【數學】張宇概率論九講筆記

時間  2021-01-12
欄目 應用數學 简体版
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隨機事件與概率

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1. 排 列 組 合 排 列 A n r = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − r + 1 ) 從 n 個 不 同 的 元 素 中 任 取 r 個 ， 按 一 定 順 序 排 成 一 列 組 合 C n r = n ! ( n − r ) ! r ! = A n r r ! 從 n 個 不 同 的 元 素 中 任 取 r 個 ， 不 計 順 序 排 成 一 組 2. 五 大 公 式 加 法 公 式 ： P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) 減 法 公 式 ： P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) 乘 法 公 式 ： P ( A B ) + P ( A ) P ( B ∣ A ) 全 概 率 公 式 ： P ( A ) = ∑ i = 1 n P ( B i ) P ( A ∣ B i ) 逆 概 率 公 式 ： P ( A j ∣ B ) = P ( A j B ) P ( B ) = P ( A j ) P ( B ∣ A j ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) 3. 條 件 概 率 P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A )    ⟹    P ( A B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ∣ A ) 4. 獨 立 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) 5. 伯 努 利 試 驗 P ( X = k ) = C N K p k ( 1 − p ) n − k \begin{aligned} 1.&\color{red}{排列組合}\\ &排列A_n^r=n(n-1)\cdots(n-r+1)\\ &從n個不同的元素中任取r個，按一定順序排成一列\\ &組合C_n^r=\frac{n!}{(n-r)!r!}=\frac{A_n^r}{r!}\\ &從n個不同的元素中任取r個，不計順序排成一組\\ 2.&\color{red}{五大公式}\\ &加法公式：P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\\ &減法公式：P(A-B)=P(A)-P(AB)\\ &乘法公式：P(AB)+P(A)P(B|A)\\ &全概率公式：P(A)=\sum_{i=1}^nP(B_i)P(A|B_i)\\ &逆概率公式：P(A_j|B)=\frac{P(A_jB)}{P(B)}=\frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}\\ 3.&\color{red}{條件概率}\\ &P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\implies P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)\\ 4.&\color{red}{獨立}\\ &P(AB)=P(A)P(B)\\ 5.&\color{red}{伯努利試驗}\\ &P(X=k)=C_N^Kp^k(1-p)^{n-k}\\ \end{aligned}

一維隨機變量及分佈

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分佈函數的性質

1. lim ⁡ x → − ∞ F ( x ) = 0 , 記 爲 F ( − ∞ ) = 0 , lim ⁡ x → + ∞ F ( x ) = 1 , 記 爲 F ( + ∞ ) = 1 2. F ( x ) 是 單 調 非 減 函 數 3. F ( x ) 是 右 連 續 函 數 ， F ( x + 0 ) = F ( x ) 若 x ∈ D 爲 一 隨 機 事 件 ， 則 其 概 率 爲 P ( x ∈ D ) = ∫ D f ( x ) d x \begin{aligned} &1.\lim_{x\to-\infty}F(x)=0,記爲F(-\infty)=0,\lim_{x\to+\infty}F(x)=1,記爲F(+\infty)=1\\ &2.F(x)是單調非減函數\\ &3.F(x)是右連續函數，F(x+0)=F(x)\\ &若x\in D爲一隨機事件，則其概率爲P(x\in D)=\int_Df(x)dx\\ \end{aligned}

離散型隨機變量的分佈律與分佈函數

x 1 2 3 P 0.1 0.5 0.4 F ( x ) = { 0 , x < 1 0.1 , 1 ≤ x < 2 0.6 , 2 ≤ x < 3 1 , 3 ≤ x \begin{aligned} & \begin{array}{c|c|c|c} x & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0.1 & 0.5 & 0.4 \end{array}\\ &F(x)=\begin{cases}0,x<1\\0.1,1\leq x<2\\0.6,2\leq x<3\\1,3\leq x\end{cases} \end{aligned}

連續型隨機變量的性質

1. f ( x ) ≥ 0 2. ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 3. 對 於 ∀ x 1 < x 2 , P ( x 1 < x ≤ x 2 ) = ∫ x 1 x 2 f ( t ) d t 4. f ( x ) 在 連 續 點 處 可 導 ， 即 F ′ ( x ) = f ( x ) 常 考 的 兩 個 積 分 { ∫ 0 + ∞ x n e − x d x = n ! ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = π \begin{aligned} &1.f(x)\geq0\\ &2.\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\\ &3.對於\forall x_1< x_2,P(x_1< x\leq x_2)=\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt\\ &4.f(x)在連續點處可導，即F'(x)=f(x)\\ &常考的兩個積分\begin{cases}\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}dx=n!\\\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi\end{cases} \end{aligned}

常見分佈

離 散 型 定 義 0 與 1 P ( X = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k P ( X = k ) = λ k e − λ k ! 稱 呼 0 − 1 分 布 二 項 分 布 泊 鬆 分 布 記 號 X ∼ B ( 1 , p ) X ∼ B ( n , p ) X ∼ P ( λ ) 參 數 p p λ 背 景 一 次 伯 努 利 試 驗 成 功 或 失 敗 的 次 數 n 次 伯 努 利 試 驗 成 功 k 次 ， 失 敗 n − k 次 例 如 每 天 收 到 電 話 、 短 信 的 次 數 E X p n p λ D X p ( 1 − p ) n p ( 1 − p ) λ 連 續 型 定 義 f ( x ) = { 1 b − a , a ≤ x ≤ b 0 , 其 他 f ( x ) = { λ e − λ x , x > 0 0 , x ≤ 0 ( λ > 0 ) f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 稱 呼 均 勻 分 布 指 數 分 布 正 態 分 布 記 號 X ∼ U [ a , b ] X ∼ E ( λ ) X ∼ N ( μ , σ 2 ) 參 數 a , b λ μ , σ 背 景 等 公 交 、 地 鐵 、 電 梯 反 映 使 用 壽 命 、 生 命 特 徵 的 現 象 考 試 成 績 的 分 布 E X a + b 2 1 λ μ D X ( b − a ) 2 12 1 σ 2 σ 2 特 殊 P ( x > t ) = e − λ t ( t > 0 ) X ∼ N ( 0 , 1 ) → φ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \begin{aligned} &\color{red}{離散型}\\ & \begin{array}{c|c|c|c} 定義 & 0與1 & P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} & P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \\ \hline 稱呼 & 0-1分佈 & 二項分佈 & 泊松分佈 \\\hline 記號 & X\sim B(1,p) & X\sim B(n,p) & X\sim P(\lambda) \\\hline 參數 & p & p & \lambda\\\hline 背景 & 一次伯努利試驗成功或失敗的次數 & n次伯努利試驗成功k次，失敗n-k次 & 例如每天收到電話、短信的次數\\\hline EX & p & np & \lambda \\\hline DX & p(1-p) & np(1-p) & \lambda \\ \end{array}\\ &\color{red}{連續型}\\ & \begin{array}{c|c|c|c} 定義 & f(x)=\begin{cases}\frac1{b-a},a\leq x\leq b\\0,其他\end{cases} & f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},x>0\\0,x\leq 0\end{cases}(\lambda>0) & f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \\ \hline 稱呼 & 均勻分佈 & 指數分佈 & 正態分佈 \\\hline 記號 & X\sim U[a,b] & X\sim E(\lambda) & X\sim N(\mu,\sigma^2) \\\hline 參數 & a,b & \lambda & \mu,\sigma\\\hline 背景 & 等公交、地鐵、電梯 & 反映使用壽命、生命特徵的現象 & 考試成績的分佈\\\hline EX & \frac{a+b}2 & \frac1\lambda & \mu \\\hline DX & \frac{(b-a)^2}{12} & \frac1{\sigma^2} & \sigma^2 \\\hline 特殊 & & P(x>t)=e^{-\lambda t}(t>0) & X\sim N(0,1)\to\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2} \end{array} \end{aligned}

期望方差

期 望 : E ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ x d [ F ( x ) ] = { ∑ i x i p i , X 爲 離 散 型 隨 機 變 量 ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x , X 爲 連 續 型 隨 機 變 量 若 隨 機 變 量 X 的 概 率 分 布 已 知 ， 則 隨 機 變 量 函 數 g ( x ) 的 數 學 期 望 爲 E ( g ( X ) ) = { ∑ i g ( x i ) p i , X 爲 離 散 型 ∫ − ∞ ∞ g ( x ) f ( x ) d x , X 爲 連 續 型 性 質 : E ( c ) = C E ( c X ) = C E ( X ) E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) 方 差 : D ( X ) = E [ X − E ( X ) ] 2 = { ∑ i [ x i − E ( X ) ] 2 p i , 當 X 爲 離 散 型 時 ∫ − ∞ + ∞ [ x − E ( X ) ] 2 f ( x ) d x , 當 X 爲 連 續 型 時 性 質 : D ( c ) = 0 D ( c X ) = C 2 D ( X ) D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) − 2 E { [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] } D ( X ) = e ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) ( 獨 立 ) \begin{aligned} 期望:&E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}xd[F(x)]=\begin{cases}\sum_ix_ip_i,X爲離散型隨機變量\\\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx,X爲連續型隨機變量\end{cases}\\ &若隨機變量X的概率分佈已知，則隨機變量函數g(x)的數學期望爲E(g(X))=\begin{cases}\sum_ig(x_i)p_i,X爲離散型\\\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx,X爲連續型\end{cases}\\ 性質:&E(c)=C\quad E(cX)=CE(X)\quad E(X+Y)=E(X)+E(Y)\quad E(XY)=E(X)E(Y)\\ 方差:&D(X)=E[X-E(X)]^2=\begin{cases}\sum_i[x_i-E(X)]^2p_i,當X爲離散型時\\\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx,當X爲連續型時\end{cases}\\ 性質:&D(c)=0\quad D(cX)=C^2D(X)\\ &D(X+Y)=D(X)+D(Y)-2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}\\ &D(X)=e(X^2)-[E(X)]^2\quad D(X+Y)=D(X)+D(Y)(獨立) \end{aligned}

