淺析邏輯代數、命題邏輯、一階邏輯、高階邏輯和數理邏輯

前言

  此文是在本人學習完離散數學中的數理邏輯部分後，對標題中各部分之間的聯繫存在很大的疑惑。特此進行總結，水平有限，若有錯誤，歡迎指正。

從邏輯代數開始

  邏輯代數是一種用於描述客觀事物邏輯關係的數學方法，由英國科學家喬治·布爾 (George·Boole) 於19世紀中葉提出，於是又稱布爾代數。

  所謂邏輯代數，就是把邏輯推理過程代數化，即把邏輯推理過程符號化。

從邏輯代數到命題邏輯

  一樣的，命題邏輯是將那些具備真假意義的陳述句接着進行符號化，產生原子命題。與此同時，當咱們把邏輯代數中的運算符：與( · )、或( + )、非( - )，替換成命題邏輯中的聯結詞集：合取( ∧ )、析取( ∨ )、非( ¬ )、蘊涵( → ) 和等價( ↔ ) 以後，咱們就進入了命題邏輯的研究領域。

  須要指出的是，一般也將命題邏輯稱做命題演算，後者的出現就是用來討論前者的，這裏再也不區分。它與下面出現的一階邏輯（謂詞邏輯）都是數理邏輯的子集（或稱之爲分支），是數理邏輯的兩個最基本的也是最重要的組成部分。

  有人可能會問，爲何不從數理邏輯開始，其實意義不大。要談數理邏輯，不可避免的下一個主題就是邏輯代數。爲何這樣說呢？由於數理邏輯一開始的誕生是沒有意義的，它的創始人正是咱們熟知的萊布尼茨（沒錯，就是高數中的那個牛頓-萊布尼茨公式）。萊布尼茨一開始是想要創建一套廣泛的符號語言，從而將一些由天然語言的推理轉換成用符號演算。但惋惜他的工做只是開了個頭，並且沒有太多的發表，所以影響不大。而真正使數理邏輯這門學科迅速擴張的是開頭所說的英國科學家——喬治·布爾，而他所作的正是將邏輯代數化。

淺談數理邏輯與數學和邏輯學

  數理邏輯又稱符號邏輯、理論邏輯，是一門用數學方法研究邏輯或形式邏輯的學科，這是百度詞條給出的解釋。還有一句話很是拗口：它既是數學的一個分支，也是邏輯學的一個分支。其研究對象是對證實和計算這兩個直觀概念進行符號化之後的形式系統。簡單來說，數理邏輯研究的並非數學領域，而是計算機科學等領域。但歸根到底用到的仍是數學方法，例如數學方法中的符號的使用、公式的定義等。

  數理邏輯除了跟數學有關，還跟邏輯學有關。其實我一直覺得邏輯學是數學的一個分支，但當我檢索信息時發現並非這樣簡單。由於沒有學過邏輯學，只能暫時認爲二者的研究對象、研究任務和研究目標是不一樣的。但最重要的一點是，二者是不可割裂的。由於邏輯出如今數學中，就是爲了證實數學中所不能證實的。而邏輯用來推斷未知，那麼這些未知就須要用數學中的方法來表現出來。

數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。主要研究：數量、結構、空間和基礎與哲學。
邏輯是人的一種抽象思惟，是人經過概念、判斷、推理、論證來理解和區分客觀世界的思惟過程。邏輯學就是由上述過程產生的一門學科。邏輯的本質是尋找事物的相對關係，並用已知推斷未知。

命題邏輯的符號化思想

  關於命題邏輯，相信學過離散的人都很熟悉。這裏只提一下命題邏輯的符號化思想，這又是一種抽象的方法。數理邏輯的誕生就是代替使用天然語言進行推理，所以必須對其符號化，用元符號進行表示。而這種符號化帶來的好處就是消除了天然語言中的二義性，例如 「非 p」，這是一個典型的半符號化命題，天然語言 「非」 會產生二義性，由於你能夠把 「非 p」 解釋成 「p 不成立」 等。爲此，命題邏輯進一步符號化，用 「¬」 來代替 「非」，「不成立」 等。而且還定義一系列規則，好比說：¬p 爲真當且僅當 p 爲假。

