KMP算法

本文爲轉載，源出處：

http://blog.csdn.net/yaochunnian/article/details/7059486

菜鳥一個，轉載過來跟你們一塊兒分享一下，共同進步

引記

    此前一天，一位MS的朋友邀我一塊兒去與他討論快速排序，紅黑樹，字典樹，B樹、後綴樹，包括KMP算法，惟獨在講解KMP算法的時候，言語磕磕碰碰，我想，緣由有二：1、博客內的東西不常回顧，忘了很多；2、即是我對KMP算法的理解還不夠完全，自不用說講解自如，運用自如了。因此，特再寫本篇文章。因爲此前，我的已經寫過關於KMP算法的兩篇文章，因此，本文名爲：KMP算法之總結篇。

   本文分爲以下六個部分：

1. 第一部分、再次回顧普通的BF算法與KMP算法各自的時間複雜度，並兩相對照各自的匹配原理；

2. 第二部分、經過我此前第二篇文章的引用，用圖從頭至尾詳細闡述KMP算法中的next數組求法，並運用求得的next數組寫出KMP算法的源碼；

3. 第三部分、KMP算法的兩種實現，代碼實現一是根據本人關於KMP算法的第二篇文章所寫，代碼實現二是根據本人的關於KMP算法的第一篇文章所寫；

4. 第四部分、測試，分別對第三部分的兩種實現中next數組的求法進行測試，挖掘其區別之所在；

5. 第五部分、KMP完整準確源碼，給出KMP算法的準確的完整源碼；

6. 第六步份、一眼看出字符串的next數組各值，經過幾個例子，讓讀者能根據字符串自己一眼判斷出其next數組各值。

    力求讓此文完全讓讀者洞穿此KMP算法，全部原理，前因後果，讓讀者搞個統統透透（注意，本文中第二部分及第三部分的代碼實現一的字符串下標i 從0開始計算，其它部分如第三部分的代碼實現二，第五部分，和第六部分的字符串下標i 皆是從1開始的）。

    在看本文以前，你心中如若對前綴和後綴這個兩個概念有本身的理解，便最好了。有些東西好比此KMP算法須要咱們反覆思考，反覆求解才行。我的寫的關於KMP算法的第二篇文章爲：六（續）、從KMP算法一步一步談到BM算法；第一篇爲：6、教你初步瞭解KMP算法、updated（文末連接）。ok，如有任何問題，懇請不吝指正。多謝。

第一部分、KMP算法初解

1、普通字符串匹配BF算法與KMP算法的時間複雜度比較

    KMP算法是一種線性時間複雜的字符串匹配算法，它是對BF算法（Brute-Force，最基本的字符串匹配算法的）改進。對於給的原始串S和模式串P，須要從字符串S中找到字符串P出現的位置的索引。

BF算法的時間複雜度O(strlen(S) * strlen(T))，空間複雜度O(1)。

KMP算法的時間複雜度O(strlen(S) + strlen(T))，空間複雜度O(strlen(T))。

2、BF算法與KMP算法的區別

    假設如今S串匹配到i位置，T串匹配到j位置。那麼總的來講，兩種算法的主要區別在於失配的狀況下，對 的值作的處理：

   BF算法中，若是當前字符匹配成功，即s[i+j] == T[j]，令j++，繼續匹配下一個字符；若是失配，即S[i + j] != T[j]，須要讓i++,而且j= 0，即每次匹配失敗的狀況下，模式串T相對於原始串S向右移動了一位。

    而KMP算法中，若是當前字符匹配成功，即S[i]==T[j]，令i++，j++，繼續匹配下一個字符；若是匹配失敗，即S[i] != T[j]，須要保持i不變，而且讓j = next[j]，這裏next[j] <=j -1，即模式串T相對於原始串S向右移動了至少1位(移動的實際位數j - next[j]  >=1),

    同時移動以後，i以前的部分（即S[i-j+1 ~ i-1]），和j=next[j]以前的部分（即T[0 ~ j-2]）仍然相等。顯然，相對於BF算法來講，KMP移動更多的位數，起到了一個加速的做用！ (失配的特殊情形，令j=next[j]致使j==0的時候，須要將i ++，不然此時沒有移動模式串)。

三、BF算法爲何要回溯

首先說一下爲何BF算法要回溯。以下兩字符串匹配（恰如上面所述：BF算法中，若是當前字符匹配成功，即s[i+j] == T[j]，令j++，繼續匹配下一個字符）：

      i+j（j隨T中的j++變，而動）

S：aaaacefghij

         j++

T：aaac 

若是不回溯的話就是從下一位開始比起：

aaaacefghij

        aaac

看到上面紅顏色的沒，若是不回溯的話，那麼從a 的下一位c 比起。然而下述這種狀況就漏了（正確的作法固然是要回溯：若是失配，即S[i + j] != T[j]，須要讓i++,而且j= 0）：

aaaacefghij

  aaac

    因此，BF算法要回溯，其代碼以下：

view plain

1. int Index(SString S, SString T, int pos) {  

2.    //返回T在S中第pos個字符以後的位置  

3.    i=pos; j=1;k=0;  