宇哥筆記

隨機事件與概率

古典概型

定義

  [ 定 義 ] 若 Ω 中 有 有 限 個 、 等 可 能 的 樣 本 點 ， 稱 爲 古 典 概 型 即 P ( A ) = A 中 樣 本 點 個 數 Ω 中 樣 本 點 數 [ 注 ] 1. 試 驗 ( E ) 同 條 件 下 可 重 復 ； 試 驗 結 果 不 止 一 個 ； 試 驗 前 不 知 哪 個 結 果 會 出 現 2. Ω — — 樣 本 空 間 — — 所 有 可 能 結 果 ； ω — — 樣 本 點 [ 例 ] P ( 擲 出 奇 數 點 ) = 1 2 \begin{aligned} \ [定義]&若\Omega中有有限個、等可能的樣本點，稱爲古典概型\\ &即P(A)=\frac{A中樣本點個數}{\Omega中樣本點數}\\ [注]&1.試驗(E)同條件下可重複；試驗結果不止一個；試驗前不知哪個結果會出現\\ &2.\Omega——樣本空間——所有可能結果；\omega——樣本點\\ [例]&P(擲出奇數點)=\frac12\\ \end{aligned}

隨機分配(佔位)

  [ 例 ] 設 n 個 球 隨 機 放 入 N ( n ≤ N ) 個 盒 子 中 ， 每 個 盒 子 可 放 任 意 多 個 球 ， 求 ( 1 ) A = { 某 指 定 n 個 盒 子 各 有 一 球 } ( 2 ) B = { 恰 有 n 個 盒 子 各 有 一 球 } ( 1 ) P ( A ) = n ⋅ ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ 1 N n = n ! N n ( 2 ) P ( B ) = C N n ⋅ n ! N n [ 注 ] 類 比 : 12 個 人 ， 每 個 人 在 365 天 出 生 等 可 能 ( 1 ) A = { 生 日 分 別 爲 每 個 月 的 第 一 天 }    ⟹    P ( A ) = 12 ! 36 5 12 ( 2 ) B = { 生 日 全 不 相 同 }    ⟹    P ( B ) = C 365 12 ⋅ 12 ! 36 5 12 B ‾ = { 至 少 兩 個 人 生 日 相 同 }    ⟹    P ( B ‾ ) = 1 − P ( B ) \begin{aligned} \ [例]&\color{maroon}設n個球隨機放入N(n\leq N)個盒子中，每個盒子可放任意多個球，求\\ &\color{maroon}(1)A=\{某指定n個盒子各有一球\}\\ &\color{maroon}(2)B=\{恰有n個盒子各有一球\}\\ &(1)P(A)=\frac{n\cdot(n-1)(n-2)\cdots1}{N^n}=\frac{n!}{N^n}\\ &(2)P(B)=\frac{C_N^n\cdot n!}{N^n}\\ [注]&類比:12個人，每個人在365天出生等可能\\ &(1)A=\{生日分別爲每個月的第一天\}\implies P(A)=\frac{12!}{365^{12}}\\ &(2)B=\{生日全不相同\}\implies P(B)=\frac{C_{365}^{12}\cdot 12!}{365^{12}}\\ &\quad \overline{B}=\{至少兩個人生日相同\}\implies P(\overline{B})=1-P(B)\\ \end{aligned}

簡單隨機抽樣

  [ 例 ] 袋 中 有 5 個 球 ， 3 白 2 黑 ( 1 ) 先 後 有 放 回 取 2 個 球 ( 2 ) 先 後 無 放 回 取 2 個 球 ( 3 ) 任 取 2 個 球 求 取 的 2 球 中 至 少 一 個 白 球 的 概 率 算 ‘ 兩 球 全 黑 ’ ， 用 總 數 減 去 它 ( 1 ) P 1 = 5 2 − 2 2 5 2 = 21 25 ( 2 ) P 2 = 5 ⋅ 4 − 2 ⋅ 1 5 ⋅ 4 = 9 10 ( 3 ) P 3 = C 5 2 − C 2 2 C 5 2 = 9 10 [ 注 ] ′ 先 後 無 放 回 取 k 個 球 ′ 與 ′ 任 取 k 個 球 ′ 概 率 相 等 ， 後 者 好 算 \begin{aligned} \ [例]&\color{maroon}袋中有5個球，3白2黑\\ &\color{maroon}(1)先後有放回取2個球\\ &\color{maroon}(2)先後無放回取2個球\\ &\color{maroon}(3)任取2個球\\ &\color{maroon}求取的2球中至少一個白球的概率\\ &\color{maroon}算‘兩球全黑’，用總數減去它\\ &(1)P_1=\frac{5^2-2^2}{5^2}=\frac{21}{25}\\ &(2)P_2=\frac{5\cdot4-2\cdot1}{5\cdot4}=\frac{9}{10}\\ &(3)P_3=\frac{C_5^2-C_2^2}{C_5^2}=\frac{9}{10}\\ [注]&'先後無放回取k個球'與'任取k個球'概率相等，後者好算\\ \end{aligned}

幾何概型

  [ 定 義 ] 若 Ω 是 一 個 可 度 量 的 幾 何 區 域 ， 且 樣 本 點 落 入 Ω 中 的 某 一 可 度 量 子 區 域 A 的 可 能 性 大 小 與 A 的 幾 何 度 量 成 正 比 ， 而 與 A 的 位 置 、 形 狀 無 關 ， 稱 爲 幾 何 概 型 , 即 P ( A ) = A 的 度 量 Ω 的 度 量 [ 引 例 ] 天 上 掉 餡 餅 於 操 場 上 ， 拿 一 個 飯 盆 A 去 接 這 個 餡 餅 ， P ( A ) = A 的 面 積 Ω 的 面 積 [ 例 ] 隨 機 取 兩 個 正 數 x , y ， 這 兩 個 數 中 的 每 一 個 都 不 超 過 1 ， 求 x 與 y 之 和 不 超 過 1 ， 積 不 小 於 0.09 的 概 率 . S A = ∫ 0.1 0.9 [ 1 − x − 0.09 x ] d x = 0.8 − x 2 2 ∣ 0.1 0.9 − 0.09 ln ⁡ x ∣ 0.1 0.9 = 0.8 − 0.4 − 0.18 ⋅ ln ⁡ 3 ≈ 0.2 P ( A ) = S A S Ω = 20 % \begin{aligned} \ [定義]&若\Omega是一個可度量的幾何區域，且樣本點落入\Omega中的某一可度量子區域A的可能性大小與A的幾何度量成正比，\\ &而與A的位置、形狀無關，稱爲幾何概型,即P(A)=\frac{A的度量}{\Omega的度量}\\ [引例]&天上掉餡餅於操場上，拿一個飯盆A去接這個餡餅，P(A)=\frac{A的面積}{\Omega的面積}\\ [例]&\color{maroon}隨機取兩個正數x,y，這兩個數中的每一個都不超過1，求x與y之和不超過1，積不小於0.09的概率.\\ &S_A=\int_{0.1}^{0.9}[1-x-\frac{0.09}{x}]dx=0.8-\frac{x^2}2|_{0.1}^{0.9}-0.09\ln x | _{0.1}^{0.9}=0.8-0.4-0.18\cdot\ln3\approx0.2\\ &P(A)=\frac{S_A}{S_\Omega}=20\% \end{aligned}

