FS，FT，DFS，DTFT，DFT，FFT的聯繫和區別

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1.Fourier變換的幾種可能形式

對應關係爲：

　　在天然界中除了存在溫度，壓力等在時間上連續的信號，還存在一些離散信號，離散信號可通過連續信號採樣得到，也有自己就是離散的。例如，某地區的年降水量 或平均增加率等信號，這類信號的時間變量爲年，不在整數時間點的信號是沒有意義的。用於離散信號頻譜分析的工具包括DFS，DTFT和DFT。

2.FS

　　FS（Fourier Series）傅里葉級數展開，它用於分析連續週期信號，時域上任意連續的週期信號能夠分解爲無限多個正弦信號之和，在頻域上就表示爲離散非週期的信號，即時域連續週期，對應頻域離散非週期的特色。

 

    

3.FT

　　FT（Fourier Transform）是傅里葉變換，它主要用於分析連續非週期信號，因爲信號是非週期的，它必包含了各類頻率的信號，因此具備時域連續非週期，對應頻域連續非週期的特色。

     

4.DTFT

　　DTFT（Discrete Time Fourier Transform）是離散時間傅里葉變換 ，它用於離散非週期序列分析，根據連續傅里葉變換要求連續信號在時間上必須可積這一充分必要條件，那麼對於離散時間傅里葉變換，用於它之上的離散序列也必須知足在時間軸上級數求和收斂的條件；因爲信號是非週期序列，它必包含了各類頻率的信號，因此DTFT對離散非週期信號變換後的頻譜爲連續的，即有時域離散非週期，對應頻域連續週期的特色。

 

　　當離散的信號爲週期序列時，嚴格的講，離散時間傅里葉變換是不存在的，由於它不知足信號序列絕對級數和收斂（絕對可和）這一傅里葉變換的充要條件，可是採用DFS這一分析工具仍然能夠對其進行傅里葉分析。

5.DFS

　　DFS（Discrete Fourier Series）離散傅里葉級數，用於離散週期信號分析。咱們知道週期離散信號是由無窮多相同的週期序列在時間軸上組成的，假設週期爲N，即每一個週期序列都有N個元素，而這樣的週期序列有無窮多個，因爲無窮多個週期序列都相同，因此能夠只取其中一個週期就足以表示整個序列了，這個被抽出來表示整個序列特性的週期稱爲主值週期，這個序列稱爲主值序列。而後以N對應的頻率做爲基頻構成傅里葉級數展開所須要的復指數序列ek(n)=exp(j*2pi*k*n/N)，用主值序列與復指數序列取相關（乘加運算），得出每一個主值在各頻率上的頻譜份量，這樣就表示出了週期序列的頻譜特性。DFS有時域離散週期，對應頻域離散週期的特色。

　　根據DTFT，對於有限長序列做Z變換或序列傅里葉變換都是可行的，或者說，有限長序列的頻域和複頻域分析在理論上都已經解決；但對於數字系統，不管是Z 變換仍是序列傅里葉變換的適用方面都存在一些問題，重要是由於頻率變量的連續性性質（DTFT變換出連續頻譜），不便於數字運算和儲存。

6.DFT

　　DFT是爲適應於數字計算機計算的傅里葉變換（FT），對於信號x(t)若要在計算機上實現傅里葉變換和傅里葉逆變換，須要作到：①把連續信號（包括時域和頻域）都改成離散數據，②把計算範圍收縮到一個有限的區間；③實現正，逆傅里葉變換。參考DFS，能夠採用相似DFS的分析方法對解決以上問題。能夠把有限長非週期序列假設爲一無限長週期序列的一個主直週期，即對有限長非週期序列進行週期延拓，延拓後的序列徹底能夠採用DFS進行處理，即採用復指數基頻序列和此有限長時間序列取相關，得出每一個主值在各頻率上的頻譜份量以表示出這個「主值週期」的頻譜信息。

　　DFT（Discrete Fourier Transform）離散傅里葉變換，用於離散週期信號分析。因爲DFT借用了DFS，這樣就假設了序列的週期無限性，但在處理時又對區間做出限定（主值區間），以符合有限長的特色，這就使DFT帶有了週期性。另 外，DFT只是對一週期內的有限個離散頻率的表示，因此它在頻率上是離散的，就至關於DTFT變換成連續頻譜後再對其採樣，此時採樣頻率等於序列延拓後的週期N，即主值序列的個數。（DFS是在時域上先採樣後作FS變換，DFT是先在時域上採樣，再FT變換，即DTFT變換，而後時域截斷，最後再將DTFT變換後的連續頻域上採樣，即DFT對連續時間信號有三個過程：時域採樣->時域截斷->頻域採樣）

（1）時域採樣

（2）時域截斷

（3）頻域採樣

7.DFS，DTFT，DFT，FFT的聯繫與區別　　

　　下面談談DFS，DTFT，DFT，FFT的聯繫與區別

　　DFT與FFT實際上是一個本質，FFT是DFT的一種快速算法。

　　DFS是discrete fourier seriers，對離散週期信號進行級數展開。DFT是將DFS取主值，DFS是DFT的週期延拓。計算上DFS是在時域上先採樣後作FS變換，DFT是先在時域上採樣，再FT變換，即DTFT變換，而後再將DTFT變換後的連續頻域上採樣。

　　DTFT是對Discrete time fourier transformation，是對序列的FT，是先在時域中採樣，後傅里葉變換，獲得連續的週期譜，而DFT，FFT獲得是有限長的非週期離散譜，不是一個。

　　DFS、DTFT與FS、FT的差異在於，前二者都是先在時域上採樣，而後進行FS和FT變換，便於計算機進行數字運算和存儲。

　　DTFT與DFT的關係

　　咱們知道，一個N點離散時間序列的傅里葉變換（DTFT）所的頻譜是以（2*pi）爲週期進行延拓的連續函數，由採樣定理咱們知道，時域進行採樣，則頻域週期延拓；同理，若是在頻域進行採樣，則時域也會週期延拓。離散傅里葉變換（DFT）就是基於這個理論，在頻域進行採樣，一個週期內採N個點（與序列點數相同） ，從而將信號的頻譜離散化，獲得一的重要的對應關係：一個N點離散時間信號能夠用頻域內一個N點序列來惟一肯定，這就是DFT表達式所揭示的內容。

　　至於離散傅里葉變換DFT，其實也是對數字信號變換到頻域進行分析處理，它對數字信號處理的做用至關大。數字信號處理脫離了模擬時期對信號進行處理徹底依賴於器件的狀況，能夠直接經過計算來進行信號處理。如數字濾波器，只是用系統的係數對進入的數字信號進行必定的計算，信號出系統後即獲得處理後的數據在時域 上的表達。

　　離散傅里葉變換在理解上與連續信號的傅里葉變換不太相同，主要是離散信號的傅里葉變換涉及到週期延拓，以及圓周卷積等。

　　快速傅里葉變換FFT實際上是一種對離散傅里葉變換的快速算法，它的出現解決了離散傅里葉變換的計算量極大、不實用的問題，使離散傅里葉變換的計算量下降了 一個或幾個數量級，從而使離散傅里葉變換獲得了普遍應用。另外，FFT的出現也解決了至關多的計算問題，使得其它計算也能夠經過FFT來解決。