學習JavaScript數據結構與算法 — 圖

定義

圖和散列表、二叉樹同樣，是一種非線性數據結構。如圖1所示，圖由一系列頂點以及鏈接頂點的邊構成。由一條邊鏈接在一塊兒的頂點成爲相鄰頂點，好比A和B、A和D是相鄰的，而A和E不是相鄰的。一個頂點相鄰頂點的數量叫做度，好比A的度爲三、D的度爲4。路徑指相鄰頂點的一個連續序列，如ABEI、ACDG；簡單路徑指不包含重複頂點的路徑（除環外），如ADG；環指首尾頂點相同的路徑，如ADCA，環也屬於簡單路徑。若是圖中每兩個頂點之間都有路徑相連，則稱該圖是連通的。

圖1

如圖2，若是圖中的邊具備方向，稱該圖爲有向圖。若是圖中的邊是雙向的，則該圖是強連通的，例如圖3中的C和D是強連通的。圖也能夠是加權的，例如圖3中的每條邊都有權值。

圖2

圖3

圖能夠用來解決計算機中的不少問題，好比搜索圖中的一個特定頂點或搜索一條特定邊，尋找圖中的一條路徑（從一個頂點到另外一個頂點） ，尋找兩個頂點之間的最短路徑，以及環檢測。

圖的表示

圖的表示方式有多種，沒有絕對正確的表示方式，採用哪一種方式取決於圖的類型和待解決的問題。這裏介紹三種方式：鄰接矩陣、鄰接表、關聯矩陣。

鄰接矩陣

鄰接矩陣用一個二維數組來表示圖中頂點的鏈接狀況；若是索引爲i的節點和索引爲j的節點鏈接，則array[i][j] === 1，不然array[i][j] === 0，如圖4。鄰接矩陣的缺點是，若是圖不是強連通的，矩陣中就會出現不少0，從而計算機須要浪費存儲空間來表示根本不存在的邊。例如，即便某一頂點只有一個相鄰頂點，也須要一整行來表示該頂點的鏈接狀況，

圖4

鄰接表

鄰接表由圖中每一個頂點的相鄰頂點的列表所組成，如圖5。只要能表示一對多的數據結構，均可以用來描述鄰接表，好比多維列表（數組）、鏈表、散列表、字典等。
在大多數狀況下，鄰接表是更好的選擇，但鄰接矩陣也有其優勢，好比要判斷頂點A和B是否相鄰，鄰接矩陣比鄰接表要快。

圖5

關聯矩陣

在關聯矩陣表示的圖中，矩陣的行表示頂點，列表示邊。如圖6所示，咱們使用二維數組來表示二者之間的連通性，若是頂點A是邊E的入射點，則array[A][E] === 1；不然，array[A][E] === 0。
關聯矩陣一般用於邊的數量比頂點少的狀況下，以節省空間和內存。如圖6，頂點數是5，邊的數量是6，用鄰接矩陣表示圖須要的空間是5*5=25，而使用關聯矩陣表示圖須要的空間是5*6=30。

圖6

建立圖類

首先首先聲明類的骨架：

function Graph() {
    var vertices = [];
    var adjList = new Dictionary();
}

其中Dictionary類的實現參考以前的文章字典。
咱們使用數組 vertices 來存儲圖中全部頂點的名字，以及字典 adjList 來存儲鄰接表。字典將會使用頂點的名字做爲鍵，鄰接頂點列表做爲值。
接下來實現向圖中添加頂點的方法：

this.addVertex = function(v){
    vertices.push(v);
    adjList.set(v, []);
};

該方法接受頂點 v 做爲參數。咱們將該頂點添加到頂點列表 vertices 中，而且在鄰接表中，設置頂點 v 做爲鍵對應的字典值爲一個空數組。
接着實現一個點到另外一個點的鏈接：

this.addEdge = function(v, w){
    adjList.get(v).push(w);
    adjList.get(w).push(v);
};

這個方法接受兩個頂點做爲參數。首先，咱們經過將 w 加入到 v 的鄰接表中，添加了一條自頂
點 v 到頂點 w 的邊。若是是有向圖，則只須要該方法的第一行代碼就好了。咱們這裏要實現無向圖，咱們須要添加一條自 w 向 v 的邊，即該方法的第二行代碼。
使用該圖類進行簡單的測試：

var graph = new Graph();
var myVertices = ['A','B','C','D'];
for (var i=0; i<myVertices.length; i++){
    graph.addVertex(myVertices[i]); // 添加圖的頂點
}
// 添加圖的邊
graph.addEdge('A', 'B');
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('B', 'D');
graph.addEdge('C', 'D');

上述代碼生成圖對應的鄰接表爲：
A -> B C
B -> A D
C -> A D
D -> B C

圖的遍歷

有兩種算法能夠對圖進行遍歷：廣度優先搜索（Breadth-First Search，BFS）和深度優先搜索（Depth-First Search，DFS）。圖遍歷能夠用來尋找特定的頂點或尋找兩個頂點之間的路徑，檢查圖是否連通，檢查圖是否含有環等。
圖遍歷算法的思路是追蹤每一個第一次訪問的節點，而且追蹤有哪些節點尚未被徹底探索。對於兩種圖遍歷算法，都須要明確指出第一個被訪問的頂點。
徹底探索一個頂點須要查看該頂點的每一條邊。對於每一條邊所鏈接的沒有被訪問過的頂點，將其標註爲被發現的，並將其加進待訪問頂點列表中。
咱們用三種狀態來反映頂點的狀態：

• 白色：表示該頂點尚未被訪問。
• 灰色：表示該頂點被訪問過，但並未被探索過。
• 黑色：表示該頂點被訪問過且被徹底探索過。

由於只有這三種狀態，初始狀態是白色，所以每一個頂點至多訪問兩次，這樣作可以保證算法的效率。
廣度優先搜索算法和深度優先搜索算法基本上是相同的，只是待訪問頂點列表的數據結構不一樣。
廣度優先搜索算法：數據結構是隊列。經過將頂點存入隊列中，最早入隊列的頂點先被探索。
深度優先搜索算法：數據結構是棧。經過將頂點存入棧中，沿着路徑探索頂點，存在新的相鄰頂點就去訪問。