4.   while ( i< = S[0] && j< = T[0] ) {  

5.       if (S[i+k] = = T[j] ) {++k;  ++j;}   //繼續比較後續字符  

6.       else {i=i+1;   j=1; k=0;}      //指針回溯到 下一首位，從新開始  

7.   }  

8.   if(j>T[0]) return i;          //子串結束，說明匹配成功  

9.   else return  0;  

10. }//Index  

  不過，也有特殊狀況能夠不回溯，以下：
abcdefghij(主串)
abcdefg(模式串)
  即(模式串)沒有相同的纔不須要回溯。

4、KMP 算法思想
    普通的字符串匹配算法必需要回溯。但回溯就影響了效率，回溯是由T串自己的性質決定的，是由於T串自己有先後'部分匹配'的性質。像上面所說若是主串爲abcdef這樣的，大沒有回溯的必要。

    改進的地方也就是這裏，咱們從T串自己出發，事先就找準了T自身先後部分匹配的位置，那就能夠改進算法。

    若是不用回溯，那模式串下一個位置從哪裏開始呢？

    仍是上面那個例子，T(模式串)爲ababc，若是c失配，那就能夠往前移到aba最後一個a的位置，像這樣：

...ababd...

   ababc

    ->ababc

這樣i不用回溯，j跳到前2個位置，繼續匹配的過程，這就是KMP算法所在。這個當T[j]失配後，j 應該往前跳的值就是j的next值，它是由T串自己固有決定的，與S串(主串)無關。

五、next數組的含義

重點來了。下面解釋一下next數組的含義，這個也是KMP算法中比較很差理解的一點。

  令原始串爲: S[i]，其中0<=i<=n；模式串爲: T[j]，其中0<=j<=m。

  假設目前匹配到以下位置

               S0,S1,S2,...,Si-j,Si-j+1...............,Si-1, Si, Si+1,....,Sn

                                   T0,T1,.....................,Tj-1, Tj, ..........

  S和T的綠色部分匹配成功，剛好到Si和Tj的時候失配，若是要保持i不變，同時達到讓模式串T相對於原始串S右移的話，能夠更新j的值，讓Si和新的Tj進行匹配，假設新的j用next[j]表示，即讓Si和next[j]匹配，顯然新的j值要小於以前的j值，模式串纔會是右移的效果，也就是說應該有next[j] <= j -1。那新的j值也就是next[j]應該是多少呢？咱們觀察以下的匹配：

      1)若是模式串右移1位（從簡單的思考起，移動一位會怎麼樣），即next[j] = j - 1， 即讓藍色的Si和Tj-1匹配(注：省略號爲未匹配部分)

               S0,S1,S2,...,Si-j,Si-j+1...............,Si-1, Si, Si+1,....,Sn

                                   T0,T1,.....................,Tj-1, Tj, .......... (T的劃線部分和S劃線部分相等【1】)

                                        T0,T1,.................Tj-2,Tj-1, ....... (移動後的T的劃線部分和S的劃線部分相等【2】)

        根據【1】【2】能夠知道當next[j] =j -1，即模式串右移一位的時候，有T[0 ~ j-2] == T[1 ~ j-1]，而這兩部分剛好是字符串T[0 ~j-1]的前綴和後綴，也就是說next[j]的值取決於模式串T中j前面部分的前綴和後綴相等部分的長度（好好揣摩這兩個關鍵字概念：前綴、後綴，或者再想一想，個人上一篇文章，從Trie樹談到後綴樹中，後綴樹的概念）。

      2)若是模式串右移2位，即next[j] = j - 2， 即讓藍色的Si和Tj-2匹配    

               S0,S1,...,Si-j,Si-j+1,Si-j+2...............,Si-1, Si, Si+1,....,Sn

                                   T0,T1,T2,.....................,Tj-1, Tj, ..........(T的劃線部分和S劃線部分相等【3】)

                                              T0,T1,...............,Tj-3,Tj-2,.........(移動後的T的劃線部分和S的劃線部分相等【4】)

        一樣根據【3】【4】能夠知道當next[j] =j -2，即模式串右移兩位的時候，有T[0 ~ j-3] == T[2 ~ j-1]。而這兩部分也剛好是字符串T[0 ~j-1]的前綴和後綴，也就是說next[j]的值取決於模式串T中j前面部分的前綴和後綴相等部分的長度。

     3)依次類推，能夠獲得以下結論：當發生失配的狀況下，j的新值next[j]取決於模式串中T[0 ~ j-1]中前綴和後綴相等部分的長度， 而且next[j]剛好等於這個最大長度。

