結構之美——優先隊列基本結構（四）——二叉堆、d堆、左式堆、斜堆

實現優先隊列結構主要是經過堆完成，主要有：二叉堆、d堆、左式堆、斜堆、二項堆、斐波那契堆、pairing 堆等。

 

1. 二叉堆 

1.1. 定義

徹底二叉樹，根最小。

存儲時使用層序。

 

1.2. 操做

(1). insert（上濾）

插入末尾 26，不斷向上比較，大於26則交換位置，小於則中止。

 

(2). deleteMin（下濾）

提取末尾元素，放在堆頂，不斷下濾：

 

(3). 其餘操做：

都是基於insert（上濾）與deleteMin（下濾）的操做。

減少元素：減少節點的值，上濾調整堆。

增大元素：增長節點的值，下濾調整堆。

刪除非頂點節點：直接刪除會出問題。方法：減少元素的值到無窮小，上濾後刪除。

Merge：insert one by one

 

2. d叉堆

2.1. 定義

徹底d叉樹，根最小。

存儲時使用層序。

 

2.2. 操做:

操做跟二叉堆基本一致：insert,deleteMin,增大元素，減少元素，刪除非頂元素，merge。

 

2.3 二叉堆與d叉堆的對比：

 

3. 左式堆

3.1. 定義

零路徑長度：到沒有兩個兒子的節點最短距離

左式堆：

1.一棵二叉樹

2.零路徑長：左兒子≧右兒子，父節點= min{兒子} +1（這條性質致使了左式堆的嚴重左偏）

 

零路徑長度：

 

 

 

3.2. 操做:

(1) merge :

原則:根值大的堆與根值小的堆的右子堆合併(根值：根位置的元素值，並不是零路徑長度)

 

 

具體分三種狀況（設堆H1的根值小於H2）

H1只有一個節點

H1根無右孩子

H1根有右孩子

 

(1.1).H1只有一個節點，若出現不知足：零路徑長：左兒子≧右兒子，交換左右孩子。

 

(1.2).H1根無右孩子，若出現不知足：零路徑長：左兒子≧右兒子，交換左右孩子。

 

 

(1.3).H1根有右孩子

1.初始狀態，H1的根6，H2的根爲8，將H2合併到H1。

2.將H1構形成根無右孩子的形式：

3.將元素10, merge到H2，要首先將H2構形成根無右孩子的形式，遞歸，merge，若出現不知足：零路徑長：左兒子≧右兒子，交換左右孩子……

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4.

5.

3.3. 性質分析:

insert：merge

deleteMin：delete root，merge

時間複雜度：merge與右路徑長度之和成正比；最壞O(logN)

缺點：交換需判斷；維護零路徑長

 

4. 斜堆

 

4.1. 定義

二叉樹，根最小。因而可知：

 

 

 

特色：merge無條件交換。

 

時間複雜度：最壞O(N)；最好Ω(1)；平均O(logN)

 

4.2性能比較：

定義

• 僅有一個節點的樹為斜堆；
• 兩個斜堆合併的結果仍為斜堆。

合併操做

斜堆合併操做的遞歸合併過程和左偏樹徹底一樣。假設我們要合併 A 和 B兩個斜堆,且 A 的根節點比 B 的根節點小,我們只須要把 A 的根節點做為合併後新斜堆的根節點,並將 A 的右子樹與 B 合併。由於合併都是沿著最右路徑進行的,經過合併之後,新斜堆的最右路徑長度必然增長,這會影響下一次合併的效率。因此合併後，通過交換左右子樹,使整棵樹的最右路徑長度很是小（這是啟發規則）。然而斜堆不記錄節點的距離,在操做時,從下往上,沿著合併的路徑,在每個節點處都交換左右子樹。通過不斷交換左右子樹,斜堆把最右路徑甩向左邊了。

遞歸實現合併

• 比較兩個堆; 設p是具備更小的root的鍵值的堆，q是另外一個堆，r是合併後的結果堆。
• 令r的root是p（具備最小root鍵值），r的右子樹為p的左子樹。
• 令r的左子樹為p的右子樹與q合併的結果。

舉例。合併前： 

合併後 

非遞歸合併實現

• 把每個堆的每棵（遞歸意義下）最右子樹切下來。這使得獲得的每棵樹的右子樹均為空。
• 按root的鍵值的升序排列這些樹。
• 迭代合併具備最大root鍵值的兩棵樹：
  • 具備次大root鍵值的樹的右子樹一定為空。把其左子樹與右子樹交換。現在該樹的左子樹為空。
  • 具備最大root鍵值的樹做為具備次大root鍵值樹的左子樹。

舉例： 

5. 總結

 

若是是不支持所謂的合併操做union的話，普通的堆數據結構就是一種很理想的數據結構（堆排序）。 可是若是想要支持集合上的合併操做的話，最好是使用二項堆或者是斐波那契堆，普通的堆在union操做上最差的狀況是O(n)，可是二項堆和斐波那契堆是O(lgn)。