浮點數的基礎知識

1.浮點數的十進制表現形式

·咱們知道，在 十進制中一般一個浮點數能夠用科學計數法來表示，舉例：

eg.1                            -306.5能夠表示爲-0.3065*10^3

其中 - 是符號，指數3是階或稱階碼，0.3065是小數部分，左右兩端非0包起來的部分是有效值，此例中的有效值是3065。因爲小數部分也稱爲尾數，因此3065也是尾數。

eg.2                         -3.87

其中，有效值爲387，尾數爲87

 

·爲何稱爲浮點數呢？

由於他能夠表示爲 -3.065*10^2 也能夠表示爲 -0.03065*10^4 等，小數部分能夠左右「浮動」 ，但無論小數部分怎麼移動，其有效值保持不變，都是3065（注意：尾數是變化的）。因而，兩個浮點數相加就先要經過小數點的左右浮動，將階碼對齊後進行尾數相加。

(當階碼爲固定值時，數的這種表示法稱爲定點表示，這樣的數稱爲「定點數」；當階碼爲可變時，數的這種表示法稱爲浮點表示，這樣的數稱爲「浮點數」。)

·十進制浮點數規格化

爲了使有效值和尾數可以統一，在空間上表達更有效率，有必要將全部浮點數規格化。

規格化標準：經過調整階碼將浮點數寫成小數點前不含有有效數字，小數點後第一位由非0數字表示，舉例-306.5規格化爲-0.3065*10^3。 

 

---

 

2.十進制浮點數轉換爲二進制浮點數

在計算機內部，浮點數都是以二進制表示的。因此對於十進制浮點數，咱們要把它先轉換爲二進制浮點數。

分兩步走：

a.整數部分的轉換，採用"除2取餘法"。

b.小數部分採用"乘2取整法"。即把小數部分乘2（第一次計算），所得結果的整數部分做爲小數的十分位，所得結果的小數部分再乘2（第二次計算），第二次計算所得結果的整數部分做爲小數的百分位...以此類推，直到達到所需精度。

 

---

 

3.二進制浮點數的尾數及規格化

當十進制浮點數轉換完成二進制浮點數後，就要像十進制數那樣對二進制數規格化，以便於計算機表示。

·二進制浮點數的規格化

規格化標準：經過調整小數點的階碼使得該數的有效值在1和2之間，既二進制浮點數的整數部分爲1。

例如：0.8125 = 0.1101(二進制) = 1.101*2^(-1)   

注意：上例末尾的(-1)是階碼，它也是二進制表示。然而，提到階碼就不得不提移碼(增碼)，計算機移碼就是在原有的補碼的基礎上對於符號取反。

·那麼爲何會用移碼來表示階碼呢？

由於用補碼錶示階碼的時候，當階碼無限小，產生了下溢的時候，階碼變成了0，那麼這個浮點數的值變爲了1。而實際上這個數是無限接近於零的。那麼咱們就須要取出其中的 "-0「 值做爲機器零。

 

4.計算機二進制浮點數表示過程

先看浮點數二進制表達的三個組成部分：

主要成分是：

• Sign（1bit）：表示浮點數是正數仍是負數。0表示正數，1表示負數
• Exponent（8bits）：指數部分。相似於科計數法中的M*10^N中的N，只不過這裏是以2爲底數而不是10。須要注意的是，這部分中是以2^7-1即127，也即01111111表明2^0，轉換時須要根據127做偏移調整。
• Mantissa（23bits）：尾數部分。浮點數具體數值的實際表示

實例：

Step 1 改寫整數部分
以數值5.2爲例。先不考慮指數部分，咱們先單純的將十進制數改寫成二進制。
整數部分很簡單，5.即101.。

Step 2 改寫小數部分
小數部分咱們至關於拆成是2^-1一直到2^-N的和。例如：
0.2 = 0.125+0.0625+0.007825+0.00390625即2^-3+2^-4+2^-7+2^-8….，也即.00110011001100110011

Step 3 規格化
如今咱們已經有了這麼一串二進制101.00110011001100110011。而後咱們要將它規格化，也叫Normalize。其實原理很簡單就是保證小數點前只有一個bit。因而咱們就獲得瞭如下表示：1.0100110011001100110011 * 2^2。到此爲止咱們已經把改寫工做完成，接下來就是要把bit填充到三個組成部分中去了。

Step 4 填充
指數部分（Exponent）：以前說過須要以127做爲偏移量調整。所以2的2次方，指數部分偏移成2+127即129，表示成10000001填入。
尾數部分（Mantissa）：除了簡單的填入外，須要特別解釋的地方是1.010011中的整數部分1在填充時被捨去了。由於規格化後的數值整部部分老是爲1。那你們可能有疑問了，省略整數部分後豈不是1.010011和0.010011就混淆了麼？其實並不會，若是你仔細看下後者：會發現他並非一個規格化的二進制，能夠改寫成1.0011 * 2^-2。因此省略小數點前的一個bit不會形成任何兩個浮點數的混淆。