    爲此，請再容許我引用上文中的一段原文：「KMP算法中，若是當前字符匹配成功，即S[i]==T[j]，令i++，j++，繼續匹配下一個字符；若是匹配失敗，即S[i] != T[j]，須要保持i不變，而且讓j = next[j]，這裏next[j] <=j -1，即模式串T相對於原始串S向右移動了至少1位(移動的實際位數j - next[j]  >=1),

    同時移動以後，i以前的部分（即S[i-j+1 ~ i-1]），和j=next[j]以前的部分（即T[0 ~ j-2]）仍然相等。顯然，相對於BF算法來講，KMP移動更多的位數，起到了一個加速的做用！ (失配的特殊情形，令j=next[j]致使j==0的時候，須要將i ++，不然此時沒有移動模式串)。」

    於此，也就不難理解了個人關於KMP算法的第二篇文章之中：「當匹配到S[i] != P[j]的時候有 S[i-j…i-1] = P[0…j-1]. 若是下面用j_next去匹配，則有P[0…j_next-1] = S[i-j_next…i-1] = P[j-j_next…j-1]。此過程以下圖3-1所示。

  當匹配到S[i] != P[j]時，S[i-j…i-1] = P[0…j-1]：

S: 0 … i-j … i-1 i …

P:       0 …   j-1 j …

  若是下面用j_next去匹配，則有P[0…j_next-1] = S[i-j_next…i-1] = P[j-j_next…j-1]。
因此在P中有以下匹配關係（得到這個匹配關係的意義是用來求next數組）：

P: 0 … j-j_next  .…j-1_    …

P:        0    … .j_next-1 …

  因此，根據上面兩個步驟，推出下一匹配位置j_next:

S: 0 … i-j … i-j_next …   i-1      i …

P:                   0   … j_next-1 j_next …

             圖3-1 求j-next（最大的值）的三個步驟

    下面，咱們用變量k來表明求得的j_next的最大值，即k表示這S[i]、P[j]不匹配時P中下一個用來匹配的位置，使得P[0…k-1] = P[j-k…j-1]，而咱們要儘可能找到這個k的最大值。」。

      根據上文的【1】與【2】的匹配狀況，可得第二篇文章之中所謂的k=1（如aaaa的形式），根據上文的【3】與【4】的匹配狀況，k=2（如abab的形式）。

     因此，歸根究底，KMP算法的本質即是：針對待匹配的模式串的特色，判斷它是否有重複的字符，從而找到它的前綴與後綴，進而求出相應的Next數組，最終根據Next數組而進行KMP匹配。接下來，進入本文的第二部分。

第二部分、next數組求法的前因後果與KMP算法的源碼

    本部分引自我的此前的關於KMP算法的第二篇文章：六之續、由KMP算法談到BM算法。前面，咱們已經知道即不能讓P[j]=P[next[j]]成立成立。不能再出現上面那樣的狀況啊！即不能有這種狀況出現：P[3]=b，而竟也有P[next[3]]=P[1]=b。

    正如在第二篇文章中，所提到的那樣：「這裏讀者理解可能有困難的是由於文中，時而next，時而nextval，把他們的思惟搞混亂了。其實next用於表達數組索引，而nextval專用於表達next數組索引下的具體各值，區別細微。至於文中說不容許P=P[next[j] ]出現，是由於已經有P=b與S匹配敗，而P[next]=P1=b，若再拿P[1]=b去與S匹配則必敗。」--六之續、由KMP算法談到BM算法。

   又偏偏如上文中所述：「模式串T相對於原始串S向右移動了至少1位(移動的實際位數j - next[j]  >=1)」。

    ok，求next數組的get_nextval函數正確代碼以下：

view plain

1. //代碼4-1    

2. //修正後的求next數組各值的函數代碼    

3. void get_nextval(char const* ptrn, int plen, int* nextval)    

4. {    

5.     int i = 0;     

6.     nextval[i] = -1;    

7.     int j = -1;    

8.     while( i < plen-1 )    

9.     {    

10.         if( j == -1 || ptrn[i] == ptrn[j] )   //循環的if部分    

11.         {    

12.             ++i;    

13.             ++j;    

14.             //修正的地方就發生下面這4行    

15.             if( ptrn[i] != ptrn[j] ) //++i，++j以後，再次判斷ptrn[i]與ptrn[j]的關係    

16.                 nextval[i] = j;      //以前的錯誤解法就在於整個判斷只有這一句。    

17.             else    

18.                 nextval[i] = nextval[j];    

19.         }    

20.         else                                 //循環的else部分    

21.             j = nextval[j];    