重要公式

  [ 公 式 ] 1. 對 立   P ( A ) = 1 − P ( A ‾ ) 2. 減 法   P ( A B ‾ ) = P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) ( A 發 生 且 B 不 發 生 ) 3. 加 法   ( 1 ) P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) ( 2 ) P ( A + B + C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A B ) − P ( B C ) − P ( A C ) + P ( A B C ) [ 注 ] 1. 若 A 1 , A 2 , ⋯   , A n ( n > 3 ) 兩 兩 互 斥    ⟹    P ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) 2. 設 A 1 , A 2 , ⋯   , A n ( n > 3 ) , 若 對 其 中 任 意 有 限 個 A i 1 , A i 2 , ⋯   , A i k ( k ≥ 2 ) , 都 有 P ( A i 1 A i 2 ⋯ A i k ) = P ( A i 1 ) P ( A i 2 ) ⋯ P ( A i k )    ⟹    A 1 , A 2 , ⋯   , A n 相 互 獨 立 且 ′ 夫 唱 婦 隨 ′ ， 即 ： n 個 事 件 相 互 獨 立    ⟺    A , B 獨 立    ⟺    A ‾ , B ‾ 獨 立    ⟺    A ‾ , B 獨 立    ⟺    A , B ‾ 獨 立 n = 3 , A 1 , A 2 , A 3 , 有 { P ( A 1 A 2 ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A 1 A 3 ) = P ( A 1 ) P ( A 3 ) P ( A 2 A 3 ) = P ( A 2 ) P ( A 3 ) P ( A 1 A 2 A 3 ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) 相 互 獨 立 若 上 者 只 成 立 前 三 條 ， 則 稱 爲 兩 兩 獨 立 於 是 若 A 1 , A 2 , ⋯   , A n 相 互 獨 立 ， 則 P ( ⋃ i = 1 n A i ) = 1 − P ( ⋃ i = 1 n A i ) = 1 − P ( ⋂ i = 1 n A i ‾ ) = 1 − ∏ i = 1 n [ 1 − P ( A i ) ] 即 A 1 ‾ , A 2 ‾ , ⋯   , A n ‾ 相 互 獨 立 4. 條 件 概 率   P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) , P ( B ) > 0 5. 乘 法   P ( A B ) = { P ( B ) P ( A ∣ B ) , P ( B ) > 0 P ( A ) P ( B ∣ A ) , P ( A ) > 0 P ( A 1 A 2 A 3 ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) 6. 全 集 分 解 公 式 （ 全 概 率 公 式 ） [ 引 例 ] 一 個 村 子 有 且 僅 有 三 個 小 偷 A 1 , A 2 , A 3 , 求 P ( B ) = P { 失 竊 } 分 成 兩 個 階 段 { 1. 選 人 A 1 , A 2 , A 3 2. 去 偷 , B 則 P ( B ) = P ( B Ω ) = P ( B ∩ ( A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ) ) = P ( B A 1 ∪ B A 2 ∪ B A 3 ) = P ( B A 1 ) + P ( B A 2 ) + P ( B A 3 ) = P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B ∣ A 2 ) + P ( A 3 ) P ( B ∣ A 3 ) 故 P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) 7. 貝 葉 斯 公 式 （ 逆 概 率 公 式 ）   若 B 發 生 了 ， 執 果 索 因 P ( A j ∣ B ) = P ( A j B ) P ( B ) = P ( A j ) P ( B ∣ A j ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) \begin{aligned} \ [公式]1.&對立\ P(A)=1-P(\overline{A})\\ 2.&減法\ P(A\overline{B})=P(A-B)=P(A)-P(AB)(A發生且B不發生)\\ 3.&加法\ (1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\\ &(2)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)\\ &[注]\color{grey}1.若A_1,A_2,\cdots,A_n(n>3)兩兩互斥\implies P(\bigcup_{i=1}^nA_i)=\sum_{i=1}^nP(A_i)\\ &\color{grey}2.設A_1,A_2,\cdots,A_n(n>3),若對其中任意有限個A_{i1},A_{i2},\cdots,A_{ik}(k\geq2),\\ &\color{grey}都有P(A_{i1}A_{i2}\cdots A_{ik})=P(A_{i1})P(A_{i2})\cdots P(A_{ik})\implies A_1,A_2,\cdots,A_n相互獨立\\ &\color{grey}且'夫唱婦隨'，即：n個事件相互獨立\iff A,B獨立\iff\overline{A},\overline{B}獨立\iff\overline{A},B獨立\iff A,\overline{B}獨立\\ &\color{grey}n=3,A_1,A_2,A_3,有\begin{cases}P(A_1A_2)=P(A_1)P(A_2)\\P(A_1A_3)=P(A_1)P(A_3)\\P(A_2A_3)=P(A_2)P(A_3)\\P(A_1A_2A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)\end{cases}相互獨立\\ &\color{grey}若上者只成立前三條，則稱爲兩兩獨立\\ &\color{grey}於是若A_1,A_2,\cdots,A_n相互獨立，則P(\bigcup_{i=1}^nA_i)=1-P(\bigcup_{i=1}^nA_i)=1-P(\bigcap_{i=1}^n\overline{A_i})=1-\prod_{i=1}^n[1-P(A_i)]\\ &\color{grey}即\overline{A_1},\overline{A_2},\cdots,\overline{A_n}相互獨立\\ 4.&條件概率\ P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)},P(B)>0\\ 5.&乘法\ P(AB)=\begin{cases}P(B)P(A\mid B),P(B)>0\\P(A)P(B\mid A),P(A)>0\end{cases}\\ &P(A_1A_2A_3)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1A_2)\\ 6.&全集分解公式（全概率公式）\\ &[引例]一個村子有且僅有三個小偷A_1,A_2,A_3,求P(B)=P\{失竊\}\\ &分成兩個階段\begin{cases}1.選人A_1,A_2,A_3\\2.去偷,B\end{cases}\\ &則P(B)=P(B\Omega)=P(B\cap(A_1\cup A_2\cup A_3))\\ &=P(BA_1\cup BA_2\cup BA_3)=P(BA_1)+P(BA_2)+P(BA_3)\\ &=P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)+P(A_3)P(B\mid A_3)\\ &故P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B\mid A_i)\\ 7.&貝葉斯公式（逆概率公式）\ 若B發生了，執果索因\\ &P(A_j\mid B)=\frac{P(A_jB)}{P(B)}=\frac{P(A_j)P(B\mid A_j)}{\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B\mid A_i)} \end{aligned}

  [ 例 1 ] 以 下 結 論 ， 錯 誤 的 是 （ D ） ？ ( A ) 若 0 < P ( B ) < 1 , P ( A ∣ B ) + P ( A ‾ ∣ B ‾ ) = 1 ( B ) 若 A , B 滿 足 P ( B ∣ A ) = 1 , 則 P ( A − B ) = 0 ( C ) ( A − B ) ∪ B = A ∪ B ( D ) 若 A , B 同 時 發 生 時 ， C 必 發 生 ， 則 P ( C ) < P ( A ) + P ( B ) − 1 ( A )   P ( A B ) P ( B ) + P ( A ‾ B ‾ ) P ( B ‾ ) = P ( A B ) P ( B ) + 1 − P ( A + B ) 1 − P ( B ) = P ( A B ) P ( B ) + 1 − P ( A ) − P ( B ) + P ( A B ) 1 − P ( B ) = P ( A B ) − P ( A B ) P ( B ) + P ( B ) − P ( A ) P ( B ) − [ P ( B ) ] 2 + P ( B ) P ( A B ) P ( B ) [ 1 − P ( B ) ] = 1    ⟹    P ( A B ) + P ( B ) − P ( A ) P ( B ) − [ P ( B ) ] 2 = P ( B ) − [ P ( B ) ] 2    ⟹    P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) ( B )   P ( A B ) P ( A ) = 1    ⟹    P ( A B ) = P ( A )    ⟹    P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) = 0 ( C )   ( A B ‾ ) ∪ B = ( A ∩ B ‾ ) ∪ B = ( A ∪ B ) ∩ ( B ‾ ∪ B ) = A ∪ B ( D )   P ( A B ) ≤ P ( C )    ⟹    P ( A ) + P ( B ) − P ( A + B ) ≤ P ( C )    ⟹    P ( A ) + P ( B ) − P ( A + B ) ≥ P ( A ) + P ( B ) − 1    ⟹    P ( C ) ≥ P ( A ) + P ( B ) − 1 [ 例 2 ] 設 有 甲 、 乙 兩 名 運 動 員 ， 甲 命 中 目 標 的 概 率 爲 0.6 , 乙 命 中 目 標 的 概 率 爲 0.5 , 求 下 列 概 率 。 ( 1 ) 從 甲 、 乙 中 任 選 一 人 取 射 擊 ， 若 目 標 被 命 中 ， 則 是 甲 命 中 的 概 率 是 多 少 ？ ( 2 ) 甲 、 乙 各 自 獨 立 射 擊 ， 若 目 標 被 命 中 ， 則 是 甲 命 中 的 概 率 ？ ( 1 ) 分 兩 個 階 段 { 1. 選 人 ， A 甲 ， A 乙 2. 射 擊 ， 命 中 = B P ( A 甲 ∣ B ) = P ( A 甲 ) P ( B ∣ A 甲 ) P ( A 甲 ) P ( B ∣ A 甲 ) + P ( A 乙 ) P ( B ∣ A 乙 ) = 1 2 ⋅ 0.6 1 2 ⋅ 0.6 + 1 2 ⋅ 0.5 = 6 11 ( 2 ) P ( A 甲 ∣ B ) = P ( A 甲 B ) P ( B ) = P ( A 甲 ) P ( A 甲 ) + P ( A 乙 ) − P ( A 甲 A 乙 ) = 0.6 0.6 + 0.5 − 0.6 ⋅ 0.5 = 3 4 [ 例 3 ] 每 箱 有 24 只 產 品 ， 每 箱 含 0 , 1 , 2 件 殘 品 的 箱 各 佔 80 % , 15 % , 5 % , 現 隨 機 抽 一 箱 ， 隨 即 檢 驗 其 中 4 只 , 若 未 發 現 殘 品 則 通 過 驗 收 ， 否 則 要 逐 一 檢 驗 並 更 換 ， 求 ( 1 ) 一 次 通 過 驗 收 的 概 率 ( 2 ) 通 過 驗 收 的 箱 中 確 無 殘 品 的 概 率 ( 1 ) 記 A i = { 抽 取 的 一 箱 中 含 i 件 殘 品 } . i = 0 , 1 , 2. 但 P ( A 0 ) = 0.8 , P ( A 1 ) = 0.15 , P ( A 2 ) = 0.05 分 階 段 { 1. 取 箱 子 2. 取 4 只 檢 驗 ， 收 爲 B o r 不 收 爲 B ‾ P ( B ) = P ( A 0 ) P ( B ∣ A 0 ) + P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B ∣ A 2 ) = 0.8 ⋅ 1 + 0.15 ⋅ C 23 4 C 24 4 + 0.05 ⋅ C 22 4 C 24 4 ≈ 0.96 ( 2 ) P ( A 0 ∣ B ) = 0.8 0.96 ≈ 0.83 \begin{aligned} \ [例1]&\color{maroon}以下結論，錯誤的是（D）？\\ &\color{maroon}(A)若0< P(B)< 1,P(A\mid B)+P(\overline{A}\mid\overline{B})=1\\ &\color{maroon}(B)若A,B滿足P(B\mid A)=1,則P(A-B)=0\\ &\color{maroon}(C)(A-B)\cup B=A\cup B\\ &\color{maroon}(D)若A,B同時發生時，C必發生，則P(C)< P(A)+P(B)-1\\ &(A)\ \frac{P(AB)}{P(B)}+\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{P(AB)}{P(B)}+\frac{1-P(A+B)}{1-P(B)}=\frac{P(AB)}{P(B)}+\frac{1-P(A)-P(B)+P(AB)}{1-P(B)}\\ &=\frac{P(AB)-P(AB)P(B)+P(B)-P(A)P(B)-[P(B)]^2+P(B)P(AB)}{P(B)[1-P(B)]}=1\\ &\implies P(AB)+P(B)-P(A)P(B)-[P(B)]^2=P(B)-[P(B)]^2\implies P(AB)=P(A)P(B)\\ &(B)\ \frac{P(AB)}{P(A)}=1\implies P(AB)=P(A)\\ &\implies P(A-B)=P(A)-P(AB)=0\\ &(C)\ (A\overline{B})\cup B=(A\cap \overline{B})\cup B=(A\cup B)\cap(\overline{B}\cup B)=A\cup B\\ &(D)\ P(AB)\leq P(C)\implies P(A)+P(B)-P(A+B)\leq P(C)\\ &\implies P(A)+P(B)-P(A+B)\geq P(A)+P(B)-1\implies P(C)\geq P(A)+P(B)-1\\ [例2]&\color{maroon}設有甲、乙兩名運動員，甲命中目標的概率爲0.6,乙命中目標的概率爲0.5,求下列概率。\\ &\color{maroon}(1)從甲、乙中任選一人取射擊，若目標被命中，則是甲命中的概率是多少？\\ &\color{maroon}(2)甲、乙各自獨立射擊，若目標被命中，則是甲命中的概率？\\ &(1)分兩個階段\begin{cases}1.選人，A_甲，A_乙\\2.射擊，命中=B\end{cases}\\ &P(A_甲\mid B)=\frac{P(A_甲)P(B\mid A_甲)}{P(A_甲)P(B\mid A_甲)+P(A_乙)P(B\mid A_乙)}\\ &=\frac{\frac12\cdot0.6}{\frac12\cdot0.6+\frac12\cdot0.5}=\frac6{11}\\ &(2)P(A_甲\mid B)=\frac{P(A_甲B)}{P(B)}=\frac{P(A_甲)}{P(A_甲)+P(A_乙)-P(A_甲A_乙)}=\frac{0.6}{0.6+0.5-0.6\cdot0.5}=\frac34\\ [例3]&\color{maroon}每箱有24只產品，每箱含0,1,2件殘品的箱各佔80\%, 15\%, 5\%,現隨機抽一箱，隨即檢驗其中4只,\\ &\color{maroon}若未發現殘品則通過驗收，否則要逐一檢驗並更換，求\\ &\color{maroon}(1)一次通過驗收的概率\\ &\color{maroon}(2)通過驗收的箱中確無殘品的概率\\ &(1)記A_i=\{抽取的一箱中含i件殘品\}.i=0,1,2.\\ &但P(A_0)=0.8,P(A_1)=0.15,P(A_2)=0.05\\ &分階段\begin{cases}1.取箱子\\2.取4只檢驗，收爲Bor不收爲\overline{B}\end{cases}\\ &P(B)=P(A_0)P(B\mid A_0)+P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)\\ &=0.8\cdot1+0.15\cdot\frac{C_{23}^4}{C_{24}^4}+0.05\cdot\frac{C_{22}^4}{C_{24}^4}\approx0.96\\ &(2)P(A_0\mid B)=\frac{0.8}{0.96}\approx0.83 \end{aligned}

