151.函數

1.概念

函數是二元關係中特殊的一類，也就是說，函數是一種特定類型的二元關係。本章討論的是離散函數，它能把一個有窮集合變換到另外一個有窮集合。

1.1定義

給定兩個集合X和Y，設 f 是從X→Y的一種關係，若對於每個 x ∈ X，都存在惟一一個 y ∈ Y，使得 x f y，則稱關係 f 爲函數（映射），並記爲：f：X→Y。

例如：是函數

不是函數.

注：⑴ 在函數 f：X→Y中，若 < x, y > ∈ f ，則稱 x 爲自變量，

與 x 對應的 y 稱做 f 做用下的象點（值）；也可用 y = f (x) 表示 x f y 。

 

⑵ X中每個元素均有定義，∴函數 f 的定義域 dom f =X.

 

⑶ f 值域 ran f ⊆ Y，（有時也記爲 R_f ）
R_f = { y | ∃x (x ∈ X ) ∧ ( y = f (x)) }
集合 Y稱爲 f 的陪域。

 

⑷ 對於某一個 x ∈ X，其值 f(x)是惟一的，即
< x, y > ∈ f ∧ < x, z > ∈ f ⇒ ( y = z)

⑸ 函數是一種特殊的二元關係，因此，有關集合和關係的運算對函數都適合。

 

          

例如：斷定下列關係是否爲函數

 

D_f = X  R_f ⊆ Y 是函數          Df ≠ X  不是函數            值不惟一 不是函數

 例如：設X=Y=R（實數）

(1) f = { < x, y >| x, y ∈ R ∧ y = x² }

解：D_f =R， y = x² 的值是惟一的。

(2)g = { < x, y >| x, y ∈ R ∧ x = y² }

解：這不是函數，不知足值的惟一性.

 

1.2函數的構成

例如：設X={a, b, c}，Y={0, 1}，則

X ×Y = { < a, 0> < a, 1>  < b, 0>  < b, 1>  < c, 0 > < c, 1>  }

顯然，在X × Y 中，有2⁶ = 64 個子集，但在這64個子集中只有 2³ = 8 個子集符合函數的定義，這8個函數爲：

 

討論：今後例中可得三點結論：

⑴ 設|X|=m，|Y|=n，則函數 f：X→Y中均是 m個序偶的集合；（即序偶個數=定義域的基數）
⑵ X中每個元素所對應的象點 f(x)都是Y中的某一個，從而，從X → Y的全部函數個數共
| Y ^X |= n^m =| Y |^|X| 個.

 

⑶ X→Y有別函數的個數和 X ×Y 子集個數的關係爲：
| Y ^X |= n^m << | X × Y | = 2^{m × n} .
即二個集合之間能構成的函數個數比能構成的二元關係個數少得多。

 

 1.3分類

1.3.1滿射函數 

給定函數  f：X→Y，若是值域 R_f  = Y ，則稱 f 爲滿射函數。

 

滿射函數必定有：
⑴ |X| ≥ |Y|；
⑵ R_f = Y

1.3.2單射函數

給定函數 f：X→Y，若是有
x₁ ≠ x₂ ⇒ f (x₁) ≠ f (x₂) 或 f (x₁) = f (x₂) ⇒ x₁ = x₂，
則稱 f 是單射函數。

 

單射函數必定有：
⑴ |X| ≤ |Y|；
⑵ R_f ⊆ Y

1.3.3滿射函數

給定函數 f：X→Y，若是 f 既是滿射函數，又是單射函數，則稱 f 爲雙射函數。
（「一一對應函數」，「一對一滿射函數」）

雙射函數必定有：
⑴ |X| = |Y|；
⑵ R_f = Y

 

例如：在全班同窗的集合中，
設 X={序號}，Y={姓名}，
則 f：X→Y是一雙射函數。
（序號和姓名的關係）

 

 2.特殊的

2.1複合函數

定義：複合關係 R◦S = { <x , z> | x∈X∧z∈Z∧∃ y (y∈Y∧x R y∧y S z ) }

定理：給定函數 f ：X→Y 和 g：W→Z，若 f (X) ⊆ W，則稱
g ◦ f = { <x , z> | x∈X∧z∈Z∧∃ y (y∈Y∧ y = f (x)∧z = g(y) ) }
爲函數 g 與 f 的複合函數。

 

注： 函數 g ◦ f 稱爲 g 在 f 的左邊可複合。

 

定理：設 f：X→Y 和 g：Y→Z 是二個函數，因而複合函數 g ◦ f 是一個從 X 到 Z 的函數，對於 ∀ x ∈ X 有：
g ◦ f (x) = g ( f (x) ) .

例如：設X={1, 2, 3}，Y={p , q}，Z={a , b}，
f： X→Y = { <1, p> <2, p> <3, q> }，
g：Y→Z = { <p, b> <q, b> } ，
則：g ◦ f = { < 1, b > < 2, b > < 3, b > }.

顯然，g ◦ f 是X→Z的函數。

 

定理：

設函數 f：X→Y 和 g：Y→Z ，g ◦ f 爲複合函數，則：
(1)若 f 和 g都是滿射函數，則 g ◦ f 也是滿射函數；
(2)若 f 和 g都是單射函數，則 g ◦ f 也是單射函數；
(3)若 f 和 g都是雙射函數，則 g ◦ f 也是雙射函數.

 

 

2.2常函數

 給定  f： X→Y，若是對於 ∀ x ∈ X 和某一個 y ∈ Y ，有  f (x) = y，則稱  f 爲常函數。

 

 

2.3恆等函數

給定 Ix ：X→ X ，若對於 ∀ x ∈ X有 I_x (x) = x，即
I_x = { <x, x >| x ∈ X}，
則稱 I_x 爲恆等函數

 

定理：對於任何函數 f ：X→Y，其中
I_x 是X→X的恆等函數，I_y 是Y→Y的恆等函數，
則有 f ◦ I_x = I_y ◦ f = f .

 

 

 2.4逆函數/反函數

設二元關係 R = { <x , y> | x∈X , y∈Y }，

則R的逆關係 ={ <y , x> | x∈X , y∈Y } .

那麼，函數 f 可否像二元關係 R 那樣獲得逆函數呢？

引例：設函數 f：X→Y如圖所示

由引例可見：
(1) 逆關係 的定義域不是Y，而是Y的子集；

(2) 逆關係 不知足函數定義：即值是惟一的；因此   是一種二元關係，而不是函數

(3) 若是一個函數的反函數存在的話，則此函數必定是雙射函數，

     而單射，滿射函數的逆關係均不知足函數的定義；

爲了和逆關係相區別，函數 f 的 「逆函數」 用 f ^-1 來表示。

 

定義：設函數 f：X→Y是一雙射函數，
則 f ^-1：Y → X 也是雙射函數，且稱 f -1 是函數 f 的反函數。

 

定理：若是函數 f：X→Y有逆函數 f ^-1 ：Y→X，則
f ^-1 ◦ f = I_x 且 f ◦ f ^-1 = I_y .

此定理說明：可用雙射函數 f 和 f ^-1 的複合來生成恆等函數。

 

定理：若  f 是一雙射函數，則 ( f ^-1) ^-1 = f .

 

定理：設函數 f：X→Y 和 g：Y→Z ， 且 f 和 g 均爲雙射函數，則有
( g ◦ f )-1 = f ^-1 ◦ g ^-1 .