22.     }    

23. }    

    舉個例子，舉例說明下上述求next數組的方法。
S a b a b a b c
P a b a b c
S[4] != P[4]
    那麼下一個和S[4]匹配的位置是k=2(也即P[next[4]])。此處的k=2也再次佐證了上文第3節開頭處關於爲了找到下一個匹配的位置時k的求法。上面的主串與模式串開頭4個字符都是「abab」，因此，匹配失效後下一個匹配的位置直接跳兩步繼續進行匹配。
S a b a b a b c
P      a b a b c
匹配成功

P的next數組值分別爲-1 0 -1 0 2

    next數組各值怎麼求出來的呢?分如下五步：

1. 初始化：i=0，j=-1，nextval[0] = -1。因爲j == -1，進入上述循環的if部分，++i得i=1，++j得j=0，且ptrn[i] != ptrn[j]（即a！=b）），因此獲得第二個next值即nextval[1] = 0；；

2. i=1，j=0，進入循環esle部分，j=nextval[j]=nextval[0]=-1；

3. 進入循環的if部分，++i，++j，i=2，j=0，由於ptrn[i]=ptrn[j]=a,因此nextval[2]=nextval[0]=-1；

4. i=2, j=0, 因爲ptrn[i]=ptrn[j],再次進入循環if部分，因此++i=3，++j=1,由於ptrn[i]=ptrn[j]=b,因此nextval[3]=nextval[1]=0；

5. i=3,j=1,因爲ptrn[i]=ptrn[j]=b,因此++i=4，++j=2,退出循環。

    這樣上例中模式串的next數組各值最終應該爲:

            圖4-1 正確的next數組各值
next數組求解的具體過程以下：
    初始化：nextval[0] = -1，咱們獲得第一個next值即-1.

            圖4-2 初始化第一個next值即-1

    i = 0，j = -1，因爲j == -1，進入上述循環的if部分，++i得i=1，++j得j=0，且ptrn[i] != ptrn[j]（即a！=b）），因此獲得第二個next值即nextval[1] = 0；

           圖4-3 第二個next值0

   上面咱們已經獲得，i= 1，j = 0，因爲不知足條件j == -1 || ptrn[i] == ptrn[j]，因此進入循環的esle部分，得j = nextval[j] = -1；此時，仍知足循環條件，因爲i = 1，j = -1，由於j == -1，再次進入循環的if部分，++i得i=2，++j得j=0，因爲ptrn[i] == ptrn[j]（即ptrn[2]=ptrn[0]，也就是說第1個元素和第三個元素都是a），因此進入循環if部份內嵌的else部分，獲得nextval[2] = nextval[0] = -1；

         圖4-4 第三個next數組元素值-1

    i = 2，j = 0，因爲ptrn[i] == ptrn[j]，進入if部分，++i得i=3，++j得j=1，因此ptrn[i] == ptrn[j]（ptrn[3]==ptrn[1]，也就是說第2個元素和第4個元素都是b），因此進入循環if部份內嵌的else部分，獲得nextval[3] = nextval[1] = 0；

         圖4-5 第四個數組元素值0
    若是你仍是沒有弄懂上述過程是怎麼一回事，請如今拿出一張紙和一支筆出來，一步一步的畫下上述過程。相信我，把圖畫出來了以後，你必定能明白它的。
    而後，我留一個問題給讀者，爲何上述的next數組要那麼求?有什麼原理麼?

    提示：咱們從上述字符串abab 各字符的next值-1 0 -1 0，能夠看出來，根據求得的next數組值，偷用前綴、後綴的概念，必定能夠判斷出在abab之中，前綴和後綴相同，即都是ab，反過來，若是一個字符串的前綴和後綴相同，那麼根據前綴和後綴依次求得的next各值也是相同的。

• 五、利用求得的next數組各值運用Kmp算法

    Ok，next數組各值已經求得，萬事俱備，東風也不欠了。接下來，我們就要應用求得的next值，應用KMP算法來匹配字符串了。還記得KMP算法是怎麼一回事嗎?容我再次引用下以前的KMP算法的代碼，以下：

view plain

1. //代碼5-1    

2. //int kmp_seach(char const*, int, char const*, int, int const*, int pos)  KMP模式匹配函數    

3. //輸入：src, slen主串    

4. //輸入：patn, plen模式串    

5. //輸入：nextval KMP算法中的next函數值數組    

6. int kmp_search(char const* src, int slen, char const* patn, int plen, int const* nextval, int pos)    

7. {    

8.     int i = pos;    

9.     int j = 0;    

10.     while ( i < slen && j < plen )    

11.     {    

12.         if( j == -1 || src[i] == patn[j] )    

13.         {    

14.             ++i;    

15.             ++j;    

16.         }    

17.         else    

18.         {    

19.             j = nextval[j];              

20.             //當匹配失敗的時候直接用p[j_next]與s[i]比較，    

21.             //下面闡述怎麼求這個值，即匹配失效後下一次匹配的位置    

22.         }    

23.     }    

24.     if( j >= plen )    

