二叉樹總結(四)平衡二叉樹

平衡二叉樹概念

AVL樹是根據它的發明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis命名的。它是最早發明的自平衡二叉查找樹，也被稱爲高度平衡樹。相比於"二叉查找樹"，它的特色是：AVL樹中任何節點的兩個子樹的高度最大差異爲1。

AVL樹的查找、插入和刪除在平均和最壞狀況下都是O(logn)。若是在AVL樹中插入或刪除節點後，使得高度之差大於1。此時，AVL樹的平衡狀態就被破壞，它就再也不是一棵二叉樹；爲了讓它從新維持在一個平衡狀態，就須要對其進行旋轉處理。

平衡二叉樹結構：

typedef int Type;

typedef struct AVLTreeNode{
    Type key;
    int height;                     //當前節點的高度
    struct AVLTreeNode *left;    // 左孩子
    struct AVLTreeNode *right;    // 右孩子
}Node, *AVLTree;

 

平衡二叉樹修復方法

 當插入一個元素使平衡二叉樹不平衡時，可能出現如下的四種狀況：

1. LL：稱爲"左左"。插入或刪除一個節點後，根節點的左子樹的左子樹還有非空子節點，致使"根的左子樹的高度"比"根的右子樹的高度"大2，致使AVL樹失去了平衡。

例如，在上面LL狀況中，因爲"根節點(8)的左子樹(4)的左子樹(2)還有非空子節點"，而"根節點(8)的右子樹(12)沒有子節點"；致使"根節點(8)的左子樹(4)高度"比"根節點(8)的右子樹(12)"高2。

1. LR：稱爲"左右"。插入或刪除一個節點後，根節點的左子樹的右子樹還有非空子節點，致使"根的左子樹的高度"比"根的右子樹的高度"大2，致使AVL樹失去了平衡。

 例如，在上面LR狀況中，因爲"根節點(8)的左子樹(4)的左子樹(6)還有非空子節點"，而"根節點(8)的右子樹(12)沒有子節點"；致使"根節點(8)的左子樹(4)高度"比"根節點(8)的右子樹(12)"高2。

1. RL：稱爲"右左"。插入或刪除一個節點後，根節點的右子樹的左子樹還有非空子節點，致使"根的右子樹的高度"比"根的左子樹的高度"大2，致使AVL樹失去了平衡。

例如，在上面RL狀況中，因爲"根節點(8)的右子樹(12)的左子樹(10)還有非空子節點"，而"根節點(8)的左子樹(4)沒有子節點"；致使"根節點(8)的右子樹(12)高度"比"根節點(8)的左子樹(4)"高2。

1. RR：稱爲"右右"。插入或刪除一個節點後，根節點的右子樹的右子樹還有非空子節點，致使"根的右子樹的高度"比"根的左子樹的高度"大2，致使AVL樹失去了平衡。

例如，在上面RR狀況中，因爲"根節點(8)的右子樹(12)的右子樹(14)還有非空子節點"，而"根節點(8)的左子樹(4)沒有子節點"；致使"根節點(8)的右子樹(12)高度"比"根節點(8)的左子樹(4)"高2。

下面根據上面的四種狀況來具體看修復的辦法。

LL旋轉

當平衡二叉樹失去平衡，顯示出上面LL的狀況時，能夠用下面的一次調整使其恢復平衡。

從上圖看出，只須要將高度較大的左子樹的根節點做爲其父節點，而後，將其父節點做爲右子樹的根節點；這時，原來左子樹的右子樹須要移動到如今的右子樹下，做爲其左子樹。

/*
 *p 爲須要調整的子樹樹根，即圖中的k1
 *root 爲調整後的樹根，即p的左孩子
**/
Node *leftLeftRotation(AVLTree p)
{
    AVLTree root = p->left;//調整子樹
    p->left = root->right;
    root->right = p;

    p->height = 0;//從新計算高度
    if (p->left)p->height = p->left->height + 1;
    if (p->right)p->height = max(p->height, p->right->height + 1);
    root->height = 0;
    if (root->left)root->height = root->left->height + 1;
    if (root->right)root->height = max(root->height, root->right->height + 1);

    return root;
}

RR旋轉

當平衡二叉樹失去平衡，顯示出上面RR的狀況時，能夠用下面的一次調整使其恢復平衡。

從上圖看出，只須要將高度較大的右子樹的根節點做爲其父節點，而後，將其父節點做爲左子樹的根節點；這時，原來右子樹的左子樹須要移動到如今的左子樹下，做爲其右子樹。

/*
*p 爲須要調整的子樹樹根，即圖中的k1
*root 爲調整後的樹根，即p的右孩子
**/
Node *rightRightRotation(AVLTree p)
{
    AVLTree root = p->right;//調整子樹
    p->right = root->left;
    root->left = p;

    p->height = 0;//從新計算高度
    if (p->left)p->height = p->left->height + 1;
    if (p->right)p->height = max(p->height, p->right->height + 1);
    root->height = 0;
    if (root->left)root->height = root->left->height + 1;
    if (root->right)root->height = max(root->height, root->right->height + 1);

    return root;
}

LR旋轉

當平衡二叉樹失去平衡，顯示出上面LR的狀況時，能夠用下面的兩次調整使其恢復平衡。

如上圖，先將k1爲樹根的子樹向左旋轉，即和前面的RR調整的方向相似，而後在將以k3爲樹根的子樹向右旋轉。

/*
 *先按照RR的方式調整p->left;而後按照LL的方式調整p
**/
Node *leftRightRotation(AVLTree p){
    p->left = rightRightRotation(p->left);
    return leftLeftRotation(p);
}

RL旋轉

當平衡二叉樹失去平衡，顯示出上面RL的狀況時，能夠用下面的兩次調整使其恢復平衡。

如上圖，先將k3爲樹根的子樹向右旋轉，即和前面的LL調整的方向相似，而後在將以k1爲樹根的子樹向左旋轉。

/*
*先按照LL的方式調整p->right;而後按照RR的方式調整p
**/
Node *rightLeftRotation(AVLTree p){
    p->right = leftLeftRotation(p->right);
    return rightRightRotation(p);
}