一維隨機變量及其分佈

隨機變量與分佈函數

( 1 ) r , v ( 隨 機 變 量 ) 定 義 在 Ω = { ω } 上 ， 取 值 在 實 數 軸 上 的 變 量 。 即 X = X ( ω ) , ω ∈ Ω ( 2 ) 分 布 函 數 F ( x ) = P { X ≤ x } , 其 中 − ∞ < x < + ∞ . \begin{aligned} &(1)r,v(隨機變量)\quad 定義在\Omega=\{\omega\}上，取值在實數軸上的變量。即X=X(\omega),\omega\in\Omega\\ &(2)分佈函數F(x)=P\{X\leq x\},其中-\infty< x<+\infty. \end{aligned}

離散型隨機變量

  [ 定 義 ] x 取 有 限 個 或 無 窮 可 列 個 值 [ 分 布 律 ] x ∼ ( x 1 x 2 ⋯ x n ⋯ P 1 P 2 ⋯ P n ⋯ ) F ( x ) = P { X ≤ x } , 離 散 型 r , v    ⟺    步 步 高 的 階 梯 形 函 數 \begin{aligned} \ [定義]&x取有限個或無窮可列個值\\ [分佈律]&x\sim\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n&\cdots\\P_1&P_2&\cdots&P_n&\cdots\end{pmatrix}\\ &F(x)=P\{X\leq x\},離散型r,v\iff 步步高的階梯形函數\\ \end{aligned}

連續型隨機變量

  [ 定 義 ] 若 存 在 非 負 可 積 函 數 f ( x ) , 使 得 ∀ x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) , 有 F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t , 則 稱 x 爲 連 續 型 r , v . f ( x ) 叫 概 率 密 度 [ 注 ] F ( x ) = P { X ≤ x } = { ∫ − ∞ x f ( t ) d t , 連 續 型 ∑ x i ≤ x P i , 離 散 型 \begin{aligned} \ [定義]&若存在非負可積函數f(x),使得\forall x\in(-\infty,+\infty),有F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt,則稱x爲連續型r,v.f(x)叫概率密度\\ [注]&F(x)=P\{X\leq x\}=\begin{cases}\int_{-\infty}^xf(t)dt,連續型\\\sum_{x_i\leq x}P_i,離散型\end{cases}\\ \end{aligned}

X~F(x)

X ∼ F ( x ) { P i → 分 布 律 f ( x ) → 概 率 密 度 ( 1 ) F ( x ) 是 某 個 X 的 分 布 函 數    ⟺    { 1. 單 調 不 減 2. F ( − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ ) = 1 3. 右 連 續 ( 等 號 跟 着 大 於 號 ) ( 2 ) { P i } 是 分 布 律    ⟺    { 1. P i ≥ 0 2. ∑ i P i = 1 ( 3 ) f ( x ) 是 概 率 密 度    ⟺    { 1. f ( x ) ≥ 0 2. ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \begin{aligned} &X\sim F(x)\begin{cases}P_i\to分佈律\\f(x)\to概率密度\end{cases}\\ &(1)F(x)是某個X的分佈函數\iff\begin{cases}1.單調不減\\2.F(-\infty)=0,F(+\infty)=1\\3.右連續(等號跟着大於號)\end{cases}\\ &(2)\{P_i\}是分佈律\iff\begin{cases}1.P_i\geq0\\2.\sum_iP_i=1\end{cases}\\ &(3)f(x)是概率密度\iff\begin{cases}1.f(x)\geq0\\2.\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\end{cases}\\ \end{aligned}

八個常見分佈

( 1 ) − ( 5 ) 離 散 型 ( 6 ) − ( 8 ) 連 續 型 ( 1 ) 0 − 1 分 布 X ∼ ( 1 0 P 1 − P ) ( 2 ) 二 項 分 布 { 1. 獨 立 2. P ( A ) = P 3. 只 有 A , A ‾ , 非 白 即 黑 記 X 爲 A 發 生 的 次 數 , P { x = k } = C n k P k ( 1 − P ) n − k , k = 0 , 1 , ⋯   , n    ⟹    X ∼ B ( n , P ) ( 3 ) 幾 何 分 布 與 幾 何 無 關 ， 首 中 即 停 止 ， 記 X 爲 試 驗 次 數    ⟹    P { x = k } = P 1 ( 1 − P ) k − 1 , k = 1 , 2 , ⋯ ( 4 ) 超 幾 何 分 布 古 典 概 型 ， 設 N 件 產 品 ， M 、 件 正 品 ， N − M 件 次 品 ， 無 放 回 取 n 次 ， 則 P { x = k } = C M k C N − M n − k C N n ( 5 ) 泊 鬆 分 布 某 時 間 段 內 ， 某 場 合 下 ， 源 源 不 斷 的 質 點 來 流 的 個 數 , 也 常 用 於 描 述 稀 有 事 件 的 P P { X = k } = λ k k ! e − λ , { λ − − 強 度 k = 0 , 1 , ⋯ ( 6 ) 均 勻 分 布 對 比 幾 何 概 型 ， 若 X ∼ f ( x ) = { 1 b − a , a ≤ x ≤ b 0 , 其 他 , 稱 X ∼ U [ a , b ] [ 注 ] 高 檔 次 說 法 ： 「 X 在 I 上 的 任 意 子 區 間 取 值 的 概 率 與 該 子 區 間 長 度 成 正 比 」 → X ∼ U ( I ) ( 7 ) 指 數 分 布 X ∼ f ( x ) = { λ e − λ x , x > 0 0 , x ≤ 0 , 稱 X ∼ E ( λ ) , λ − − 失 效 率 [ 注 ] 無 記 憶 性   P { X ≥ t + s ∣ X ≥ t } = P { x ≥ s } F ( x ) = P { X ≤ x } = ∫ − ∞ x f ( t ) d t = { 1 − e − λ x , x ≥ 0 0 , x < 0 { 幾 何 分 布 ， 離 散 性 等 待 分 布 指 數 分 布 ， 連 續 性 等 待 分 布 ( 8 ) 正 態 分 布 X ∼ f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , − ∞ < x < + ∞ [ 注 ] 若 μ = 0 , σ 2 = 1    ⟹    X ∼ N ( 0 , 1 ) X ∼ φ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 X ∼ Φ ( x ) = ∫ − ∞ x 1 2 π e − t 2 2 d t \begin{aligned} &(1)-(5)離散型\quad(6)-(8)連續型\\ (1)&0-1分佈\quad X\sim\begin{pmatrix}1&0\\P&1-P\end{pmatrix}\\ (2)&二項分佈\quad \begin{cases}1.獨立\\2.P(A)=P\\3.只有A,\overline{A},非白即黑\end{cases}\\ &記X爲A發生的次數,P\{x=k\}=C_n^kP^k(1-P)^{n-k},k=0,1,\cdots,n\\ &\implies X\sim B(n,P)\\ (3)&幾何分佈\quad 與幾何無關，首中即停止，記X爲試驗次數\implies P\{x=k\}=P^1(1-P)^{k-1},k=1,2,\cdots\\ (4)&超幾何分佈\quad 古典概型，設N件產品，M、件正品，N-M件次品，無放回取n次，則P\{x=k\}=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\\ (5)&泊松分佈\quad某時間段內，某場合下，源源不斷的質點來流的個數,也常用於描述稀有事件的P\\ &P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\begin{cases}\lambda--強度\\k=0,1,\cdots\end{cases}\\ (6)&均勻分佈\quad 對比幾何概型，若X\sim f(x)=\begin{cases}\frac1{b-a},a\leq x\leq b\\0,其他\end{cases},稱X\sim U[a,b]\\ &[注]高檔次說法：「X在I上的任意子區間取值的概率與該子區間長度成正比」\to X\sim U(I)\\ (7)&指數分佈\quad X\sim f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},x>0\\0,x\leq0\end{cases},稱X\sim E(\lambda),\lambda--失效率\\ &[注]無記憶性\ P\{X\geq t+s\mid X\geq t\}=P\{x\geq s\}\\ &F(x)=P\{X\leq x\}=\int_{-\infty}^xf(t)dt=\begin{cases}1-e^{-\lambda x},x\geq0\\0,x< 0\end{cases}\\ &\begin{cases}幾何分佈，離散性等待分佈\\指數分佈，連續性等待分佈\end{cases}\\ (8)&正態分佈\quad X\sim f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty< x< +\infty\\ &[注]若\mu=0,\sigma^2=1\implies X\sim N(0,1)\\ &X\sim\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}\\ &X\sim\Phi(x)=\int_{-\infty}^x\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}2}dt\\ \end{aligned}

