樹（習題課）

哈夫曼樹

• 在一棵樹中，從一個結點到另外一個結點所通過的全部結點，被咱們稱爲兩個結點之間的路徑。

上面的二叉樹當中，從根結點A到葉子結點H的路徑，就是A，B，D，H。

• 在一棵樹中，從一個結點到另外一個結點所通過的「邊」的數量，被咱們稱爲兩個結點之間的路徑長度。

仍然用剛纔的二叉樹舉例子，從根結點A到葉子結點H，共通過了3條邊，所以路徑長度是3。

• 結點的帶權路徑長度，是指樹的根結點到該結點的路徑長度，和該結點權重的乘積。

如上圖，假設結點H的權重是3，從根結點到結點H的路徑長度也是3，所以結點H的帶權路徑長度是 3 X 3 = 9。

• 樹的帶權路徑長度（WPL），即在一棵樹中，全部葉子結點的帶權路徑長度之和。

仍然以這顆二叉樹爲例，樹的路徑長度是 3X3 + 6X3 + 1X2 + 4X2 + 8X2 = 53

哈夫曼樹：哈夫曼樹（Huffman Tree）是在葉子結點和權重肯定的狀況下，帶權路徑長度最小的二叉樹，也被稱爲最優二叉樹

• 舉個例子，給定權重分別爲1，3，4，6，8的葉子結點，咱們應當構建怎樣的二叉樹，才能保證其帶權路徑長度最小？

原則上，咱們應該讓權重小的葉子結點遠離樹根，權重大的葉子結點靠近樹根。

下圖左側的這棵樹就是一顆哈夫曼樹，它的WPL是46，小於以前例子當中的53：

如下說法錯誤的是（  A ）

• A. 哈夫曼樹是帶權路徑長度最短的樹，路徑上權值較大的結點離根較近。
• B. 若一個二叉樹的樹葉是某子樹的中序遍歷序列中的第一個結點，則它必是該子樹的後序遍歷序列中的第一個結點。
• C. 已知二叉樹的前序遍歷和後序遍歷序列並不能唯一地肯定這棵樹，由於不知道樹的根結點是哪個。
• D. 在前序遍歷二叉樹的序列中，任何結點的子樹的全部結點都是直接跟在該結點的以後。

度爲二的樹就是二叉樹。（  錯 ）

首先，咱們明確一個概念，樹的度數是按節點的最大度數來定義的。因此，度爲 2 的樹要求每一個節點最多隻能有兩棵子樹,而且至少有一個節點有兩棵子樹；這與二叉樹的要求：度不超過 2,就是說度也能夠是 1 或者 0相矛盾。
其次，二叉樹還有一個重要特色：左子樹和右子樹不同；而普通的樹不分左右子樹.

二叉樹共有5種基本形態

(1)空二叉樹；(2)只有一個根結點的二叉樹；(3)只有左子樹；(4)只有右子樹；(5)左右子樹都有的二叉樹

霍夫曼樹的結點個數不能是偶數

首先，哈夫曼樹只有度爲0和2的節點。這是由於哈夫曼樹的構造老是以兩棵值最小的樹合併，每次合併都是兩棵子樹，不會有度爲1的節點。
由二叉樹性質，二叉樹的節點關係n0=n2+1，也就是度爲0的節點數老是比度爲2的節點數多1.若其中一個爲奇數那麼另一個就必然是偶數，加起來就仍是奇數。

哈夫曼樹的構造方法

假設有6個葉子結點，權重依次是2，3，7，9，18，25，如何構建一顆哈夫曼樹，也就是帶權路徑長度最小的樹呢？

第一步：構建森林

咱們把每個葉子結點，都當作樹一顆獨立的樹（只有根結點的樹），這樣就造成了一個森林：

在上圖當中，右側是葉子結點的森林，左側是一個輔助隊列，按照權值從小到大存儲了全部葉子結點。至於輔助隊列的做用，咱們後續將會看到。

第二步：選擇當前權值最小的兩個結點，生成新的父結點，不斷重複至只有一個節點。

藉助輔助隊列，咱們能夠找到權值最小的結點2和3，並根據這兩個結點生成一個新的父結點，父節點的權值是這兩個結點權值之和：

此時，隊列中僅有一個結點，說明整個森林已經合併成了一顆樹，而這棵樹就是咱們想要的哈夫曼樹：