25.         return i-plen;    

26.     else    

27.         return -1;    

28. }    

咱們上面已經求得的next值，以下：

        圖5-1 求得的正確的next數組元素各值

    如下是匹配過程，分三步：
    第一步：主串和模式串以下，S[3]與P[3]匹配失敗。

               圖5-2 第一步，S[3]與P[3]匹配失敗
    第二步：S[3]保持不變，P的下一個匹配位置是P[next[3]]，而next[3]=0,因此P[next[3]]=P[0]，即P[0]與S[3]匹配。在P[0]與S[3]處匹配失敗。

                圖5-3 第二步，在P[0]與S[3]處匹配失敗

    第三步：與上文中第3小節末的狀況一致。因爲上述第三步中，P[0]與S[3]仍是不匹配。此時i=3,j=nextval[0]=-1,因爲知足條件j==-1，因此進入循環的if部分,++i=4,++j=0,即主串指針下移一個位置，從P[0]與S[4]處開始匹配。最後j==plen，跳出循環，輸出結果i-plen=4(即字串第一次出現的位置），匹配成功，算法結束。

                圖5-4 第三步，匹配成功，算法結束
    因此，綜上，總結上述三步爲：

1. 開始匹配，直到P[3]！=S[3]，匹配失敗；

2. nextval[3]=0，因此P[0]繼續與S[3]匹配，再次匹配失敗；

3. nextval[0]=-1，知足循環if部分條件j==-1，因此，++i，++j，主串指針下移一個位置，從P[0]與S[4]處開始匹配，最後j==plen，跳出循環，輸出結果i-plen=4，算法結束。

第三部分、KMP算法的兩種實現

代碼實現一：   

    根據上文中第二部份內容的解析，完整寫出KMP算法的代碼已經不是難事了，以下：

view plain

1. //copyright@2011 binghu and july  

2. #include "StdAfx.h"  

3. #include <string>  

4. #include <iostream>  

5. using namespace std;  

6.   

7. //代碼4-1    

8. //修正後的求next數組各值的函數代碼    

9. void get_nextval(char const* ptrn, int plen, int* nextval)    

10. {    

11.     int i = 0;  //注，此處與下文的代碼實現二不一樣的是，i是從0開始的（代碼實現二i從1開始）     

12.     nextval[i] = -1;    

13.     int j = -1;    

14.     while( i < plen-1 )    

15.     {    

16.         if( j == -1 || ptrn[i] == ptrn[j] )   //循環的if部分    

17.         {    

18.             ++i;    

19.             ++j;    

20.             //修正的地方就發生下面這4行    

21.             if( ptrn[i] != ptrn[j] ) //++i，++j以後，再次判斷ptrn[i]與ptrn[j]的關係    

22.                 nextval[i] = j;      //以前的錯誤解法就在於整個判斷只有這一句。    

23.             else    

24.                 nextval[i] = nextval[j];    

25.         }    

26.         else                                 //循環的else部分    

27.             j = nextval[j];    

28.     }    

29. }    

30.   

31. void print_progress(char const* src, int src_index, char const* pstr, int pstr_index)  

32. {  

33.     cout<<src_index<<"\t"<<src<<endl;  

34.     cout<<pstr_index<<"\t";  

35.     for( int i = 0; i < src_index-pstr_index; ++i )  

36.         cout<<" ";  

37.     cout<<pstr<<endl;  

38.     cout<<endl;  

39. }  

40.   

41. //代碼5-1    

42. //int kmp_seach(char const*, int, char const*, int, int const*, int pos)  KMP模式匹配函數    

43. //輸入：src, slen主串    

44. //輸入：patn, plen模式串    

45. //輸入：nextval KMP算法中的next函數值數組    

46. int kmp_search(char const* src, int slen, char const* patn, int plen, int const* nextval, int pos)    

47. {    

48.     int i = pos;    

49.     int j = 0;    

50.     while ( i < slen && j < plen )    

51.     {    

52.         if( j == -1 || src[i] == patn[j] )    

53.         {    

54.             ++i;    

55.             ++j;    

56.         }    

57.         else    

58.         {    

59.             j = nextval[j];              

60.             //當匹配失敗的時候直接用p[j_next]與s[i]比較，    

61.             //下面闡述怎麼求這個值，即匹配失效後下一次匹配的位置    

62.         }    

63.     }    

64.     if( j >= plen )    

65.         return i-plen;    

66.     else    

67.         return -1;    

68. }    

69.   

70. int   main()  

71. {  

72.     std::string src = "aabcabcebafabcabceabcaefabcacdabcab";  

73.     std::string prn = "abac";  

74.   

