Dijkstra最短路徑算法的理解與實現

Dijkstra大學的時候就學過，但最近在《Algorithms》這本書裏，看到了個頗有趣的講解，對這個算法有了新的理解，如下即是對這個算法的整理和實現。

廣度搜索與最短距離

咱們知道，若是把全部的邊的距離當作1，廣度遍歷獲得的就是最短路徑。

更直觀的，咱們能夠這樣想，把節點都想成有質量的小球，節點間邊想成細線。咱們把S球拎起來，讓全部的球都天然下垂，這樣小球所在的層數，就是S球到其餘小球的最短距離了。以下圖：

咱們能夠簡單證實下。

首先，廣度搜索，又被稱爲層次遍歷，就是一層一層進行搜索。當搜索到d層，全部小於d層的節點必定已經搜索完了。

假設在某一個時刻，全部d層的節點都已經計算正確了。那麼他們相鄰的節點的距離只有兩種狀況，一種是未知的，那麼他們同S的最短距離應爲d + 1。

一種是已知的，距離小於等於d，根據假設，他的距離也已經計算正確了。

而後，咱們再考慮初始狀況。S節點的距離爲0，相鄰的節點距離都爲1，符合咱們的假設。因此經過廣度搜索獲得的距離是最短距離。

這個"證實"只是用來理解這個算法的，並不去嚴謹，《算法導論》有嚴謹的證實，你們感興趣的話能夠去看看。

廣度搜索到Dijkstra

既然咱們知道廣度搜索能獲得全部邊的距離爲1的節點的最短距離了。那麼廣度搜索和Dijkstra有沒有什麼關係呢？換句話說，最短路徑能不能變成廣度搜索呢？

最短路徑和廣度搜索的區別就在於，廣度遍歷之間的節點距離只能爲1，而最短路徑計算的節點距離能夠爲任意正數。

若是咱們把全部距離都變成1會怎樣？

爲了達到這個目的，咱們把兩個幾點之間加上若是啞節點（dummy node），讓全部節點（節點+啞幾點）間的距離爲1，這樣咱們就能夠用廣度遍從來算最短距離了！

好比s同u的距離爲3，那麼咱們能夠在S和U之間加上兩個節點u1 ,u2。這樣就變成了S -> U1 -> U2 -> U，相鄰的節點間的距離爲1。以下圖：

目前的算法看起來有點蠢，不過已經很接近Dijkstra了。咱們看下如何來優化它！

如何優化當前的算法嗎？

算法好玩的地方就在於，咱們能夠優化它。

首先，咱們要分析這個算法的問題。

假設從S到U的距離是10，那麼計算前99個啞節點的距離，都是沒有意義的。

若是咱們在90分鐘裏，睡一下，在第一百分鐘的時候，有一個鬧鈴把咱們叫醒，就行了！讓咱們來作這樣的一個鬧鈴！

假設咱們要求下圖的的最短距離，咱們能夠這麼作。咱們從0出發，從圖中能夠看出來，直到100或者200分鐘後，不會有任何有趣的事情發生。那咱們就設兩個鬧鈴，分別爲100分鐘、200分鐘以後響。

等到100這個鬧鈴響的時候，咱們到了1號節點，這個時候，咱們檢查1號節點的相鄰節點，發現50分鐘後，可能會到2號節點。因此咱們加入150這個鬧鈴。

150分鐘到的時候，咱們到了2號節點，因此2號的最短距離是150。這樣就獲得了全部節點的最短距離。

咱們的鬧鐘算法以下：

• 講S的鬧鐘設爲0

• 循環，直到沒有任何一個鬧鐘
  假設，下一個鬧鐘(距離最近的節點)響起響起的時間是T，到達的節點是U，那麼

  • 從S到U的距離就是T

  • 對於U的每個相鄰節點V

    • 若是v尚未鬧鐘，則將它的鬧鐘設置爲 T + l(u, v)

    • 若是v的鬧鐘，比 T + l(u,v)晚，則更新v的鬧鐘

Dijkstra實現

咱們來看下具體實現，實現算法能夠幫助咱們進一步理解算法。

class Dijkstra
  INFINITY = 1 << 32
  def initialize(weighted_graph)
    @weighted_graph = weighted_graph
  end

  def shortest_distances
    make_alarms
    decrease_alarm(0, 0)

    while v = alarm!
      @weighted_graph[v].each do |w, weight|
        if alarm(w) > alarm(v) + weight
          decrease_alarm(w, alarm(v) + weight)
        end
      end
    end

    @alarms
  end

  def make_alarms
    @vertexes_alarms = (0...vertexes_count).to_a

    @alarms = Array.new(vertexes_count, INFINITY)
  end

  def alarm(vertex)
    @alarms[vertex]
  end

  def decrease_alarm(vertex, time)
    @alarms[vertex] = time

    @vertexes_alarms.sort_by! do |vertex|
      @alarms[vertex]
    end
  end

  def alarm!
    @vertexes_alarms.delete_at(0)
  end

  def vertexes_count
    @vertexes_count ||= @weighted_graph.length
  end
end

優化

本身觀察這個算法，會發現decrease_alarm這個方法，每次都調用了sort!方法。但其實咱們每次拿出來的鬧鈴都是數值最小的那一個，用優先隊列(Priority queue)更合適。這樣能夠下降算法的複雜度，讓咱們的算法更快。

總結

算法的書有不少，但講清楚算法是怎麼來的，卻不多。《Algorithms》這本書採用的方式，很像《怎樣解題》所採用方式，頗有趣，也頗有啓發性。

同時算法最有趣的地方在於能夠一點一點改進和優化！

參考

1. Algorithms

2. 算法導論

3. 怎樣解題

4. 畫圖