  [ 例 1 ] 設 X ∼ F ( x ) , f ( x ) = a f 1 ( x ) + b f 2 ( x ) , f 1 ( x ) ∼ N ( 0 , σ 2 ) , f 2 ( x ) ∼ E ( λ ) F ( 0 ) = 1 8 , 則 a = ‾ , b = ‾ 1. ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = a ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( x ) d x + b ∫ − ∞ + ∞ f 2 ( x ) d x    ⟹    1 = a + b 2. F ( 0 ) = ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x = a ∫ − ∞ 0 f 1 ( x ) d x + b ∫ − ∞ 0 f 2 ( x ) d x = 1 8 即 a ⋅ 1 2 + b ⋅ 0 = 1 8    ⟹    a = 1 4    ⟹    b = 3 4 [ 例 2 ] X ∼ f ( x ) = { A e − x , x > λ 0 , 其 他 , λ > 0 , P { λ < X < λ + a } ( a > 0 ) 的 值 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1    ⟹    ∫ λ + ∞ A e − x d x = 1    ⟹    A ⋅ e − x ∣ + ∞ λ = A e − λ = 1    ⟹    A = e λ    ⟹    P { λ < X < λ + a } = ∫ λ λ + a e λ ⋅ e − x d x = e λ [ e − x ] ∣ λ + a λ = e λ ⋅ ( e − λ − e − ( λ + a ) ) = 1 − e − a 故 其 值 與 λ 無 關 ， 隨 着 a 的 增 大 其 概 率 增 大 [ 例 3 ] X ∼ E ( λ ) , 對 X 作 三 次 獨 立 重 復 觀 察 ， 至 少 有 一 次 觀 測 值 大 於 2 的 概 率 爲 7 8 , 則 λ = ‾ 記 Y = { 對 X 作 三 次 獨 立 重 復 觀 察 中 觀 測 值 大 於 2 發 生 的 次 數 }    ⟹    Y ∼ B ( 3 , P ) 其 中 P = { X > 2 } = ∫ 2 + ∞ f ( x ) d x = 1 − P { X ≤ 2 } = 1 − F ( 2 ) = 1 − [ 1 − e − 2 λ ] = e − 2 λ 由 題 意 ， 得 P { Y ≥ 1 } = 7 8 = 1 − P { Y = 0 } = 1 − ( 1 − P ) 3 = 1 − ( 1 − e − 2 λ ) 3    ⟹    e − 2 λ = 1 2    ⟹    λ = − 1 2 ln ⁡ 1 2 = 1 2 ln ⁡ 2 [ 例 4 ] X ∼ E ( λ ) 求 Y = 1 − e − λ x ∼ f Y ( y ) X ∼ f X ( x ) , Y = g ( X ) , 求 f Y ( y ) 1. F Y ( y ) = P { Y ≤ y } = P { g ( X ) ≤ y } = P { X ∈ I y } = ∫ I y f x ( x ) d x 2. f Y ( y ) = F Y ′ ( y ) 1. F Y ( y ) = P { Y ≤ y } = P { 1 − e − λ x ≤ y } ( 1 ) y < 0    ⟹    F Y ( y ) = 0 ( 2 ) y ≥ 1    ⟹    F Y ( y ) = 1 ( 3 ) 0 ≤ y ≤ 1    ⟹    F Y ( y ) = P { 0 ≤ X ≤ − 1 λ ln ⁡ ( 1 − y ) } = F X ( − 1 λ ln ⁡ ( 1 − y ) ) = 1 − e − λ [ − 1 λ ln ⁡ ( 1 − y ) ] 2. f Y ( y ) = { 1 , 0 ≤ y < 1 0 , 其 他 \begin{aligned} \ [例1]&\color{maroon}設X\sim F(x),f(x)=af_1(x)+bf_2(x),f_1(x)\sim N(0,\sigma^2),f_2(x)\sim E(\lambda)\\ &\color{maroon}F(0)=\frac18,則a=\underline{\quad},b=\underline{\quad}\\ &1.\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=a\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)dx+b\int_{-\infty}^{+\infty}f_2(x)dx\implies 1=a+b\\ &2.F(0)=\int_{-\infty}^0f(x)dx=a\int_{-\infty}^{0}f_1(x)dx+b\int_{-\infty}^{0}f_2(x)dx=\frac18\\ &即a\cdot\frac12+b\cdot0=\frac18\implies a=\frac14\implies b=\frac34\\ [例2]&\color{maroon}X\sim f(x)=\begin{cases}Ae^{-x},x>\lambda\\0,其他\end{cases},\lambda>0,P\{\lambda< X< \lambda+a\}(a>0)的值\\ &\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\implies \int_{\lambda}^{+\infty}Ae^{-x}dx=1\implies A\cdot e^{-x}\mid^\lambda_{+\infty}=Ae^{-\lambda}=1\implies A=e^{\lambda}\\ &\implies P\{\lambda< X< \lambda+a\}=\int_{\lambda}^{\lambda+a}e^{\lambda}\cdot e^{-x}dx=e^{\lambda}[e^{-x}]\mid^{\lambda}_{\lambda+a}=e^{\lambda}\cdot(e^{-\lambda}-e^{-(\lambda+a)})=1-e^{-a}\\ &故其值與\lambda無關，隨着a的增大其概率增大\\ [例3]&\color{maroon}X\sim E(\lambda),對X作三次獨立重複觀察，至少有一次觀測值大於2的概率爲\frac78,則\lambda=\underline{\quad}\\ &記Y=\{對X作三次獨立重複觀察中觀測值大於2發生的次數\}\implies Y\sim B(3,P)\\ &其中P=\{X>2\}=\int_2^{+\infty}f(x)dx=1-P\{X\leq2\}=1-F(2)=1-[1-e^{-2\lambda}]=e^{-2\lambda}\\ &由題意，得P\{Y\geq1\}=\frac78=1-P\{Y=0\}=1-(1-P)^3=1-(1-e^{-2\lambda})^3\\ &\implies e^{-2\lambda}=\frac12\implies \lambda=-\frac12\ln\frac12=\frac12\ln2\\ [例4]&\color{maroon}X\sim E(\lambda)求Y=1-e^{-\lambda x}\sim f_Y(y)\\ &X\sim f_X(x),Y=g(X),求f_Y(y)\\ &1.F_Y(y)=P\{Y\leq y\}=P\{g(X)\leq y\}=P\{X\in I_y\}=\int_{I_y}f_x(x)dx\\ &2.f_Y(y)=F_Y'(y)\\ &1.F_Y(y)=P\{Y\leq y\}=P\{1-e^{-\lambda x}\leq y\}\\ &(1)y< 0\implies F_Y(y)=0\\ &(2)y\geq1\implies F_Y(y)=1\\ &(3)0\leq y\leq1\implies F_Y(y)=P\{0\leq X\leq -\frac1{\lambda}\ln(1-y)\}=F_X(-\frac1{\lambda}\ln(1-y))=1-e^{-\lambda[-\frac1{\lambda}\ln(1-y)]}\\ &2.f_Y(y)=\begin{cases}1,0\leq y< 1\\0,其他\end{cases}\\ \end{aligned}

