動態規劃之合唱隊形問題

問題描述：

  N 位同窗站成一排，音樂老師要請其中的(N-K)位同窗出列，而不改變其餘同窗的位置，使得剩下的K位同窗排成合唱隊形。合唱隊形要求：設K位同窗從左到右 依次編號爲1，2…，K，他們的身高分別爲T1，T2，…，TK，則他們的身高知足 T1<T2...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。已知全部N位同窗的身高，計算最少須要幾位 同窗出列，可使得剩下的同窗排成最長的合唱隊形。 

問題分析：

  假設第i位同窗爲個子最高的同窗，咱們先對其左邊的同窗求最大上升子序列，再對其右邊的同窗求最大降低子序列，而後二者相加再減1（第i位同窗被重複計算 了一次），便獲得第i位同窗爲最高個時所能排成的最長合唱隊形。若是咱們對這N位同窗都執行此操做，即可獲得每位同窗爲最高個時所能排成的最長合唱隊形， 選取其中最長的合唱隊形做爲最終的結果。  

 從 上述的分析能夠看出，咱們能夠將問題分紅互相不獨立的子問題，只要獲得子問題的最優解，即可獲得整個問題的最優解。咱們能夠用一張表來記錄全部已解決問題 的答案，從而避免了重複計算。這裏的一個關鍵問題即是：如何獲得第i位同窗的最大上升子序列和最大降低子序列。假如這N位同窗的身高分別 爲：176，163，150，180，170，130，167，160，咱們用up[i]來記錄第i位同窗的最大上升子序列。若是要獲得180同窗爲最高 個時的最大上升子序列即up[4],咱們只需求出前3位同窗所能造成的最大上升子序列，將其加1便可；要獲得前3位同窗所造成的最大上升子序列，便要求得 前2位同窗的最大上升子序列，再加上1便可；一樣要獲得前2位同窗的最大上升子序列，便要求得第1位同窗的最大上升子序列。所以這是一個遞推關係，只要我 們將前i個同窗爲最高個時作造成的最大上升子序列的值記錄下來，取其中最大值加1即可獲得第i位同窗的最大上升子序列即up[i]。同理咱們用 down[i]來記錄第i位同窗的最大降低子序列，只要咱們將後（N-i）位同窗每位同窗爲最高個時的最大降低子序列記錄下來，取其中最大者再加1即可得 到第i位同窗爲最高個時的最大降低子序列即down[i]。那麼，第i位同窗爲最高個時作能造成的最長合唱隊形的長度爲up[i]+down[i]-1。 求得全部同窗爲最高個時所能造成的最長合唱隊形的長度，取其中最大值爲最終的結果。

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1. public class Main {  
2.     public static void main(String[] args) {  
3.         int []high={176,163,150,180,170,130,167,160};  
4.         int []up=new int[8];   //記錄每位同窗的最大上升子序列  
5.         int []down=new int[8]; //記錄每位同窗的最大降低子序列  
6.         for(int i=0;i<high.length;i++){  
7.             up[i]=1; //每位同窗的最大上升子序列初始值爲1  
8.             for(int j=0;j<i;j++){  
9.                 if((high[j]<high[i])&&(up[i]<up[j]+1)) up[i]=up[j]+1; //前i位同窗的最大上升子序列的最大值再加1  
10.             }  
11.         }  
12.         for(int i=high.length-1;i>=0;i--){  
13.             down[i]=1;  
14.             for(int j=high.length-1;j>i;j--){  
15.                 if((high[j]<high[i])&&(down[i]<down[j]+1)) down[i]=down[j]+1; //後N-i位同窗的最大降低子序列的最大值再加1  
16.             }  
17.         }  
18.         int max=0; //設每位同窗所造成的最長合唱隊形的最大值初值爲0  
19.         int index=0; //設最大值對應的索引爲0  
20.         for(int i=0;i<high.length;i++){  
21.             if(up[i]+down[i]-1>max) {  
22.                 max=up[i]+down[i]-1; //求得每位同窗所造成的最長合唱隊形的最大值  
23.                 index=i;  //求得對應的索引  
24.             }  
25.         }  
26.         System.out.println("最長合唱隊形的長度爲："+max);  
27.         System.out.println("對應的是第"+(index+1)+"位同窗，須要"+(high.length-max)+"位同窗出列");  
28.   
29.     }  
30. }