Java數據結構和算法（八）——遞歸

記得小時候常常講的一個故事：從前有座山，山上有座廟，廟裏有一個老和尚和一個小和尚，一天，老和尚給小和尚講了一個故事，故事內容是「從前有座山，山上有座廟，廟裏有一個老和尚和一個小和尚，一天，老和尚給小和尚講了一個故事，故事內容......」

　　什麼是遞歸，上面的小故事就是一個明顯的遞歸。以編程的角度來看，程序調用自身的編程技巧稱爲遞歸（ recursion）。

　　百度百科中的解釋是這樣的：遞歸作爲一種算法在程序設計語言中普遍應用。 一個過程或函數在其定義或說明中有直接或間接調用自身的一種方法，它一般把一個大型複雜的問題層層轉化爲一個與原問題類似的規模較小的問題來求解，遞歸策略只需少許的程序就可描述出解題過程所須要的屢次重複計算，大大地減小了程序的代碼量。遞歸的能力在於用有限的語句來定義對象的無限集合。

一、遞歸的定義

　　遞歸，就是在運行的過程當中調用本身。

　　遞歸必需要有三個要素：

　　①、邊界條件

　　②、遞歸前進段

　　③、遞歸返回段

　　當邊界條件不知足時，遞歸前進；當邊界條件知足時，遞歸返回。

二、求一個數的階乘：n!

1	n! = n*(n-1)*(n-2)*......1

　　規定：

　　①、0！=1

　　②、1！=1

　　③、負數沒有階乘

　　上面的表達式咱們先用for循環改寫：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

/**  * 0！=1  1！=1  * 負數沒有階乘,若是輸入負數返回-1  * @param n  * @return  */ public static int getFactorialFor(int n){     int temp = 1;     if(n >=0){         for(int i = 1 ; i <= n ; i++){             temp = temp*i;         }     }else{         return -1;     }     return temp; }

　　若是求階乘的表達式是這樣的呢？

1	n! = n*(n-1)！

　　咱們用遞歸來改寫：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

/**  * 0！=1  1！=1  * 負數沒有階乘,若是輸入負數返回-1  * @param n  * @return  */ public static int getFactorial(int n){     if(n >= 0){         if(n==0){             System.out.println(n+"!=1");             return 1;         }else{             System.out.println(n);             int temp = n*getFactorial(n-1);             System.out.println(n+"!="+temp);             return temp;         }     }     return -1; }

　　咱們調用該方法getFactorial(4);即求4！打印以下：

　　

　　這段遞歸程序的邊界條件就是n==0時，返回1，具體調用過程以下：

　　

三、遞歸的二分查找

　　注意：二分查找的數組必定是有序的！！！

　　在有序數組array[]中，不斷將數組的中間值（mid）和被查找的值比較，若是被查找的值等於array[mid],就返回下標mid; 不然，就將查找範圍縮小一半。若是被查找的值小於array[mid], 就繼續在左半邊查找;若是被查找的值大於array[mid],  就繼續在右半邊查找。 直到查找到該值或者查找範圍爲空時， 查找結束。

　　

　　不用遞歸的二分查找以下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

/**  * 找到目標值返回數組下標，找不到返回-1  * @param array  * @param key  * @return  */ public static int findTwoPoint(int[] array,int key){     int start = 0;     int last = array.length-1;     while(start <= last){         int mid = (last-start)/2+start;//防止直接相加形成int範圍溢出         if(key == array[mid]){//查找值等於當前值，返回數組下標             return mid;         }         if(key > array[mid]){//查找值比當前值大             start = mid+1;         }         if(key < array[mid]){//查找值比當前值小             last = mid-1;         }     }     return -1; }

　　二分查找用遞歸來改寫，相信也很簡單。邊界條件是找到當前值，或者查找範圍爲空。不然每一次查找都將範圍縮小一半。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

public static int search(int[] array,int key,int low,int high){     int mid = (high-low)/2+low;     if(key == array[mid]){//查找值等於當前值，返回數組下標         return mid;     }else if(low > high){//找不到查找值，返回-1         return -1;     }else{         if(key < array[mid]){//查找值比當前值小             return search(array,key,low,mid-1);         }         if(key > array[mid]){//查找值比當前值大             return search(array,key,mid+1,high);         }     }     return -1; }

