快速冪講解

　　快速冪這個東西比較好理解，但實現起來到不老好辦，記了幾回總是忘，今天把它系統的總結一下防止忘記。

　　首先，快速冪的目的就是作到快速求冪，假設咱們要求a^b,按照樸素算法就是把a連乘b次，這樣一來時間複雜度是O(b)也便是O(n)級別，快速冪能作到O(logn)，快了好多好多。它的原理以下：

　　假設咱們要求a^b，那麼其實b是能夠拆成二進制的，該二進制數第i位的權爲2^(i-1)，例如當b==11時

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　    a¹¹=a^{(2^0+2^1+2^3)}

　　 11的二進制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，所以，咱們將a¹¹轉化爲算 a^{2^0}*a^{2^1}*a^{2^3}，也就是a¹*a²*a⁸

，看出來快的多了吧原來算11次，如今算三次，可是這三項貌似很差求的樣子....不急，下面會有詳細解釋。                                                                                             

 

　　因爲是二進制，很天然地想到用位運算這個強大的工具：&和>>    

&運算一般用於二進制取位操做，例如一個數 & 1 的結果就是取二進制的最末位。還能夠判斷奇偶x&1==0爲偶，x&1==1爲奇。

>>運算比較單純,二進制去掉最後一位，很少說了，先放代碼再解釋。

 

　　

 1 int poww(int a, int b) {
 2     int ans = 1, base = a;
 3     while (b != 0) {
 4         if (b & 1 != 0)
 5             ans *= base;
 6             base *= base;
 7             b >>= 1;
 8     }
 9     return ans;
10 }

 

　　代碼很短，死記也可行，但最好仍是理解一下吧，其實也很好理解，以b==11爲例，b=>1011,二進制從右向左算，但乘出來的順序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是從左向右的。咱們不斷的讓base*=base目的便是累乘，以便隨時對ans作出貢獻。

　　其中要理解base*=base這一步：由於 base*base==base²，下一步再乘，就是base²*base²==base⁴，而後同理  base⁴*base⁴=base⁸，由此能夠作到base-->base²-->base⁴-->base⁸-->base¹⁶-->base³².......指數正是 2^i ，再看上面的例子，a¹¹= a¹*a²*a⁸，這三項就能夠完美解決了，快速冪就是這樣。

　　順便囉嗦一句，因爲指數函數是爆炸增加的函數，因此頗有可能會爆掉int的範圍，根據題意選擇 long long仍是mod某個數本身看着辦。

　　矩陣快速冪也是這個道理，下面放一個求斐波那契數列的矩陣快速冪模板

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 #include<algorithm>
 6 using namespace std;
 7 const int mod = 10000;
 8 const int maxn = 35;
 9 int N;
10 struct Matrix {
11     int mat[maxn][maxn];
12     int x, y;
13     Matrix() {
14         memset(mat, 0, sizeof(mat));
15         for (int i = 1; i <= maxn - 5; i++) mat[i][i] = 1;
16     }
17 };
18 inline void mat_mul(Matrix a, Matrix b, Matrix &c) {
19     memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
20     c.x = a.x; c.y = b.y;
21     for (int i = 1; i <= c.x; i++) {
22         for (int j = 1; j <= c.y; j++) {
23             for (int k = 1; k <= a.y; k++) {
24                 c.mat[i][j] += (a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % mod;
25                 c.mat[i][j] %= mod;
26             }
27         }
28     }
29     return ;
30 }
31 inline void mat_pow(Matrix &a, int z) {
32     Matrix ans, base = a;
33     ans.x = a.x; ans.y = a.y;
34     while (z) {
35         if (z & 1 == 1) mat_mul(ans, base, ans);
36         mat_mul(base, base, base);
37         z >>= 1;
38     }
39     a = ans;
40 }
41 int main() {
42     while (cin >> N) {
43         switch (N) {
44             case -1: return 0;
45             case 0: cout << "0" << endl; continue;
46             case 1: cout << "1" << endl; continue;
47             case 2: cout << "1" << endl; continue;
48         }
49         Matrix A, B;
50         A.x = 2; A.y = 2;
51         A.mat[1][1] = 1; A.mat[1][2] = 1;
52         A.mat[2][1] = 1; A.mat[2][2] = 0;
53         B.x = 2; B.y = 1;
54         B.mat[1][1] = 1; B.mat[2][1] = 1;
55         mat_pow(A, N - 1);
56         mat_mul(A, B, B);
57         cout << B.mat[1][1] << endl;
58     }
59     return 0;
60 }