75.     int* nextval = new int[prn.size()];  

76.     //int* next = new int[prn.size()];  

77.     get_nextval(prn.data(), prn.size(), nextval);  

78.     //get_next(prn.data(), prn.size(), next);  

79.   

80.     for( int i = 0; i < prn.size(); ++i )  

81.         cout<<nextval[i]<<"\t";  

82.     cout<<endl;  

83.       

84.     cout<<"result sub str: "<<src.substr( kmp_search(src.data(), src.size(), prn.data(), prn.size(), nextval, 0) )<<endl;  

85.     system("pause");  

86.   

87.     delete[] nextval;  

88.     return 0;  

89. }   

    運行結果，以下圖所示：

代碼實現二：

     再給出代碼實現二以前，讓咱們再次回顧下關於KMP算法的第一篇文章中的部份內容：

「第二節、KMP算法

2.一、 覆蓋函數(overlay_function)

    覆蓋函數所表徵的是pattern自己的性質，可讓爲其表徵的是pattern從左開始的全部連續子串的自我覆蓋程度。好比以下的字串，abaabcaba

    可能上面的圖令讀者理解起來仍是不那麼清晰易懂，其實很簡單，針對字符串abaabcaba

a（-1） b（-1）a（0） a（0） b（1） c（-1） a（0） b（1）a（2）

解釋：

1. 初始化爲-1  

2. b與a不一樣爲-1   

3. 與第一個字符a相同爲0   

4. 仍是a爲0   

5. 後綴ab與前綴ab兩個字符相同爲1 

6. 前面並沒有前綴c爲-1  

7. 與第一個字符同爲0  

8. 後綴ab前綴ab爲1 

9. 前綴aba後綴aba爲2

    因爲計數是從0始的，所以覆蓋函數的值爲0說明有1個匹配，對於從0仍是歷來開始計數是偏好問題，具體請自行調整，其中-1表示沒有覆蓋，那麼何爲覆蓋呢，下面比較數學的來看一下定義，好比對於序列

  a0a1...aj-1 aj

要找到一個k,使它知足

  a0a1...ak-1ak=aj-kaj-k+1...aj-1aj

    而沒有更大的k知足這個條件，就是說要找到儘量大k,使pattern前k字符與後k字符相匹配，k要儘量的大，緣由是若是有比較大的k存在。

    但若咱們選擇較小的知足條件的k，那麼當失配時，咱們就會使pattern向右移動的位置變大，而較少的移動位置是存在匹配的，這樣咱們就會把可能匹配的結果丟失。好比下面的序列，

    在紅色部分失配，正確的結果是k=1的狀況，把pattern右移4位，若是選擇k=0,右移5位則會產生錯誤。計算這個overlay函數的方法能夠採用遞推，能夠想象若是對於pattern的前j個字符，若是覆蓋函數值爲k

    a0a1...ak-1ak=aj-kaj-k+1...aj-1aj
則對於pattern的前j+1序列字符，則有以下可能
    ⑴     pattern[k+1]==pattern[j+1] 此時overlay(j+1)=k+1=overlay(j)+1
    ⑵     pattern[k+1]≠pattern[j+1] 此時只能在pattern前k+1個子符組所的子串中找到相應的overlay函數，h=overlay(k),若是此時pattern[h+1]==pattern[j+1],則overlay(j+1)=h+1不然重複(2)過程.

下面給出一段計算覆蓋函數的代碼：

view plain

1. //copyright@ staurman  

2. //updated@2011 July  

3. #include "StdAfx.h"  

4. #include<iostream>  

5. #include<string>  

6. using namespace std;  

7.   

8. //solve to the next array  

9. void compute_overlay(const string& pattern)  

10. {  

11.     const int pattern_length = pattern.size();  

12.     int *overlay_function = new int[pattern_length];  

13.     int index;  

14.     overlay_function[0] = -1;  

15.     for(int i=1;i<pattern_length;++i)      

16.         //注，與上文代碼段一不一樣的是，此處i是從1開始的，因此，下文中運用倆種方法求出來的next數組各值會有所不一樣  

17.     {  

18.         index = overlay_function[i-1];  

19.         //store previous fail position k to index;  

20.   

21.         while(index>=0 && pattern[i]!=pattern[index+1])  

22.         {  

23.             index = overlay_function[index];  

24.         }  

25.         if(pattern[i]==pattern[index+1])  

26.         {  

27.             overlay_function[i] = index + 1;    

28.         }  

29.         else  

30.         {  

31.             overlay_function[i] = -1;  

32.         }  

33.     }  

34.     for(int i=0;i<pattern_length;++i)  

35.     {  

36.         cout<<overlay_function[i]<<endl;  

37.     }  

38.     delete[] overlay_function;  

39. }  

40.   