多元隨機變量及其分佈

概念

1. 聯 合 分 布 設 ( X , Y ) , F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } , − ∞ < x < + ∞ , − ∞ < y < + ∞ 2. 邊 緣 分 布 F X ( x ) = lim ⁡ y → + ∞ F ( x , y ) , F Y ( y ) = lim ⁡ x → + ∞ F ( x , y ) [ 注 ] 1. 離 散 型 ( X , Y ) ∼ P i j ( 聯 合 分 布 律 ) 條 件 分 布 爲 P ( X = x i ∣ Y = y i ) = P ( X = x i , Y = y j ) P ( Y = y j ) = P i j P ⋅ j P ( X = 1 ∣ Y = 0 ) = P 21 P ⋅ 1 條 件 = 聯 合 邊 緣 2. 連 續 型 ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) ( 聯 合 概 率 密 度 ) 邊 緣 密 度 爲 f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y , f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x 條 件 密 度 爲 f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) 無 論 離 散 還 是 連 續 ， 條 件 = 聯 合 邊 緣 3. 獨 立 性 設 ( X , Y ) , X , Y 獨 立    ⟺    F ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y )    ⟺    P i j = P i ⋅ ⋅ P ⋅ j , ∀ i , j    ⟺    f ( x , y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) 4. 兩 個 分 布 ( 1 ) 均 勻 分 布 ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) = { 1 S D , ( x , y ) ∈ D 0 , ( x , y ) ∉ D ( 2 ) 正 態 分 布 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ ) 其 中 E X = μ 1 , E Y = μ 2 , D X = σ 1 2 , D Y = σ 2 2 , ϱ x y = ρ \begin{aligned} 1.&聯合分佈\quad 設(X,Y),F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\},-\infty< x<+\infty,-\infty< y<+\infty\\ 2.&邊緣分佈\quad F_X(x)=\lim_{y\to+\infty}F(x,y),F_Y(y)=\lim_{x\to+\infty}F(x,y)\\ [注]&1.離散型(X,Y)\sim P_{ij}(聯合分佈律)\\ &條件分佈爲P(X=x_i\mid Y=y_i)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{P_{ij}}{P_{\cdot j}}\\ &P(X=1\mid Y=0)=\frac{P_{21}}{P_{\cdot 1}}\\ &條件=\frac{聯合}{邊緣}\\ &2.連續型(X,Y)\sim f(x,y)(聯合概率密度)\\ &邊緣密度爲f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy,f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx\\ &條件密度爲f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\\ &無論離散還是連續，條件=\frac{聯合}{邊緣}\\ 3.&獨立性\quad 設(X,Y),X,Y獨立\iff F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)\\ &\iff P_{ij}=P_{i\cdot}\cdot P_{\cdot j},\forall i,j\\ &\iff f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)\\ 4.&兩個分佈\\ &(1)均勻分佈\quad (X,Y)\sim f(x,y)=\begin{cases}\frac1{S_D},(x,y)\in D\\0,(x,y)\notin D\end{cases}\\ &(2)正態分佈\quad (X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\\ &其中EX=\mu_1,EY=\mu_2,DX=\sigma_1^2,DY=\sigma_2^2,\varrho_{xy}=\rho\\ \end{aligned}

用分佈求概率

  [ 例 1 ] ( X , Y ) ∼ X   Y 0 1 0 a 0.4 1 0.1 b 若 { x = 0 } 與 { X + Y = 1 } 獨 立 ， 令 U = m a x { X , Y } , V = m i n { X , Y } , 則 P = { U + V = 1 } = ‾ U = m a x { X , Y } = ( X + Y ) + ∣ X − Y ∣ 2 V = m i n { X , Y } = ( X + Y ) − ∣ X − Y ∣ 2 U + V = X + Y    ⟹    P ( U + V = 1 ) = P { X + Y = 1 } = 0.5 [ 例 2 ] 設 ( X , Y ) 在 D = { ( x , y ) ∣ 1 ≤ x ≤ e 2 , 0 ≤ y ≤ 1 x } 上 服 從 均 勻 分 布 則 ( X , Y ) 關 於 x ∼ f X ( x ) 在 x = e 處 得 值 爲 ‾ S D = ∫ 1 e 2 1 x d x = ln ⁡ x ∣ 1 e 2 = 2 − 0 = 2    ⟹    ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) = { 1 2 , ( x , y ) ∈ D 0 , ( x , y ) ∉ D 求 誰 不 積 誰 ， 不 積 先 定 限 ， 限 內 畫 條 線 ， 先 交 寫 下 限 ， 後 交 寫 上 限 f X ( x ) = { ∫ 0 1 x 1 2 d y , 1 ≤ x ≤ e 2 0 , 其 他 = { 1 2 x , 1 ≤ x ≤ e 2 0 , 其 他    ⟹    f X ( e ) = 1 2 e [ 例 3 ] ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) = { x , 0 < x < 1 , 0 < y < x 0 , 其 他 ， 求 Z = X − Y 的 f Z ( z ) ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) , Z = g ( x , y )    ⟹    f Z ( z ) 1. F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { g ( X , Y ) ≤ z } = ∬ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d σ 2. f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) 1. F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { X − Y ≤ z } ( 1 ) z < 0    ⟹    F Z ( z ) = 0 ( 2 ) z ≥ 1    ⟹    F Z ( z ) = 1 ( 3 ) 0 ≤ z < 1    ⟹    F Z ( z ) = ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ 0 z d x ∫ 0 x 3 x d y + ∫ z 1 d x ∫ x − z x 3 x d y = 3 2 z − 1 2 z 3    ⟹    f Z ( z ) = { 3 2 − 3 2 z 2 , 0 ≤ z < 1 0 , 其 他 [ 例 4 ] X , Y 相 互 獨 立 ， P { X = 0 } = P { X = 1 } = 1 2 , P { Y ≤ x } = x , 0 < y ≤ 1 , 求 Z = X Y 的 分 布 函 數 X ∼ P i , Y ∼ f Y ( y ) = { 1 , 0 < y < 1 0 , 其 他 ( 1 ) 選 X ; ( 2 ) 作 X Y F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { X Y ≤ z } = P ( X = 0 ) P ( X Y ≤ z ∣ X = 0 ) + P ( X = 1 ) P ( X Y ≤ z ∣ X = 1 ) 1 2 [ P ( 0 ≤ z ) + P ( Y ≤ z ) ] = 1 2 F Z ( z ) = { z < 0    ⟹    F Z ( z ) = 0 z ≥ 1    ⟹    F Z ( z ) = 1 0 ≤ z < 1    ⟹    F Z ( z ) = 1 2 ( 1 + z ) \begin{aligned} \ [例1]&\color{maroon}(X,Y)\sim \begin{array}{c|cc} X\ Y & 0 & 1 \\ \hline 0 & a & 0.4 \\ 1 & 0.1 & b \\ \end{array}\\ &\color{maroon}若\{x=0\}與\{X+Y=1\}獨立，令U=max\{X,Y\},V=min\{X,Y\},則P=\{U+V=1\}=\underline{\quad}\\ &U=max\{X,Y\}=\frac{(X+Y)+\mid X-Y\mid}{2}\\ &V=min\{X,Y\}=\frac{(X+Y)-\mid X-Y\mid}2\\ &U+V=X+Y\implies P(U+V=1)=P\{X+Y=1\}=0.5\\ [例2]&\color{maroon}設(X,Y)在D=\{(x,y)\mid 1\leq x\leq e^2,0\leq y\leq \frac1x\}上服從均勻分佈\\ &\color{maroon}則(X,Y)關於x\sim f_X(x)在x=e處得值爲\underline{\quad}\\ &S_D=\int_1^{e^2}\frac1xdx=\ln x\mid^{e^2}_1=2-0=2\\ &\implies (X,Y)\sim f(x,y)=\begin{cases}\frac12,(x,y)\in D\\0,(x,y)\notin D\end{cases}\\ &求誰不積誰，不積先定限，限內畫條線，先交寫下限，後交寫上限\\ &f_X(x)=\begin{cases}\int_0^{\frac1x}\frac12dy,1\leq x\leq e^2\\0,其他\end{cases}=\begin{cases}\frac{1}{2x},1\leq x\leq e^2\\0,其他\end{cases}\\ &\implies f_X(e)=\frac1{2e}\\ [例3]&\color{maroon}(X,Y)\sim f(x,y)=\begin{cases}x,0< x< 1,0< y< x\\0,其他\end{cases}，求Z=X-Y的f_{Z}(z)\\ &(X,Y)\sim f(x,y),Z=g(x,y)\implies f_Z(z)\\ &1.F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{g(X,Y)\leq z\}=\iint_{g(x,y)\leq z}f(x,y)d\sigma\\ &2.f_Z(z)=F_Z'(z)\\ &1.F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{X-Y\leq z\}\\ &(1)z<0 \implies F_Z(z)=0\\ &(2)z\geq1\implies F_Z(z)=1\\ &(3)0\leq z<1\implies F_Z(z)=\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_0^zdx\int_0^x3xdy+\int_z^1dx\int_{x-z}^x3xdy=\frac32z-\frac12z^3\\ &\implies f_Z(z)=\begin{cases}\frac32-\frac32z^2,0\leq z<1\\0,其他\end{cases}\\ [例4]&\color{maroon}X,Y相互獨立，P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac12,P\{Y\leq x\}=x,0< y\leq1,求Z=XY的分佈函數\\ &X\sim P_i,Y\sim f_Y(y)=\begin{cases}1,0< y <1\\0,其他\end{cases}\\ &(1)選X;(2)作XY\\ &F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{XY\leq z\}=P(X=0)P(XY\leq z\mid X=0)+P(X=1)P(XY\leq z\mid X=1)\\ &\frac12[P(0\leq z)+P(Y\leq z)]=\frac12\\ &F_Z(z)=\begin{cases}z<0 \implies F_Z(z)=0\\z\geq1\implies F_Z(z)=1\\0\leq z<1\implies F_Z(z)=\frac12(1+z)\end{cases}\\ \end{aligned}

