【bzoj2121】字符串游戲 區間dp

題目描述

給你一個字符串L和一個字符串集合S，若是S的某個子串在S集合中，那麼能夠將其刪去，剩餘的部分拼到一塊兒成爲新的L串。問：最後剩下的串長度的最小值。

輸入

輸入的第一行包含一個字符串，表示L。

第二行包含一個數字n，表示集合S中元素個數。

如下n行，每行一個字符串，表示S中的一個元素。

輸入字符串都只包含小寫字母。

輸出

輸出一個整數，表示L的最短長度。

樣例輸入

aaabccd
3
ac
abc
aaa

樣例輸出

2

---

題解

咱們考慮：每次刪除連續的一段，對應到原串上即：刪除 $[l,r]$ 中全部未被刪除的字符。其中 $l,r$ 都未被刪除。

這樣就至關於選擇若干區間來刪除。

注意到選擇的任意兩個區間要麼包含要麼不相交（相離），對於相鄰的相離的也能夠看做是包含（右區間左端點看做是左區間左端點，即一個空位置），所以只有包含關係。

那麼以下圖：

先選擇 $[b,c]$ 的串 $S$ ，再選擇 $[a,d]$ 的串 $T$ ，能夠看做是處理出 $[a,b)$ 可以匹配到 $T$ 的中間位置，$[b,c]$ 可以匹配到 $S$ 的結束位置（即刪除掉），進而推知 $[a,c]$ 可以匹配到 $T$ 的中間位置，再向右匹配得知 $[a,d]$ 可以匹配到 $T$ 的結束位置。

考慮區間dp。設 $f[l][r]$ 表示 $[l,r]$ 是否能夠所有刪掉，再設 $g[l][r][i][j]$ 表示 $[l,r]$ 是否可以刪成第 $i$ 個字符串的前 $j$ 個字符。

那麼考慮區間 $[l,r]$ ，若是進行匹配的話轉移爲 $g[l][r][i][j]=g[l][r-1][i][j-1]$ ，前提條件 $str[r]==w[i][j]$ ，即區間右端點和第 $i$ 個串的第 $j$ 個字符相同。

若是不進行匹配的話，$r$ 必定在某個 $[k,r]$ 中被消掉，所以枚舉 $k\in[l,r]$ ，轉移爲 $g[l][r][i][j]=g[l][k-1][i][j]\&\&f[k][r]$ 。

根據 $f$ 的定義有轉移 $f[l][r]=g[l][r][i][len[i]]$ 。

這樣咱們就可以推出 $f$ 和 $g$ 。

再考慮答案：設 $h[i]$ 表示前 $i$ 個字符的答案，那麼 $h[i]=h[i-1]+1$ ；若是某個 $j$ 知足 $f[j][i]=1$ ，即 $[j,i]$ 能刪掉，則還有 $h[i]=h[j-1]$ 。

最終答案就是 $h[n]$ 。

時間複雜度 $O(n^3·m·len)$ 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
bool f[155][155] , g[155][155][35][25];
char str[155] , w[35][25];
int c[35] , ans[155];
int main()
{
	int n , m , len , l , r , i , j , k;
	scanf("%s%d" , str + 1 , &m) , n = strlen(str + 1);
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) scanf("%s" , w[i] + 1) , c[i] = strlen(w[i] + 1);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		f[i][i - 1] = 1;
		for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
			g[i][i - 1][j][0] = 1;
	}
	for(len = 1 ; len <= n ; len ++ )
	{
		for(l = 1 ; l <= n - len + 1 ; l ++ )
		{
			r = l + len - 1;
			for(i = 1 ; i <= m ; i ++ )
			{
				for(j = 1 ; j <= c[i] ; j ++ )
					if(str[r] == w[i][j])
						g[l][r][i][j] |= g[l][r - 1][i][j - 1];
				for(j = 0 ; j <= c[i] ; j ++ )
					for(k = l ; k <= r ; k ++ )
						g[l][r][i][j] |= g[l][k - 1][i][j] & f[k][r];
			}
			for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) f[l][r] |= g[l][r][i][c[i]];
		}
	}
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		ans[i] = ans[i - 1] + 1;
		for(j = 1 ; j <= i ; j ++ )
			if(f[j][i])
				ans[i] = min(ans[i] , ans[j - 1]);
	}
	printf("%d\n" , ans[n]);
	return 0;
}