　　遞歸的二分查找和非遞歸的二分查找效率都爲O(logN)，遞歸的二分查找更加簡潔，便於理解，可是速度會比非遞歸的慢。

四、分治算法

　　當咱們求解某些問題時，因爲這些問題要處理的數據至關多，或求解過程至關複雜，使得直接求解法在時間上至關長，或者根本沒法直接求出。對於這類問題，咱們每每先把它分解成幾個子問題，找到求出這幾個子問題的解法後，再找到合適的方法，把它們組合成求整個問題的解法。若是這些子問題還較大，難以解決，能夠再把它們分紅幾個更小的子問題，以此類推，直至能夠直接求出解爲止。這就是分治策略的基本思想。

　　上面講的遞歸的二分查找法就是一個分治算法的典型例子，分治算法經常是一個方法，在這個方法中含有兩個對自身的遞歸調用，分別對應於問題的兩個部分。

　　二分查找中，將查找範圍分紅比查找值大的一部分和比查找值小的一部分，每次遞歸調用只會有一個部分執行。

五、漢諾塔問題

　　漢諾塔問題是由不少放置在三個塔座上的盤子組成的一個古老的難題。以下圖所示，全部盤子的直徑是不一樣的，而且盤子中央都有一個洞使得它們恰好能夠放在塔座上。全部的盤子剛開始都放置在A 塔座上。這個難題的目標是將全部的盤子都從塔座A移動到塔座C上，每次只能夠移動一個盤子，而且任何一個盤子都不能夠放置在比本身小的盤子之上。

　　

　　試想一下，若是隻有兩個盤子，盤子從小到大咱們以數字命名（也能夠想象爲直徑），兩個盤子上面就是盤子1，下面是盤子2，那麼咱們只須要將盤子1先移動到B塔座上，而後將盤子2移動到C塔座，最後將盤子1移動到C塔座上。即完成2個盤子從A到C的移動。

　　若是有三個盤子，那麼咱們將盤子1放到C塔座，盤子2放到B塔座，在將C塔座的盤子1放到B塔座上，而後將A塔座的盤子3放到C塔座上，而後將B塔座的盤子1放到A塔座，將B塔座的盤子2放到C塔座，最後將A塔座的盤子1放到C塔座上。

　　若是有四個，五個，N個盤子，那麼咱們應該怎麼去作？這時候遞歸的思想就很好解決這樣的問題了，當只有兩個盤子的時候，咱們只須要將B塔座做爲中介，將盤子1先放到中介塔座B上，而後將盤子2放到目標塔座C上，最後將中介塔座B上的盤子放到目標塔座C上便可。

　　因此不管有多少個盤子，咱們都將其看作只有兩個盤子。假設有 N 個盤子在塔座A上，咱們將其看爲兩個盤子，其中(N-1)~1個盤子當作是一個盤子，最下面第N個盤子當作是一個盤子，那麼解決辦法爲：

　　①、先將A塔座的第(N-1)~1個盤子當作是一個盤子，放到中介塔座B上，而後將第N個盤子放到目標塔座C上。

　　②、而後A塔座爲空，當作是中介塔座，B塔座這時候有N-1個盤子，將第(N-2)~1個盤子當作是一個盤子，放到中介塔座A上，而後將B塔座的第(N-1)號盤子放到目標塔座C上。

　　③、這時候A塔座上有(N-2)個盤子，B塔座爲空，又將B塔座視爲中介塔座，重複①，②步驟，直到全部盤子都放到目標塔座C上結束。

　　簡單來講，跟把大象放進冰箱的步驟同樣，遞歸算法爲：

　　①、從初始塔座A上移動包含n-1個盤子到中介塔座B上。

　　②、將初始塔座A上剩餘的一個盤子（最大的一個盤子）放到目標塔座C上。

　　③、將中介塔座B上n-1個盤子移動到目標塔座C上。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

/**  * 漢諾塔問題  * @param dish 盤子個數(也表示名稱)  * @param from 初始塔座  * @param temp 中介塔座  * @param to   目標塔座  */ public static void move(int dish,String from,String temp,String to){     if(dish == 1){         System.out.println("將盤子"+dish+"從塔座"+from+"移動到目標塔座"+to);     }else{         move(dish-1,from,to,temp);//A爲初始塔座，B爲目標塔座，C爲中介塔座         System.out.println("將盤子"+dish+"從塔座"+from+"移動到目標塔座"+to);         move(dish-1,temp,from,to);//B爲初始塔座，C爲目標塔座，A爲中介塔座     } }

