淺談差分約束問題

差分約束

差分約束是解決這樣一類問題

給出\(n\)個形如\(x[j]-x[i]<=k\)的式子，求\(x[n]-x[1]\)的最大/最小值

思路

其實這個問題是挺套路的

咱們把給出的式子變一下

\(x[j]-x[i]<=k\)

\(x[j]<=x[i]+k\)

咱們不難聯想到圖論中最短路的性質

假設\(d[x]\)表示\(1\)到\(x\)的最短路

那麼對於任意一條邊\((u,v)\)

有\(d[v]<=d[u]+k\)（k表示邊權）

可能有些抽象，舉個例子

通過計算不可貴到三個不等式

1.(3)                 x3 - x0 <= 8
  2.(2) + (5)           x3 - x0 <= 9
  3.(1) + (4) + (5)     x3 - x0 <= 7

這樣的話，咱們在知足條件的狀況下\(x[3]-x[0]\)最大爲\(7\)

咱們按上面的方法建出圖

不難發現圖中的最短路就是咱們想要的答案！

難道這是巧合麼?

確定不是。仔細觀察不難發現，咱們連邊的過程其實就是在轉換不等式，求最短路其實就是求最小的限制條件。這樣求出來的最短路即爲知足條件的最大值

總結

這玩意兒其實挺套路的

若是你找出了題目中的限制條件，直接建圖就好

最大值—>把全部式子整理爲\(x[j]-x[i]<=k\)，從\(i\)向\(j\)連一條邊權爲\(k\)的邊，跑最短路

最小值—>把全部式子整理爲\(x[j]-x[i]>=k\)，從\(i\)向\(j\)連一條邊權爲\(k\)的邊，跑最長路

在求解的時，由於常常要判斷負環，因此選用SPFA算法

當一個點的入隊次數超過\(n\)時一定出現負環

例題

幾道水題

POJ1201

POJ1275

HDU3440

還有兩道\(n\)年之前作的，沒寫題解

洛谷P1993

洛谷P3275