【算法】KMP算法

簡介

KMP算法由 Knuth-Morris-Pratt 三位科學家提出，可用於在一個 文本串 中尋找某 模式串 存在的位置。
本算法能夠有效下降在一個 文本串 中尋找某 模式串 過程的時間複雜度。（若是採起樸素的想法則複雜度是 \(O(MN)\) ）

這裏樸素的想法指的是枚舉 文本串 的起點，而後讓 模式串 從第一位開始一個個地檢查是否配對，若是不配對則繼續枚舉起點。

前置知識

真前綴
指字符串左部的任意子串（不包含自身），如 abcde 中的 a,ab,abc,abcd 都是真前綴但 abcde 不是。

真後綴
指字符串右部的任意子串（不包含自身），如 abcde 中的 e,de,cde,bcde 都是真後綴但 abcde 不是。

前綴函數
一個字符串中最長的、相等的真前綴與真後綴的長度， 如AABBAAA對應的前綴函數值是 \(2\) 。

原理

注意：在分析的時候，咱們規定字符串的下標從 \(1\) 開始。

開始：
咱們記掃描模式串的指針爲j，而掃描文本串的指針爲i，假設一開始i，j都在起點，而後讓它們一直下去直到徹底匹配或者失配，好比：

j
ABCD

i
ABCDEFG

而後

j
ABCD

 i
ABCDEFG

最後在此完成了一次匹配，相似地若是ABCD改成ABCC則在此失配。

j
ABCD

   i
ABCDEFG

i，j運做模式如上。

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KMP算法就是，當模式串和文本串失配的時候，j指針從真後綴的末尾跳到真前綴的末尾，而後從真前綴後一位開始繼續匹配。（從而起到減小配對次數，這即是KMP算法的核心原理）

結合例子解釋：

模式串： \(AABBAAA\)

文本串： \(AABBAABBAAA\)

j指針在最後一個A處失配。

j
AABBAAA
      i
AABBAABBAAA

由於此時 以j爲尾的前綴 所對應的前綴函數值是 \(2\) ，因此 j指針 跳到這裏：

j
AABBAAA
      i
AABBAABBAAA

而後從下一位開始繼續配對：

j
AABBAAA
      i
AABBAABBAAA

最後

j
AABBAAA
          i
AABBAABBAAA

能夠看出，KMP可以有效減小配對次數。

實現

咱們記模式串 爲 p，文本串 爲 s 。

從上面的模擬中，咱們發現須要預處理出一個數組（記之爲next[]），它儲存模式串中前綴對應的前綴函數\(\pi()\)，如對於字符串ABCABC ：

\(\pi(0)=0\) （由於什麼都沒有）
\(\pi(1)=0\) （A甚至沒有真前綴和真後綴）
\(\pi(2)=0\) （AB）
\(\pi(3)=0\) （ABC）
\(\pi(4)=1\) （ABCA）
\(\pi(5)=2\) （ABCAB）
\(\pi(6)=3\) （ABCABC）

一樣地，咱們發現若是用暴力樸素的想法來統計複雜度是 O(N^2) 很差，因而採用相似於上面的方法，只不過模式串配對的對象是本身罷了。

能夠結合代碼理解，並注意舉例，嘗試在紙上模擬這個過程。

for(int i=2,j=0;i<=lenp;i++){
        while(j && p[j+1]!=p[i]) j=next_[j]; // 若是j指向元素的下一個元素會和當前配對位置失配，則j跳回去
        if(p[j+1]==p[i]) j++; //若是可以配對上，j++
        next_[i]=j; //記錄當前位置的前綴函數π
}

完整代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e6+5;
char p[N],s[N];
int next_[N];

int main(){
    cin>>s+1>>p+1;

    int lenp=strlen(p+1),lens=strlen(s+1);
    // build next array
    for(int i=2,j=0;i<=lenp;i++){
        while(j && p[j+1]!=p[i]) j=next_[j]; // 若是j指向元素的下一個元素會和當前配對位置失配，則j跳回去
        if(p[j+1]==p[i]) j++; //若是可以配對上，j++
        next_[i]=j; //記錄當前位置的前綴函數π
    }

    for(int i=1,j=0;i<=lens;i++){
        while(j && p[j+1]!=s[i]) j=next_[j];
        if(p[j+1]==s[i]) j++;

        // if match
        if(j==lenp){
            j=next_[j];
            cout<<i-lenp+1<<endl;
        }
    }

    for(int i=1;i<=lenp;i++) cout<<next_[i]<<' ';
    cout<<endl;

    return 0;
}

複雜度

\(O(N+M)\)