　　測試：

1	move(3,"A","B","C");

　　打印結果爲：

　　

五、歸併排序

 　　歸併算法的中心是歸併兩個已經有序的數組。歸併兩個有序數組A和B，就生成了第三個有序數組C。數組C包含數組A和B的全部數據項。

　　

　　非遞歸算法爲：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

/**  * 傳入兩個有序數組a和b，返回一個排好序的合併數組  * @param a  * @param b  * @return  */ public static int[] sort(int[] a,int[] b){     int[] c = new int[a.length+b.length];     int aNum = 0,bNum = 0,cNum=0;     while(aNum<a.length && bNum < b.length){         if(a[aNum] >= b[bNum]){//比較a數組和b數組的元素，誰更小將誰賦值到c數組             c[cNum++] = b[bNum++];         }else{             c[cNum++] = a[aNum++];         }     }     //若是a數組所有賦值到c數組了，可是b數組還有元素，則將b數組剩餘元素按順序所有複製到c數組     while(aNum == a.length && bNum < b.length){         c[cNum++] = b[bNum++];     }     //若是b數組所有賦值到c數組了，可是a數組還有元素，則將a數組剩餘元素按順序所有複製到c數組     while(bNum == b.length && aNum < a.length){         c[cNum++] = a[aNum++];     }     return c; }

　　該方法有三個while循環，第一個while比較數組a和數組b的元素，並將較小的賦值到數組c；第二個while循環當a數組全部元素都已經賦值到c數組以後，而b數組還有元素，那麼直接把b數組剩餘的元素賦值到c數組；第三個while循環則是b數組全部元素都已經賦值到c數組了，而a數組還有剩餘元素，那麼直接把a數組剩餘的元素所有賦值到c數組。

 　　歸併排序的思想是把一個數組分紅兩半，排序每一半，而後用上面的sort()方法將數組的兩半歸併成爲一個有序的數組。如何來爲每一部分排序呢？這裏咱們利用遞歸的思想：

　　把每一半都分爲四分之一，對每一個四分之一進行排序，而後把它們歸併成一個有序的一半。相似的，如何給每一個四分之一數組排序呢？把每一個四分之一分紅八分之一，對每一個八分之一進行排序，以此類推，反覆的分割數組，直到獲得的子數組是一個數據項，那這就是這個遞歸算法的邊界值，也就是假定一個數據項的元素是有序的。

 

　　

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

public static int[] mergeSort(int[] c,int start,int last){     if(last > start){         //也能夠是(start+last)/2，這樣寫是爲了防止數組長度很大形成二者相加超過int範圍，致使溢出         int mid = start + (last - start)/2;         mergeSort(c,start,mid);//左邊數組排序         mergeSort(c,mid+1,last);//右邊數組排序         merge(c,start,mid,last);//合併左右數組     }     return c; }   public static void merge(int[] c,int start,int mid,int last){     int[] temp = new int[last-start+1];//定義臨時數組     int i = start;//定義左邊數組的下標     int j = mid + 1;//定義右邊數組的下標     int k = 0;     while(i <= mid && j <= last){         if(c[i] < c[j]){             temp[k++] = c[i++];         }else{             temp[k++] = c[j++];         }     }     //把左邊剩餘數組元素移入新數組中     while(i <= mid){         temp[k++] = c[i++];     }     //把右邊剩餘數組元素移入到新數組中     while(j <= last){         temp[k++] = c[j++];     }           //把新數組中的數覆蓋到c數組中     for(int k2 = 0 ; k2 < temp.length ; k2++){         c[k2+start] = temp[k2];     } }

　　測試：

1 2 3

int[] c = {2,7,8,3,1,6,9,0,5,4}; c = mergeSort(c,0,c.length-1); System.out.println(Arrays.toString(c));

