點之間的距離，能夠看出藍色框框內的線段是必不可少的，無論怎麼劃分都必需要有，若是這個點在\(a_3\)的左邊，那麼就會多出粉色的一截，在右邊就會多出紅色的一截，因此在中位數時是最小的。
那偶數呢？偶數不是有兩個中位數嗎？偶數時也畫出一個這樣的圖，會發現當點在兩個中位數之間距離都是同樣的，而且是最小，因此爲了方便，每次中位數都取\(n+1>>1\)就能夠了。

中位數怎麼找呢，排序一遍能夠，但複雜度是\(O(nlogn)\)的，若是要使數組有序，那麼確定是要\(sort\)的，這裏只求中位數，因此能夠用\(nth\)\(element\)，這個函數的用法是\(nth\)\(element(A+a,b,A+c)\)，表示將數組A的區間\([a,c)\)中第b大的數放在b位置上，不保證數組有序，但比這個數大的都在它前邊，比它小的在它後邊，平均時間複雜度\(O(n)\)。

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e6+10;
ll a[N],b[N];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n;
    while(cin>>n){
        ll tot=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            cin>>a[i],tot+=a[i],b[i]=0;
        tot/=n;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            b[i]=b[i-1]+a[i]-tot;
        int mid=n+1>>1;
        nth_element(b+1,b+mid,b+n+1);
        ll temp=b[mid],res=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            res+=abs(temp-b[i]);
        cout<<res<<'\n';
    }
}

tips:cout<<endl的確比cout<<'\n'慢一點。