41. //abaabcaba  

42. int main()  

43. {  

44.     string pattern = "abaabcaba";  

45.     compute_overlay(pattern);  

46.     system("pause");  

47.     return 0;  

48. }  

    運行結果以下所示：

2.二、kmp算法
     有了覆蓋函數，那麼實現kmp算法就是很簡單的了，咱們的原則仍是從左向右匹配，可是當失配發生時，咱們不用把target_index向回移動，target_index前面已經匹配過的部分在pattern自身就能體現出來，只要動pattern_index就能夠了。

當發生在j長度失配時，只要把pattern向右移動j-overlay(j)長度就能夠了。

     若是失配時pattern_index==0，至關於pattern第一個字符就不匹配，這時就應該把target_index加1，向右移動1位就能夠了。

    ok，下圖就是KMP算法的過程（紅色便是採用KMP算法的執行過程）：

    （另外一做者saturnman發現，在上述KMP匹配過程圖中，index=8和index=11處畫錯了。還有，anaven也早已發現，index=3處也畫錯了。很是感謝。但圖已沒法修改，見諒）

KMP 算法可在O（n+m）時間內完成所有的串的模式匹配工做。」

    OK，下面此前寫的關於KMP算法的第一篇文章中的源碼：

view plain

1. //copyright@ saturnman  

2. //updated@ 2011 July  

3. #include "stdafx.h"  

4. #include<iostream>  

5. #include<string>  

6. #include <vector>  

7. using namespace std;  

8.   

9. int kmp_find(const string& target,const string& pattern)  

10. {  

11.     const int target_length=target.size();  

12.     const int pattern_length=pattern.size();  

13.     int* overlay_value=new int[pattern_length];  

14.     overlay_value[0]=-1;        //remember:next array's first number was -1.  

15.     int index=0;  

16.   

17.     //next array  

18.     for (int i=1;i<pattern_length;++i)  

19.         //注，此處的i是從1開始的  

20.     {  

21.         index=overlay_value[i-1];  

22.         while (index>=0 && pattern[index+1]!=pattern[i])  //remember:!=  

23.         {  

24.             index=overlay_value[index];  

25.         }  

26.         if(pattern[index+1] == pattern[i])  

27.         {  

28.             overlay_value[i]=index+1;  

29.         }  

30.         else  

31.         {  

32.             overlay_value[i]=-1;  

33.         }  

34.     }  

35.   

36.     //mach algorithm start  

37.     int pattern_index=0;  

38.     int target_index=0;  

39.     while (pattern_index<pattern_length && target_index<target_length)  

40.     {  

41.         if (target[target_index] == pattern[pattern_index])  

42.         {  

43.             ++target_index;  

44.             ++pattern_index;  

45.         }   

46.         else if(pattern_index==0)  

47.         {  

48.             ++target_index;  

49.         }  

50.         else  

51.         {  

52.             pattern_index=overlay_value[pattern_index-1]+1;  

53.         }  

54.     }  

55.     if (pattern_index==pattern_length)  

56.     {  

57.         return target_index-pattern_index;  

58.     }   

59.     else  

60.     {  

61.         return -1;  

62.     }  

63.     delete [] overlay_value;  

64. }  

65.   

66. int main()  

67. {  

68.     string sourc="ababc";  

69.     string pattern="abc";  

70.     cout<<kmp_find(sourc,pattern)<<endl;  

71.     system("pause");  

72.     return 0;  

73. }  

    因爲是abc跟ababc匹配，那麼將返回匹配的位置「2」，運行結果如所示：

第四部分、測試

    針對上文中第三部分的兩段代碼測試了下，糾結了，兩種求next數組的方法對同一個字符串求next數組各值，獲得的結果居然不同，以下二圖所示：

    一、兩種方法對字符串abab求next數組各值比較：

    二、兩種對字符串abaabcaba求next數組各值比較：

    爲什麼會這樣呢，其實很簡單，上文中已經有所說明了，代碼實現一的i 是從0開始的，代碼實現二的i 是從1開始的。但從最終的運行結果來看，暫時仍是以代碼實現段二爲準。

第五部分、KMP完整準確源碼

    求next數組各值的方法爲：

view plain

1. //copyright@ staurman  

2. //updated@2011 July  

3. #include "StdAfx.h"  

4. #include<iostream>  

5. #include<string>  

6. using namespace std;  

7.   

8. //solve to the next array  

9. void compute_overlay(const string& pattern)  

10. {  

11.     const int pattern_length = pattern.size();  

12.     int *overlay_function = new int[pattern_length];  

13.     int index;  

14.     overlay_function[0] = -1;  

15.     for(int i=1;i<pattern_length;++i)  

16.     {  

17.         index = overlay_function[i-1];  

18.         //store previous fail position k to index;  

19.   