　　結果爲：

　　

六、消除遞歸

　　一個算法做爲一個遞歸的方法一般通概念上很容易理解，可是遞歸的使用在方法的調用和返回都會有額外的開銷，一般狀況下，用遞歸能實現的，用循環均可以實現，並且循環的效率會更高，因此在實際應用中，把遞歸的算法轉換爲非遞歸的算法是很是有用的。這種轉換一般會使用到棧。

　　遞歸和棧

　　遞歸和棧有這緊密的聯繫，並且大多數編譯器都是用棧來實現遞歸的，當調用一個方法時，編譯器會把這個方法的全部參數和返回地址都壓入棧中，而後把控制轉移給這個方法。當這個方法返回時，這些值退棧。參數消失了，而且控制權從新回到返回地址處。

　　調用一個方法時所發生的事：

　　1、當一個方法被調用時，它的參數和返回地址被壓入一個棧中；

　　2、這個方法能夠經過獲取棧頂元素的值來訪問它的參數；

　　3、當這個方法要返回時，它查看棧以得到返回地址，而後這個地址以及方法的全部參數退棧，而且銷燬。

七、遞歸的有趣應用

　　①、求一個數的乘方

　　通常稍微複雜一點的計算器上面都能求一個數的乘法，一般計算器上面的標誌是 x^y 這樣的按鍵，表示求 x 的 y 次方。通常狀況下咱們是如何求一個數的乘法的呢？

　　好比2^8,咱們能夠會求表達式2*2*2*2*2*2*2*2 的值，可是若是y的值很大，這個會顯得表達式很冗長。那麼由沒有更快一點方法呢？

　　數學公式以下是成立的：

　　(Xa)b = Xa*b

　　若是若是求28次方，咱們能夠先假定22=a,因而28 = （22）4 ，那麼就是a4 ；假定 a2 = b，那麼 a4 = b2，而b2能夠寫成(b2)1。因而如今28就轉換成：b*b

　　也就是說咱們將乘方的運算轉換爲乘法的運算。

　　求xy的值，當y是偶數的時候，最後能轉換成兩個數相乘，當時當y是奇數的時候，最後咱們必需要在返回值後面額外的乘以一個x。

1	x^y= (x^2)^(y/2)，定義a=x^2,b=y/2, 則獲得形如： x^y= a^b;

　　具體算法：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

public static int pow(int x,int y){     if(x == 0 || x == 1){         return x;     }     if(y > 1){         int b = y/2;         int a = x*x;         if(y%2 == 1){//y爲奇數             return pow(a,b)*x;         }else{//y爲偶數             return pow(a,b);         }     }else if(y == 0){         return 1;     }else{//y==1         return x;     } }

　　②、揹包問題

 　　揹包問題也是計算機中的經典問題。在最簡單的形式中，包括試圖將不一樣重量的數據項放到揹包中，以使得揹包最後達到指定的總重量。

　　好比：假設想要讓揹包精確地承重20磅，而且有 5 個能夠放入的數據項，它們的重量分別是 11 磅，8 磅，7 磅，6 磅，5 磅。這個問題可能對於人類來講很簡單，咱們大概就能夠計算出 8 磅+ 7 磅 + 5 磅 = 20 磅。可是若是讓計算機來解決這個問題，就須要給計算機設定詳細的指令了。

