【證實】【一題多解】布爾不等式（union bound）的證實

時間 2019-11-06

標籤證實一題多解布爾不等式 union bound 简体版

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布爾不等式（Boole’s inequality）也叫（union bound），即並集的上界，描述的是至少一個事件發生的機率（ $P (⋃_{i} A_{i})$ ）不大於單獨事件（事件之間未必獨立）發生的機率之和（ $\sum_{i} P (A_{i})$ ）。atom

即：spa

P (⋃_{i} A_{i}) \leq \sum_{i} P (A_{i})

展開即爲：orm

P (A_{1} ⋃ A_{2} ⋃ \dots) \leq P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots

1. 數學概括法證實

當 $n = 1$ 時，顯然 $P (A_{1}) \leq P (A_{1})$
對於 $n$ ，若是有： $P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) \leq \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i})$ ，則由 $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ 可知：xml

$\begin{aligned} P (⋃_{i = 1}^{n + 1} A_{i}) = P ({⋃_{i = 1}^{n} A_{i}} ⋃ A_{n + 1}) & = P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) + P (A_{n + 1}) - P ({⋃_{i = 1}^{n} A_{i}} ⋂ A_{n + 1}) \\ \leq P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) + P (A_{n + 1}) \end{aligned}$

2. 將事件轉換爲獨立事件（不相交事件）

假設有 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 三個事件，則：事件

令 $B_{1} = A_{1}, B_{2} = A_{2} - A_{1}$ ， $B_{1}$ 與 $B_{2}$ 不相交
令 $B_{2} = A_{2} - A_{1}$ $B_{3} = A_{3} - A_{2} - A_{1}$ ， $B_{2}$ 與 $B_{3}$ 不相交

令 $B_{i} = A_{i} ∖ (⋃_{k = 1}^{i - 1} A_{i})$ ，則有 $B_{1}, B_{2}, \dots,$ 互不相交，且 $A_{1} \cup A_{2} \cup \dots = B_{1} \cup B_{2} \cup \dots$ ，天然 $B_{i} \subset A_{i}$ ==> $P (B_{i}) \leq P (A_{i})$ ：ip

\begin{aligned} P (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots) & = P (B_{1} \cup B_{2} \cup \dots) = P (B_{1}) + P (B_{2}) + \dots \\ \leq P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots \end{aligned}

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