  符號化思想也帶來了一些在數理邏輯中不可以處理的麻煩，甚至是一些常見的簡單推理。這裏引用書上的一個例子，考慮這一命題：凡偶數都能被 2 整除，6 是偶數，因此，6 能被 2 整除。這個問題若是使用命題邏輯中的形式化推理，將沒法判斷正確性。在命題邏輯中只能將推理中出現的 3 個簡單命題依次符號化爲 p，q，r，將推理的形式結構符號化爲 (p ∧ q) → r，因爲該式不是重言式，因此不可以由它判斷推理的正確性。問題就出如今這個 「凡」 字，命題邏輯不可以解釋這一陳述句的本意。

  爲此，引入了一階邏輯中的主角——量詞。

從命題邏輯到一階邏輯

  一階邏輯也稱爲謂詞邏輯，在命題邏輯中，命題是一個具備真假意義的陳述句，但在推理過程當中每每會忽視命題具體想要陳述的本意。所以，咱們引入元符號來描述命題邏輯中的簡單命題中的每個成分，再將它們組合起來。也就是分別描述成個體詞、謂詞和量詞。這樣一來，在事先定義好的個體域上，個體詞 + 謂詞 + 量詞就能夠在推理的形式結構符號化中表述（拼湊出）數學中的簡單命題的本意。

  但個人疑問不是爲何引入一階邏輯，而是一階邏輯究竟是怎麼定義的，它跟二階、高階邏輯究竟是什麼關係。

從一階邏輯到二階、高階邏輯

  做爲一個初學者，實在不適合繼續探討一階邏輯與二階、高階邏輯的區別。但我仍是但願可以表達一下本身的見解。

  百度詞條對一階邏輯的解釋很粗暴——一階邏輯是相對於高階邏輯存在的數理邏輯，它不容許量化性質。好比說一個物體的顏色，狀態等。這麼說，暫時也夠用了。但在二階邏輯中，解除了這一限制，也就是說，謂詞可以被量詞修飾了，若是對於一個命題中的個體詞，它存在任意性質或關係，那麼就能夠在二階邏輯中用全稱量詞來表達。這在一階邏輯中是沒法表達出來的。暫時先理解到這裏吧。

  至於爲何再也不探討高階邏輯，那已是邏輯學的範疇了。不過我會繼續學習並補充下去的。

題外話

  有時候，我在電腦前走來走去的時候會在想：「數理邏輯的嚴謹性究竟是基於什麼 ？」，這一切可能都源於萊布尼茨發現 0 和 1 之間這一微妙的聯繫吧。直到今天，咱們還沿用基於 0 和 1 的二進制，例如計算機系統。

爲何計算機要採用二進制，而不是經常使用的八進制、十六進制呢？由於任何一種事物、一種狀態，要將之量化，最直接、最明瞭的方法就是將之區分爲兩極。這不可是事物最根本的狀態，也是最利於表達的狀態。二進制符合計算機的設計思想，電流的速度是很是快的，而電流最明顯的兩種狀態就是導通和截止，這無疑也適合於二進制的使用。

所以，在計算機的邏輯電路中，人們就使用 0 和 1 兩個數字來表明兩種狀態。這樣一來，一個晶體管就能夠用 01 碼錶示一條現代集成電路設計已徹底採用了二進制語言信息。若是有兩個晶體管，就可能產生 01，10，00，11 四種狀態的組合，就能表示 4 條信息。依次類推，有 n 個晶體管，就能夠表示 2² 條信息。因爲隨着 n 的增加，信息量是按幾何級數增加的。因此，可表示的信息狀態是極其可觀的。

英特爾創始人、集成電路發明者戈登·摩爾，在上個世紀就已經用集成電路技術把成千上萬個晶體管作在一塊兒，其處理信息的能力是可想而知的。

  其實很是湊巧的是，咱們前幾天纔在計算機英語上了解了萊布尼茨，下面截取的是老師給的 PPT，讓咱們來體會一下：

寫在最後

  感謝您可以讀完這篇文章，本文只是淺析了這幾個概念，並不夠深刻。但我以爲隨着不斷學習，有些問題的答案總會浮出水面，因此此文我會不斷進行補充。

  本人是名大二在校生，學習軟件專業。因此對數學的理解並非太深刻，但若是你跟我同樣是學習計算機的，那麼我建議你瞭解到這裏就能夠了。不過，我仍然鼓勵你去探索你心中的疑惑。

  最後，不得不感嘆，數理邏輯真的把 0(true) 和 1(false) 發揮到了極致！