數字特徵

概念

數學期望與方差

1. 期 望 定 義 ( 1 ) E X { X ∼ P i    ⟹    E X = ∑ i x i P i X ∼ f ( x )    ⟹    E X = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x ( 2 ) X ∼ p i , Y = g ( X )    ⟹    E Y = ∑ i g ( x i ) p i ( 3 ) X ∼ f ( x ) , Y = g ( X )    ⟹    E Y = ∫ − ∞ + ∞ g ( x ) f ( x ) d x ( 4 ) ( X , Y ) ∼ p i j , Z = g ( X , Y )    ⟹    E Z = ∑ i ∑ j g ( x i , y i ) p i j ( 5 ) ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) , Z = g ( X , Y )    ⟹    E Z = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ g ( x , y ) f ( x , y ) d x d y 2. 方 差 定 義 D X = E [ ( X − E X ) 2 ] ( 1 ) 定 義 法 ： { X ∼ p i    ⟹    D X = E [ ( X − E X ) 2 ] = ∑ i ( x i − E X ) 2 p i X ∼ f ( x )    ⟹    D X = E [ ( X − E X ) 2 ] = ∫ − ∞ + ∞ ( x − E X ) 2 f ( x ) d x ( 2 ) 公 式 法 : D X = E [ ( X − E X ) 2 ] = E [ X 2 − 2 ⋅ X ⋅ E X + ( E X ) 2 ] = E ( X 2 ) − 2 ⋅ E X ⋅ E X + ( E X ) 2 ] D X = E ( X 2 ) − ( E X ) 2 3. 性 質 ( 1 ) E a = a , E ( E X ) = E X ( 2 ) E ( a X + b Y ) = a E X + b E Y , E ( ∑ i = 1 n a i X i ) = ∑ i = 1 n a i E X i ( 無 條 件 ) ( 3 ) 若 X , Y 相 互 獨 立 ， 則 E ( X Y ) = E X E Y ( 4 ) D a = 0 , D ( E X ) = 0 , D ( D X ) = 0 ( 5 ) 若 X , Y 相 互 獨 立 ， 則 D ( X ± Y ) = D X + D Y ( 6 ) D ( a X + b ) = a 2 D X , E ( a X + b ) = a E X + b ( 7 ) 一 般 , D ( X ± Y ) = D X + D Y ± 2 C o v ( X , Y ) D ( ∑ i = 1 n X i ) = ∑ i = 1 n D X i + 2 ∑ 1 ≤ i < j ≤ n C o v ( x i , x j ) [ 注 ] 1.0 − 1 分 布 ， E X = p , D X = p − p 2 = ( 1 − p ) p , X ∼ ( 1 0 p 1 − p ) 2. X ∼ B ( n , p ) , E X = n p , D X = n p ( 1 − p ) 3. X ∼ P ( λ ) , E X = λ , D X = λ 4. X ∼ G e ( p ) , E X = 1 p , D X = 1 − p p 2 5. X ∼ U [ a , b ] , E X = a + b 2 , D X = ( b − a ) 2 12 6. X ∼ E X ( λ ) , E X = 1 λ , D X = 1 λ 2 7. X ∼ N ( μ , σ 2 ) , E X = μ , D X = σ 2 8. X ∼ χ 2 ( n ) , E X = n , D X = 2 n \begin{aligned} 1.&期望定義\\ (1)&EX\begin{cases}X\sim P_i\implies EX=\sum_ix_iP_i\\X\sim f(x)\implies EX=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\end{cases}\\ (2)&X\sim p_i,Y=g(X)\implies EY=\sum_ig(x_i)p_i\\ (3)&X\sim f(x),Y=g(X)\implies EY=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx\\ (4)&(X,Y)\sim p_{ij},Z=g(X,Y)\implies EZ=\sum_i\sum_jg(x_i,y_i)p_{ij}\\ (5)&(X,Y)\sim f(x,y),Z=g(X,Y)\implies EZ=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy\\ 2.&方差定義\\ &DX=E[(X-EX)^2]\\ (1)&定義法：\begin{cases}X\sim p_i\implies DX=E[(X-EX)^2]=\sum_i(x_i-EX)^2p_i\\X\sim f(x)\implies DX=E[(X-EX)^2]=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-EX)^2f(x)dx\end{cases}\\ (2)&公式法:DX=E[(X-EX)^2]=E[X^2-2\cdot X\cdot EX+(EX)^2]=E(X^2)-2\cdot EX\cdot EX+(EX)^2]\\ &DX=E(X^2)-(EX)^2\\ 3.&性質\\ (1)&Ea=a,E(EX)=EX\\ (2)&E(aX+bY)=aEX+bEY,E(\sum_{i=1}^na_iX_i)=\sum_{i=1}^na_iEX_i(無條件)\\ (3)&若X,Y相互獨立，則E(XY)=EXEY\\ (4)&Da=0,D(EX)=0,D(DX)=0\\ (5)&若X,Y相互獨立，則D(X\pm Y)=DX+DY\\ (6)&D(aX+b)=a^2DX,E(aX+b)=aEX+b\\ (7)&一般,D(X\pm Y)=DX+DY\pm 2Cov(X,Y)\\ &D(\sum_{i=1}^nX_i)=\sum_{i=1}^nDX_i+2\sum_{1\leq i< j\leq n}Cov(x_i,x_j)\\ [注]&1.0-1分佈，EX=p,DX=p-p^2=(1-p)p,X\sim\begin{pmatrix}1&0\\p&1-p\end{pmatrix}\\ &2.X\sim B(n,p),EX=np,DX=np(1-p)\\ &3.X\sim P(\lambda),EX=\lambda,DX=\lambda\\ &4.X\sim Ge(p),EX=\frac1p,DX=\frac{1-p}{p^2}\\ &5.X\sim U[a,b],EX=\frac{a+b}2,DX=\frac{(b-a)^2}{12}\\ &6.X\sim E_X(\lambda),EX=\frac1{\lambda},DX=\frac1{\lambda^2}\\ &7.X\sim N(\mu,\sigma^2),EX=\mu,DX=\sigma^2\\ &8.X\sim \chi^2(n),EX=n,DX=2n\\ \end{aligned}

協方差與相關係數

C o v ( X , Y ) = E [ X − E X ) ( Y − E Y ) ] , C o v ( X , X ) = E [ ( X − E X ) ( X − E X ) ] = E [ ( X − E X ) 2 ] = D X 1. 定 義 法 { ( X , Y ) ∼ p i j    ⟹    C o v ( X , Y ) = ∑ i ∑ j ( x i − E X ) ( u i − E Y ) p i j ( X , Y ) ∼ f ( x , y )    ⟹    C o v ( X , Y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ( x − E X ) ( y − E Y ) f ( x , y ) d x d y 2. 公 式 法 C o v ( X , Y ) = E ( X Y − X ⋅ E Y − E X ⋅ Y + E X ⋅ E Y ) = E ( X Y ) − E X ⋅ E Y − E X ⋅ E Y + E X ⋅ E Y = E ( X Y ) − E X E Y 3. ρ X Y = C o v ( X , Y ) D X D Y { = 0    ⟺    X , Y 不 相 關 ̸ = 0    ⟺    X , Y 相 關 性 質 1. C o v ( X , Y ) = C o v ( Y , X ) 2. C o v ( a X , b Y ) = a b C o v ( X , Y ) 3. C o v ( X 1 + X 2 , Y ) = C o v ( X 1 , Y ) + C o v ( X 2 , Y ) 4. ∣ ρ X Y ∣ ≤ 1 5. ρ X Y = 1    ⟺    P { Y = a X + b } = 1 ( a > 0 ) , ρ X Y = − 1    ⟺    P { Y = a X + b } = 1 ( a < 0 ) 考 試 時 ： Y = a X + b , a > 0    ⟹    ρ X Y = 1 , Y = a X + b , a < 0    ⟹    ρ X Y = − 1 小 結 五 個 充 要 條 件 ρ X Y = 0    ⟺    { C o v ( X , Y ) = 0 E ( X Y ) = E X ⋅ E Y D ( X + Y ) = D X + D Y D ( X − Y ) = D X + D Y X , Y 獨 立    ⟹    ρ X Y = 0 若 ( X , Y ) ∼ N ( μ , σ 2 ) , 則 X , Y 獨 立    ⟺    X , Y 不 相 關 ( ρ X Y = 0 ) \begin{aligned} &Cov(X,Y)=E[X-EX)(Y-EY)],Cov(X,X)=E[(X-EX)(X-EX)]=E[(X-EX)^2]=DX\\ &1.定義法\\ &\begin{cases}(X,Y)\sim p_{ij}\implies Cov(X,Y)=\sum_i\sum_j(x_i-EX)(u_i-EY)p_{ij}\\(X,Y)\sim f(x,y)\implies Cov(X,Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-EX)(y-EY)f(x,y)dxdy\end{cases}\\ &2.公式法\\ &Cov(X,Y)=E(XY-X\cdot EY-EX\cdot Y+EX\cdot EY)\\ &=E(XY)-EX\cdot EY-EX\cdot EY+EX\cdot EY=E(XY)-EXEY\\ &3.\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}\begin{cases}=0\iff X,Y不相關\\\not=0\iff X,Y相關\end{cases}\\ 性質&1.Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\\ &2.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)\\ &3.Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)\\ &4.\mid \rho_{XY}\mid\leq1\\ &5.\rho_{XY}=1\iff P\{Y=aX+b\}=1(a>0),\rho_{XY}=-1\iff P\{Y=aX+b\}=1(a<0)\\ &考試時：Y=aX+b,a>0\implies \rho_{XY}=1,Y=aX+b,a<0\implies \rho_{XY}=-1\\ 小結&五個充要條件\\ &\rho_{XY}=0\iff\begin{cases}Cov(X,Y)=0\\E(XY)=EX\cdot EY\\D(X+Y)=DX+DY\\D(X-Y)=DX+DY\end{cases}\\ &X,Y獨立\implies \rho_{XY}=0\\ &若(X,Y)\sim N(\mu,\sigma^2),則X,Y獨立\iff X,Y不相關(\rho_{XY}=0)\\ \end{aligned}