　　算法以下：

　　1、若是在這個過程的任什麼時候刻，選擇的數據項的總和符合目標重量，那麼工做便完成了。

　　2、從選擇的第一個數據項開始，剩餘的數據項的加和必須符合揹包的目標重量減去第一個數據項的重量，這是一個新的目標重量。

　　3、逐個的試每種剩餘數據項組合的可能性，可是注意不要去試全部的組合，由於只要數據項的和大於目標重量的時候，就中止添加數據。

　　4、若是沒有合適的組合，放棄第一個數據項，而且從第二個數據項開始再重複一遍整個過程。

　　5、繼續從第三個數據項開始，如此下去直到你已經試驗了全部的組合，這時才知道有沒有解決方案。

　　具體實現過程：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

package com.ys.recursion;   public class Knapsack {     private int[] weights; //可供選擇的重量     private boolean[] selects; //記錄是否被選擇           public Knapsack(int[] weights){         this.weights = weights;         selects = new boolean[weights.length];     }           /**      * 找出符合承重重量的組合      * @param total 總重量      * @param index 可供選擇的重量下標      */     public void knapsack(int total,int index){         if(total < 0 || total > 0 && index >= weights.length){             return;//沒找到解決辦法，直接返回         }         if(total == 0){//總重量爲0，則找到解決辦法了             for(int i = 0 ; i < index ; i++){                 if(selects[i] == true){                     System.out.println(weights[i]+" ");                 }             }             System.out.println();             return;         }         selects[index] = true;         knapsack(total-weights[index], index+1);         selects[index] = false;         knapsack(total, index+1);     }           public static void main(String[] args) {         int array[] = {11,9,7,6,5};         int total = 20;         Knapsack k = new Knapsack(array);         k.knapsack(total, 0);     }   }

　　③、組合：選擇一支隊伍

　　在數學中，組合是對事物的一種選擇，而不考慮他們的順序。

　　好比有5個爬山隊員，名稱爲 A,B,C,D和E。想要從這五個隊員中選擇三個隊員去登峯，這時候如何列出全部的隊員組合。（不考慮順序）

　　仍是以遞歸的思想來解決：首先這五我的的組合選擇三我的分紅兩個部分，第一部分包含A隊員，第二部分不包含A隊員。假設把從 5 我的中選出 3 我的的組合簡寫爲（5,3），規定 n 是這羣人的大小，而且 k 是組隊的大小。那麼根據法則能夠有：

　　(n,k) = (n-1,k-1) + (n-1,k)

 　　對於從 5 我的中選擇 3 我的，有：

　　(5,3) = (4,2)+(4,3)

　　(4,2)表示已經有A隊員了，而後從剩下的4個隊員中選擇2個隊員，(4,3)表示從5我的中剔除A隊員，從剩下的4個隊員中選擇3個隊員，這兩種狀況相加就是從5個隊員中選擇3個隊員。

　　如今已經把一個大問題轉換爲兩個小問題了。從4我的的人羣中作兩次選擇（一次選擇2個，一次選擇3個），而不是從5我的的人羣中選擇3個。

　　從4我的的人羣中選擇2我的，又能夠表示爲：(4,2) = (3,1) + (3,2)，以此類推，很容易想到遞歸的思想。

　　具體實現代碼：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

package com.ys.recursion;   public class Combination {     private char[] persons;//組中全部可供選擇的人員     private boolean[] selects;//標記成員是否被選中，選中爲true           public Combination(char[] persons){         this.persons = persons;         selects = new boolean[persons.length];     }     public void showTeams(int teamNumber){         combination(teamNumber,0);     }     /**      *      * @param teamNumber 須要選擇的隊員數      * @param index 從第幾個隊員開始選擇      */     public void combination(int teamNumber,int index){         if(teamNumber == 0){//當teamNumber=0時，找到一組             for(int i = 0 ; i < selects.length ; i++){                 if(selects[i] == true){                     System.out.print(persons[i]+" ");                 }             }             System.out.println();             return;         }         //index超過組中人員總數，表示未找到         if(index >= persons.length ){             return;         }         selects[index] = true;         combination(teamNumber-1, index+1);         selects[index] = false;         combination(teamNumber, index+1);     }       public static void main(String[] args) {         char[] persons = {'A','B','C','D','E'};         Combination cb = new Combination(persons);         cb.showTeams(3);     } }

八、總結

　　一個遞歸方法每次都是用不一樣的參數值反覆調用本身，當某種參數值使得遞歸的方法返回，而再也不調用自身，這種狀況稱爲邊界值，也叫基值。當遞歸方法返回時，遞歸過程經過逐漸完成各層方法實例的未執行部分，而從最內層返回到最外層的原始調用處。

　　階乘、漢諾塔、歸併排序等均可以用遞歸來實現，可是要注意任何能夠用遞歸完成的算法用棧都能實現。當咱們發現遞歸的方法效率比較低時，能夠考慮用循環或者棧來代替它。