一幅圖弄清DFT與DTFT,DFS的關係

不少同窗學習了數字信號處理以後，被裏面的幾個名詞搞的暈頭轉向，好比DFT，DTFT，DFS，FFT，FT,FS等，FT和FS屬於信號與系統課程的內容，是對連續時間信號的處理，這裏就不過多討論，只解釋一下前四者的關係。

　　首先說明一下，我不是數字信號處理專家，所以這裏只站在學生的角度以最淺顯易懂的性質來解釋問題，而不涉及到任何公式運算。

　　學過卷積，咱們都知道有時域卷積定理和頻域卷積定理，在這裏只須要記住兩點：1.在一個域的相乘等於另外一個域的卷積；2.與脈衝函數的卷積，在每一個脈衝的位置上將產生一個波形的鏡像。(在任何一本信號與系統課本里，此兩條性質有詳細公式證實)

　　下面，就用這兩條性質來講明DFT，DTFT，DFS，FFT之間的聯繫：

　　先看圖片：

　　首先來講圖（1）和圖（2），對於一個模擬信號，如圖(1)所示，要分析它的頻率成分，必須變換到頻域，這是經過傅立葉變換即FT(Fourier Transform)獲得的，因而有了模擬信號的頻譜，如圖(2)；注意1：時域和頻域都是連續的！

　　可是，計算機只能處理數字信號，首先須要將原模擬信號在時域離散化，即在時域對其進行採樣，採樣脈衝序列如圖(3)所示，該採樣序列的頻譜如圖(4)，可見它的頻譜也是一系列的脈衝。所謂時域採樣，就是在時域對信號進行相乘，(1)×(3)後能夠獲得離散時間信號x[n]，如圖(5)所示；由前面的性質1，時域的相乘至關於頻域的卷積，那麼，圖(2)與圖(4)進行卷積，根據前面的性質2知，會在各個脈衝點處出現鏡像，因而獲得圖(6)，它就是圖(5)所示離散時間信號x[n]的DTFT(Discrete time Fourier Transform)，即離散時間傅立葉變換，這裏強調的是「離散時間」四個字。注意2：此時時域是離散的，而頻域依然是連續的。

　　通過上面兩個步驟，咱們獲得的信號依然不能被計算機處理，由於頻域既連續，又週期。咱們天然就想到，既然時域能夠採樣，爲何頻域不能採樣呢？這樣不就時域與頻域都離散化了嗎？沒錯，接下來對頻域在進行採樣，頻域採樣信號的頻譜如圖(8)所示，它的時域波形如圖(7)。如今咱們進行頻域採樣，即頻域相乘，圖(6)×圖(8)獲得圖(10)，那麼根據性質1，此次是頻域相乘，時域卷積了吧，圖(5)和圖(7)卷積獲得圖(9)，不出所料的，鏡像會呈週期性出如今各個脈衝點處。咱們取圖（10）週期序列的主值區間，並記爲X(k)，它就是序列x[n]的DFT(Discrete Fourier Transform)，即離散傅立葉變換。可見，DFT只是爲了計算機處理方便，在頻率域對DTFT進行的採樣並截取主值而已。有人可能疑惑，對圖(10)進行IDFT，回到時域即圖(9)，它與原離散信號圖(5)所示的x[n]不一樣呀，它是x[n]的週期性延拓！沒錯，所以你去查找一個IDFT的定義式，是否是對n的取值區間進行限制了呢？這一限制的含義就是，取該週期延拓序列的主值區間，便可還原x[n]！

　　FFT呢？FFT的提出徹底是爲了快速計算DFT而已，它的本質就是DFT！咱們經常使用的信號處理軟件MATLAB或者DSP軟件包中，包含的算法都是FFT而非DFT。

　　DFS,是針對時域週期信號提出的，若是對圖(9）所示週期延拓信號進行DFS，就會獲得圖(10)，只要截取其主值區間，則與DFT是徹底的一一對應的精確關係。這點對照DFS和DFT的定義式也能夠輕易的看出。所以DFS與DFT的本質是同樣的，只不過描述的方法不一樣而已。

　　不知道通過上面的解釋，您是否明白各類T的關係了呢？若是您不是算法設計者，其實只要懂得如何使用FFT分析頻譜便可，博主近期會更新一篇文章，專門介紹如何利用FFT分析簡單信號的頻譜。

　　其實我的認爲，糾結了這麼多，就是爲了打破現實模擬世界與計算機數字世界的界限呀！