物體座標系的思考

物體座標系的思考

0. 引言

對於空間幾何，必定須要座標系嗎？必定須要點座標嗎？本人只在初中階段學過初等解析幾何，沒有系統學過向量。向量的學習是在與教小孩的過程當中逐漸進步的。

從空間上看，可使用距離和方向描述點之間的關係，使用距離和位置姿態（基底）描述物體之間的關係。點（物體）之間的關係並不依賴於座標。

向量揭示了物體空間關係的本質。向量反映了具備大小和方向的量，與位置和座標其實並無關係。物體的空間關係能夠當作一系列向量（長度和方向組成）。

那爲何要用座標法來表示向量呢？在看清了事物的本質以後，咱們須要藉助於計算機的算力來進行大規模的二、3維計算。使用座標表示向量，爲咱們開啓了計算幾何的大門。

1. 數學基礎

1.1 向量(Vector)

向量指具備大小和方向的量。

1.2 基(Basic,基底)

1.2.1 線性無關

在一個向量空間\(V_n\)中，假設：

\(a_1e_1 + ⋯ + a_ne_n = 0\)

只在 \(a_1 = ⋯ = a_n = 0\) 時成立，那麼向量 \(\{e_1, e_2, ..., e_n\}\) 是線性無關的。
若是任何 \(a_i\) 不爲零，那麼這些向量是線性相關的，其中一個向量是其餘向量的組合。

1.2.2 基底

在向量空間\(V_n\)中，任意向量\(P\)均可以由一組\(n\)個線性無關的向量集\(B_n\)組成，這樣的向量集\(B_n\)稱爲基底(基)。其定義以下：
向量空間 \(V_n\) 的基底 \(B_n\) 是一組 \(n\) 個線性無關的向量 \(\{e_1, e_2, ..., e_n\}\)，
對於任何 \(V_n\) 的向量 \(P\)，都存在實數 \(\{a_1, a_2, ..., a_n\}\)，使得

$P = a_1e_1 + ⋯ + a_ne_n $

2. 物體座標系（二、3維）

2.1 基本定義

假設在統一座標系下，有\(n\)個物體座標系：

1. 設\(N_n\)爲物體座標系，它包含了原點\(o_n\)及基底 \(M_n\)。對於\(N_n\)中的向徑，能夠表示爲\(\vec{p_n}\)。
2. 在兩物體座標系原點之間，\(o_1 \to o_2 的向量爲\overrightarrow{o_1o_2}\)

通常的, 點在物體座標系\(N_n\)下的矩陣表示法爲：

\(\overrightarrow{p_n} =\overrightarrow{v_n}M_n\)

其中：

• \(v_n\)是點在物體座標系的向徑
• \(M_n\)是物體座標系在統一座標系下的基

2.2 物體空間向量基本式

對於空間中同一點\(p\)，在 \(N1\) 和 \(N2\) 中的向徑，根據向量的基本性質有以下關係：

\(\overrightarrow{p_1}=\overrightarrow{o_1o_2}+\overrightarrow{p_2}\)　　（式1）

或者

\(\overrightarrow{p_2}=\overrightarrow{o_2o_1}+\overrightarrow{p_1}\)　　（式2）

其中:

• \(\overrightarrow{p_1}\) 　　爲\(o_1 \to p\)的向量
• \(\overrightarrow{o_1o_2}\)　爲\(o_1 \to o_2的向量\)
• \(\overrightarrow{p_2}\) 　　爲\(o_2 \to p\)的向量
• \(\overrightarrow{o_2o_1}\)　爲\(o_2 \to o_1 的向量\)

2.3 物體空間向量基本式在物體座標系轉換中的應用

因爲 式1 與 式2 形式相同，下面只對 式1 進行進一步推導:

\(\overrightarrow{v_1}M_1 = \overrightarrow{o_1o_2} + \overrightarrow{v_2}M_2\)　　　　　　　　（式3）

\(\Longrightarrow \overrightarrow{v_1}M_1M_1^{-1} = (\overrightarrow{o_1o_2} + \overrightarrow{v_2}M_2)M_1^{-1}\)

\(\Longrightarrow \overrightarrow{v_1} = \overrightarrow{o_1o_2}M_1^{-1} + \overrightarrow{v_2}M_2M_1^{-1}\)　　　（式4）

同理，

\(\overrightarrow{v_2} = \overrightarrow{o_2o_1}M_2^{-1} + \overrightarrow{v_1}M_1M_2^{-1}\)　　　　　（式5）

式4（式5）描述了點在不一樣座標系\(N_1\)，\(N_2\)中座標的轉換關係。