2018年華東師範大學數學競賽試題

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或者: http://math.funbbs.me/viewthread.php?tid=70&extra=page%3D1

 

後面作的參考解答: http://www.followmath.com/forum.php?gid=1

 

 

Problem:  （15分）證實：曲線$$\left\{ \begin{array}{ll} x^{2}-y^{2}=z & \\ 2x^{2}+z^{2}=1 & \end{array} \right. $$是球面曲線，並寫出此球面的方程.

 

 Problem:  （20分） 設$\mathbb{K}$是數域，$A,B\in M_{n}(\mathbb{K})$，$AB=BA$，若$A^{2018}=E,B^{2019}=E$，證實：$A+B+E$可逆.

 

 Problem:  （15分）設$$A=\left( \begin{array}{ccccc} a_{1} & b_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ b_{1} & a_{2} & b_{2} & \cdots & \vdots \\ 0 & b_{2} & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & a_{n-1} & b_{n-1} \\ 0 & \cdots & 0 & b_{n-1} & a_{n} \\ \end{array} \right) \in M_{n}(\mathbb{R}),$$且$b_{i}\ne 0,\forall i=1,2,\cdots,n-1$.證實：$A$有$n$個互異的實特徵值.

 

 Problem:  （10分） 設$f$定義在$[a,+\infty)$上，給定$\delta>0,t\geq a$，記 $$\omega (f;t_{0},\delta)=\sup_{t_{1},t_{2}}\left\{|f(t_{1})-f(t_{2})|:t_{1},t_{2}\geq 0,|t_{1}-t_{2}|\leq \delta\right\}.$$ 證實：若$\int_{a}^{+\infty}f(t)dt$收斂，則$$\lim_{t\to +\infty}f(t)=0$$當且僅當$$\lim_{t\to +\infty,\delta\to 0}\omega(f;t_{0},\delta)=0.$$

 

 Problem:  \textbf{（10分）}求極限$$\lim_{x\to 1^{-}}\prod_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1+x^{n+1}}{1+x^{n}}\right)^{x^{n}}.$$

 

 Problem:  （15分）設$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上連續可導，且$$\sup_{-\infty<x<+\infty}\left|e^{-x^{2}}f'(x)\right|<+\infty.$$ 證實：$$\sup_{-\infty<x<+\infty}\left|xe^{-x^{2}}f(x)\right|<+\infty.$$

 

 Problem:  （15分）設$\{a_{n}\}$是單調遞減的正數列.證實：級數$$\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}\sin nx$$在任何區間上一致收斂的充分必要條件是$$\lim_{n\to +\infty}na_{0}=0.$$