例題

  [ 例 1 ] 設 x 1 , x 2 , x 3 相 互 獨 立 ∼ P ( λ ) , 令 Y = 1 3 ( x 1 + x 2 + x 3 ) , 則 E Y 2 = ‾ E ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 3 λ D ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 3 λ E Y = E ( 1 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) ) = 1 3 3 λ = λ D Y = D ( 1 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) ) = 1 9 3 λ = λ E Y 2 = ( E Y ) 2 + D Y = λ 2 + λ 3 [ 例 2 ] X ∼ f ( x ) = { 3 8 x 2 , 0 < x < 2 0 , 其 他 , 則 E ( 1 x 2 ) = ‾ E ( 1 x 2 ) = ∫ − ∞ + ∞ 1 x 2 f ( x ) d x = ∫ 0 2 1 x 2 3 8 x 2 d x = 3 4 [ 例 3 ] X ∼ B ( 1 , 1 2 ) , Y ∼ B ( 1 , 1 2 ) , D ( X + Y ) = 1 , 則 ρ X Y = ‾ ρ X Y = C o v ( X , Y ) D X D Y 1 = D ( X + Y ) + D X + D Y + 2 C o v ( X , Y )    ⟹    C o v ( X , Y ) = 1 4 ρ X Y = 1 4 1 2 ⋅ 1 2 = 1 [ 例 4 ] ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) = { 1 , 0 ≤ ∣ y ∣ ≤ x ≤ 1 0 , 其 他 , 則 C o v ( X , Y ) = ‾ C o v ( X , Y ) = E X Y − E X E Y 其 中 E X Y = ∬ D x ⋅ y f ( x , y ) d x d y = 0 E Y = E ⋅ 1 ⋅ Y = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ x 0 y 1 f ( x , y ) d x d y = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ y f ( x , y ) d σ = ∬ D y ⋅ 1 d σ = 0 C o v ( X , Y ) = E X Y − E X E Y = 0 \begin{aligned} \ [例1]&\color{maroon}設x_1,x_2,x_3相互獨立\sim P(\lambda),令Y=\frac13(x_1+x_2+x_3),則EY^2=\underline{\quad}\\ &E(x_1,x_2,x_3)=3\lambda\quad D(x_1,x_2,x_3)=3\lambda\\ &EY=E(\frac13(x_1,x_2,x_3))=\frac133\lambda=\lambda\\ &DY=D(\frac13(x_1,x_2,x_3))=\frac193\lambda=\lambda\\ &EY^2=(EY)^2+DY=\lambda^2+\frac{\lambda}3\\ [例2]&\color{maroon}X\sim f(x)=\begin{cases}\frac38x^2,0< x< 2\\0,其他\end{cases},則E(\frac1{x^2})=\underline{\quad}\\ &E(\frac1{x^2})=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac1{x^2}f(x)dx=\int_0^2\frac1{x^2}\frac38x^2dx=\frac34\\ [例3]&\color{maroon}X\sim B(1,\frac12),Y\sim B(1,\frac12),D(X+Y)=1,則\rho_{XY}=\underline{\quad}\\ &\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}\\ &1=D(X+Y)+DX+DY+2Cov(X,Y)\implies Cov(X,Y)=\frac14\\ &\rho_{XY}=\frac{\frac14}{\frac12\cdot\frac12}=1\\ [例4]&\color{maroon}(X,Y)\sim f(x,y)=\begin{cases}1,0\leq \mid y\mid\leq x\leq1\\0,其他\end{cases},則Cov(X,Y)=\underline{\quad}\\ &Cov(X,Y)=EXY-EXEY\\ &其中EXY=\iint_Dx\cdot yf(x,y)dxdy=0\\ &EY=E\cdot1\cdot Y=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x^0y^1f(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)d\sigma=\iint_Dy\cdot1d\sigma=0\\ &Cov(X,Y)=EXY-EXEY=0 \end{aligned}

大數定律與中心極限定理

依概率收斂

設 { X n } 爲 一 r , v 序 列 ， X 爲 一 r , v ( 或 a 爲 常 數 ) 若 ∀ ε > 0 , 恆 有 lim ⁡ n → ∞ P { ∣ X n − X ∣ < ε } = 1 或 lim ⁡ n → ∞ P { ∣ X n − a ∣ < ε } = 1 , 則 稱 { X n } 依 概 率 收 斂 於 X 或 a 記 ： X n → X 或 X a → a [ 例 1 ] 設 { X n } , X n ∼ f n ( x ) = n π ( 1 + n 2 x 2 ) , x ∈ R , 證 X n → 0 P { − ε < X n < ε } = ∫ − ε ε n π ( 1 + n 2 x 2 ) d x = 1 π arctan ⁡ x ∣ − ε ε = 2 π arctan ⁡ n ε lim ⁡ n → ∞ 2 π arctan ⁡ n ε = 1 \begin{aligned} &設\{X_n\}爲一r,v序列，X爲一r,v(或a爲常數)\\ &若\forall \varepsilon>0,恆有\lim_{n\to\infty}P\{\mid X_n-X\mid<\varepsilon\}=1或\lim_{n\to\infty}P\{\mid X_n-a\mid<\varepsilon\}=1,則稱\{X_n\}依概率收斂於X或a\\ &記：X_n\to X 或 X_a\to a\\ [例1]&\color{maroon}設\{X_n\},X_n\sim f_n(x)=\frac{n}{\pi(1+n^2x^2)},x\in R,證X_n\to0\\ &P\{-\varepsilon<X_n<\varepsilon\}=\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\frac{n}{\pi(1+n^2x^2)}dx=\frac1{\pi}\arctan x\mid^{\varepsilon}_{-\varepsilon}=\frac{2}{\pi}\arctan n\varepsilon\\ &\lim_{n\to\infty}\frac2{\pi}\arctan n\varepsilon=1\\ \end{aligned}

三個定律與兩個定理

大數定律

1. 切 比 雪 夫 大 數 定 律 設 { X n } ( n = 1 , 2 , ⋯   ) 0 是 相 互 獨 立 的 隨 機 變 量 序 列 ， 若 方 差 D X k 存 在 且 一 致 有 上 界 ， 則 1 n ∑ i = 1 n X i → 1 n ∑ i = 1 n E X i = E ( 1 n ∑ i = 1 n X i ) 一 致 有 上 界 皆 有 共 同 的 上 界 ， 與 k 無 關 2. 伯 努 利 大 數 定 律 設 u n 是 n 重 伯 努 利 試 驗 中 事 件 A 發 生 的 次 數 ， 在 每 次 試 驗 中 A 發 生 的 概 率 爲 p ( 0 < p < 1 ) , 則 u n n → p 3. 辛 欽 大 數 定 律 設 { X n } 是 獨 立 同 分 布 的 隨 機 變 量 序 列 ， 若 E X n = μ 存 在 ， 則 1 n ∑ i = 1 n X i → μ [ 注 ] 在 滿 足 一 定 條 件 的 基 礎 上 ， 所 有 大 數 定 律 都 在 講 一 個 結 論 1 n ∑ i = 1 n X i → E ( 1 n ∑ i = 1 n X i ) \begin{aligned} 1.&切比雪夫大數定律\\ &設\{X_n\}(n=1,2,\cdots)0是相互獨立的隨機變量序列，若方差DX_k存在且一致有上界，則\\ &\frac1n\sum_{i=1}^nX_i\to\frac1n\sum_{i=1}^nEX_i=E(\frac1n\sum_{i=1}^nX_i)\\ &一致有上界皆有共同的上界，與k無關\\ 2.&伯努利大數定律\\ &設u_n是n重伯努利試驗中事件A發生的次數，在每次試驗中A發生的概率爲p(0<p < 1),則\frac{u_n}n\to p\\ 3.&辛欽大數定律\\ &設\{X_n\}是獨立同分布的隨機變量序列，若EX_n=\mu存在，則\frac1n\sum_{i=1}^nX_i\to\mu\\ [注]&在滿足一定條件的基礎上，所有大數定律都在講一個結論 \frac1n\sum_{i=1}^nX_i\to E(\frac1n\sum_{i=1}^nX_i)\\ \end{aligned}

中心極限定理

不 論 X i ∼ i i d F ( μ , σ 2 ) , μ = E X i , σ 2 = D X i    ⟹    ∑ i = 1 n X i ∼ n → ∞ N ( n μ , n σ 2 )    ⟹    ∑ i = 1 n X i − n μ n σ ∼ n → ∞ N ( 0 , 1 ) , 即 lim ⁡ n → ∞ P { ∑ i = 1 n X i − n μ n σ ≤ x } = Φ ( x ) [ 例 1 ] 假 設 X 1 , X 2 , ⋯   , X n ∼ i i d P ( λ ) , 則 lim ⁡ n → ∞ P { ∑ i = 1 n X i − n λ n λ ≤ x } = ‾ { E ( ∑ i = 1 n X i ) = n λ D ( ∑ i = 1 n X i ) = n λ lim ⁡ n → ∞ P { ∑ i = 1 n X i − n λ n λ ≤ x } = Φ ( x ) \begin{aligned} &不論X_i\sim^{iid}F(\mu,\sigma^2),\mu=EX_i,\sigma^2=DX_i\implies \sum_{i=1}^n X_i\sim^{n\to\infty}N(n\mu,n\sigma^2)\\ &\implies \frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\sim^{n\to\infty}N(0,1),即\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\leq x\right\} =\Phi(x)\\ [例1]&\color{maroon}假設X_1,X_2,\cdots,X_n\sim^{iid}P(\lambda),則\lim_{n\to\infty}P\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\lambda}{\sqrt{n\lambda}}\leq x\}=\underline{\quad}\\ &\begin{cases}E(\sum_{i=1}^n X_i)=n\lambda\\D(\sum_{i=1}^n X_i)=n\lambda\end{cases}\\ &\lim_{n\to\infty}P\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\lambda}{\sqrt{n\lambda}}\leq x\}=\Phi(x)\\ \end{aligned}

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