經典動態規劃題若干

動態規劃在查找有不少重疊子問題的狀況的最優解時有效。它將問題從新組合成子問題。爲了不屢次解決這些子問題，它們的結果都逐漸被計算並被保存，從簡單的問題直到整個問題都被解決。所以，動態規劃保存遞歸時的結果，於是不會在解決一樣的問題時花費時間。

動態規劃只能應用於有最優子結構的問題。**最優子結構的意思是局部最優解能決定全局最優解（對有些問題這個要求並不能徹底知足，故有時須要引入必定的近似）。**簡單地說，問題可以分解成子問題來解決。

這個思路和概括法有類似的地方：

證實當n等於任意一個天然數時某命題成立。證實分下面兩步：

1. 證實當n := 1時命題成立。

2. 證實若是在n := m時命題成立，那麼能夠推導出在n := m+1時命題也成立。（m表明任意天然數）

鋼條切割問題

鋼條切割問題：給定一段長度爲n英寸的鋼條和一個價格表 (i=1,2, …,n，i是整數)，求切割鋼條的方案，使得銷售收益最大。

若鋼條的長度爲i，則鋼條的價格爲P[i]，如何對給定長度的鋼條進行切割能獲得最大收益？

長度i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
價格p[i] 1 5 8 9 10 17 17 20 14 30

解決方法：

假設長度爲n時，最大收益是r[n]。

r[0] = 0;
r[1] = 1;
r[n] = max{
           p[n],
           r[1] + r[n-1],
           r[2] + r[n-2],
           .......,
           r[n-1] + r[1]
       }

最長公共子序列（LCS）

什麼是公共子序列？

令X和Y是兩個有序的序列，X = [x1, x2, ..., xm]，Y = [y1, y2, ......, yn]。Z是X和Y的一個公共子序列，Z=[z1, z2, ......, zk]。

一、Z中的全部元素在X中都有，在Y中也都有。
二、Z中全部元素的在X中和在Y中的出現次序是相同的。

如今要求X = [x1, x2, ..., xm]，Y = [y1, y2, ......, yn]最長公共子序列的長度。

解決方法：

設c[i, j]表示X[1...i]和Y[1...j]這兩個序列的LCS的長度。

有：

若i=0 or j=0，c[i, j] = 0

若X[i] == Y[j]， c[i, j] = c[i-1, j-1] +1

若X[i] != Y[j]， c[i, j] = max( c[i, j-1], c[i-1, j] )

無界揹包問題

有物品1, 2, ..., n，重量分別是w1, w2, ..., wn，重量是整數，價值分別是p1, p2, ..., pn，每種物品數量沒有上限。一個揹包能夠承受的最大重量爲W。

問題：如何讓放在書包裏的物品總價值最大？

解決方法：

假設A(Y)是總重量不超過Y時，所能達到的最大的總價值。

有:

A[0] = 0

A(Y) = max{ A(Y-1), p1 + A(Y - w1), ..., pn + A(Y - wn)}

總重量爲Y時揹包的最高價值可能有兩種狀況，第一種是該重量沒法被徹底填滿，這對應於表達式A(Y - 1)。第二種是恰好填滿。