20.         while(index>=0 && pattern[i]!=pattern[index+1])  

21.         {  

22.             index = overlay_function[index];  

23.         }  

24.         if(pattern[i]==pattern[index+1])  

25.         {  

26.             overlay_function[i] = index + 1;    

27.         }  

28.         else  

29.         {  

30.             overlay_function[i] = -1;  

31.         }  

32.     }  

33.     for(int i=0;i<pattern_length;++i)  

34.     {  

35.         cout<<overlay_function[i]<<endl;  

36.     }  

37.     delete[] overlay_function;  

38. }  

39.   

40. //abaabcaba  

41. int main()  

42. {  

43.     string pattern = "abaabcaba";  

44.     compute_overlay(pattern);  

45.     system("pause");  

46.     return 0;  

47. }  

    運行結果入下圖所示：abab的next數組各值是-1，-1,0,1，而非本文第二部分所述的-1,0，-1,0。爲何呢？難道是搬石頭砸了本身的腳？

    NO，上文第四部分末已經詳細說明，上處代碼i 從0開始，本文第二部分代碼i 從1開始。

    KMP算法完整源碼，以下：

view plain

1. //copyright@ saturnman  

2. //updated@ 2011 July  

3. #include "stdafx.h"  

4. #include<iostream>  

5. #include<string>  

6. #include <vector>  

7. using namespace std;  

8.   

9. int kmp_find(const string& target,const string& pattern)  

10. {  

11.     const int target_length=target.size();  

12.     const int pattern_length=pattern.size();  

13.     int* overlay_value=new int[pattern_length];  

14.     overlay_value[0]=-1;        //remember:next array's first number was -1.  

15.     int index=0;  

16.   

17.     //next array  

18.     for (int i=1;i<pattern_length;++i)  

19.         //注，此處的i是從1開始的  

20.     {  

21.         index=overlay_value[i-1];  

22.         while (index>=0 && pattern[index+1]!=pattern[i])    

23.         {  

24.             index=overlay_value[index];  

25.         }  

26.         if(pattern[index+1] == pattern[i])  

27.         {  

28.             overlay_value[i]=index+1;  

29.         }  

30.         else  

31.         {  

32.             overlay_value[i]=-1;  

33.         }  

34.     }  

35.   

36.     //mach algorithm start  

37.     int pattern_index=0;  

38.     int target_index=0;  

39.     while (pattern_index<pattern_length && target_index<target_length)  

40.     {  

41.         if (target[target_index] == pattern[pattern_index])  

42.         {  

43.             ++target_index;  

44.             ++pattern_index;  

45.         }   

46.         else if(pattern_index==0)  

47.         {  

48.             ++target_index;  

49.         }  

50.         else  

51.         {  

52.             pattern_index=overlay_value[pattern_index-1]+1;  

53.         }  

54.     }  

55.     if (pattern_index==pattern_length)  

56.     {  

57.         return target_index-pattern_index;  

58.     }   

59.     else  

60.     {  

61.         return -1;  

62.     }  

63.     delete [] overlay_value;  

64. }  

65.   

66. int main()  

67. {  

68.     string sourc="ababc";  

69.     string pattern="abc";  

70.     cout<<kmp_find(sourc,pattern)<<endl;  

71.     system("pause");  

72.     return 0;  

73. }  

    運行結果以下：

第六部分、一眼看出字符串的next數組各值

    上文已經用程序求出了一個字符串的next數組各值，接下來，稍稍演示下，如何一眼大體判斷出next數組各值，以及初步判斷某個程序求出的next數組各值是否是正確的。有一點務必注意：下文中的代碼所有采起代碼實現二，即i是從1開始的。

• 一、對字符串aba求next數組各值，各位能夠先猜猜，-1，...，aba中，a初始化爲-1，第二個字符b與a不一樣也爲-1，最後一個字符和第一個字符都是a，因此，我猜其next數組各值應該是-1，-1,0，結果也不出所料，以下圖所示：

• 二、字符串「abab」呢，不用猜了，我已經看出來了，固然上文中代碼實現一和代碼實現二都已經求出來了。若是i 是1開始的話，那麼next數組各值將如代碼實現二所運行的那樣，將是：-1，-1,0,1；

• 三、字符串「abaabcaba」呢，next數組如上第三部分代碼實現二所述，爲-1，-1,0,0,1，-1,0,1,2；

• 四、字符串「abcdab」呢，next數組各值將是-1，-1，-1，-1,0,1；

• 五、字符串「abcdabc」呢，next數組各值將是-1，-1，-1，-1,0,1,2；

• 六、字符串「abcdabcd」呢，那麼next數組各值將是-1，-1，-1，-1,0，1,2,3；

    怎麼樣，看出規律來了沒？呵呵，能夠用上述第五部分中求next數組的方法自個多試探幾回，相信，很快，你也會跟我同樣，不用計算，一眼便能看出某個字符串的next數組各值了。如此便恭喜你，理解了next數組的求法，KMP算法也就算是真真正正不折不扣的理解了。完。