機器學習中規範化項：L1和L2

規範化（Regularization）

機器學習中幾乎均可以看到損失函數後面會添加一個額外項，經常使用的額外項通常有兩種，通常英文稱做ℓ1-norm和ℓ2-norm，中文稱做L1正則化和L2正則化，或者L1範數和L2範數。

L1正則化和L2正則化能夠看作是損失函數的懲罰項。所謂『懲罰』是指對損失函數中的某些參數作一些限制。對於線性迴歸模型，使用L1正則化的模型建叫作Lasso迴歸，使用L2正則化的模型叫作Ridge迴歸（嶺迴歸）。下圖是Python中Lasso迴歸的損失函數，式中加號後面一項α||w||1即爲L1正則化項。

 

下圖是Python中Ridge迴歸的損失函數，式中加號後面一項α||w||2即爲L2正則化項。

 

通常回歸分析中迴歸w表示特徵的係數，從上式能夠看到正則化項是對係數作了處理（限制）。L1正則化和L2正則化的說明以下：

• L1正則化是指權值向量w中各個元素的絕對值之和，一般表示爲||w||1
  
• L2正則化是指權值向量w中各個元素的平方和而後再求平方根（能夠看到Ridge迴歸的L2正則化項有平方符號），一般表示爲||w||2
  

通常都會在正則化項以前添加一個係數，Python中用α表示，一些文章也用λ表示。這個係數須要用戶指定。

那添加L1和L2正則化有什麼用？下面是L1正則化和L2正則化的做用，這些表述能夠在不少文章中找到。

• L1正則化能夠產生稀疏權值矩陣，即產生一個稀疏模型，能夠用於特徵選擇
• L2正則化能夠防止模型過擬合（overfitting）；必定程度上，L1也能夠防止過擬合

稀疏模型與特徵選擇

上面提到L1正則化有助於生成一個稀疏權值矩陣，進而能夠用於特徵選擇。爲何要生成一個稀疏矩陣？

稀疏矩陣指的是不少元素爲0，只有少數元素是非零值的矩陣，即獲得的線性迴歸模型的大部分系數都是0. 一般機器學習中特徵數量不少，例如文本處理時，若是將一個詞組（term）做爲一個特徵，那麼特徵數量會達到上萬個（bigram）。在預測或分類時，那麼多特徵顯然難以選擇，可是若是代入這些特徵獲得的模型是一個稀疏模型，表示只有少數特徵對這個模型有貢獻，絕大部分特徵是沒有貢獻的，或者貢獻微小（由於它們前面的係數是0或者是很小的值，即便去掉對模型也沒有什麼影響），此時咱們就能夠只關注係數是非零值的特徵。這就是稀疏模型與特徵選擇的關係。

L1和L2正則化的直觀理解

這部份內容將解釋爲何L1正則化能夠產生稀疏模型（L1是怎麼讓係數等於零的），以及爲何L2正則化能夠防止過擬合。

L1正則化和特徵選擇

假設有以下帶L1正則化的損失函數： 

 

其中J0是原始的損失函數，加號後面的一項是L1正則化項，α是正則化係數。注意到L1正則化是權值的絕對值之和，J是帶有絕對值符號的函數，所以JJ是不徹底可微的。機器學習的任務就是要經過一些方法（好比梯度降低）求出損失函數的最小值。當咱們在原始損失函數J0後添加L1正則化項時，至關於對J0作了一個約束。令L=α∑w|w|，則J=J0+L，此時咱們的任務變成在LL約束下求出J0取最小值的解。考慮二維的狀況，即只有兩個權值w1和w2，此時L=|w1|+|w2|對於梯度降低法，求解J0J0的過程能夠畫出等值線，同時L1正則化的函數LL也能夠在w1w2w1w2的二維平面上畫出來。以下圖：

 

圖1 L1正則化

圖中等值線是J0的等值線，黑色方形是L函數的圖形。在圖中，當J0等值線與L圖形首次相交的地方就是最優解。上圖中J0與L在L的一個頂點處相交，這個頂點就是最優解。注意到這個頂點的值是(w1,w2)=(0,w)。能夠直觀想象，由於LL函數有不少『突出的角』（二維狀況下四個，多維狀況下更多），J0與這些角接觸的機率會遠大於與LL其它部位接觸的機率，而在這些角上，會有不少權值等於0，這就是爲何L1正則化能夠產生稀疏模型，進而能夠用於特徵選擇。

而正則化前面的係數α，能夠控制LL圖形的大小。α越小，L的圖形越大（上圖中的黑色方框）；α越大，L的圖形就越小，能夠小到黑色方框只超出原點範圍一點點，這是最優勢的值(w1,w2)=(0,w)中的w能夠取到很小的值。

相似，假設有以下帶L2正則化的損失函數： 

 

一樣能夠畫出他們在二維平面上的圖形，以下：

 

圖2 L2正則化

二維平面下L2正則化的函數圖形是個圓，與方形相比，被磨去了棱角。所以J0與LL相交時使得w1或w2等於零的機率小了許多，這就是爲何L2正則化不具備稀疏性的緣由。

L2正則化和過擬合

擬合過程當中一般都傾向於讓權值儘量小，最後構造一個全部參數都比較小的模型。由於通常認爲參數值小的模型比較簡單，能適應不一樣的數據集，也在必定程度上避免了過擬合現象。能夠設想一下對於一個線性迴歸方程，若參數很大，那麼只要數據偏移一點點，就會對結果形成很大的影響；但若是參數足夠小，數據偏移得多一點也不會對結果形成什麼影響，專業一點的說法是『抗擾動能力強』。

那爲何L2正則化能夠得到值很小的參數？

以線性迴歸中的梯度降低法爲例。假設要求的參數爲θθ，hθ(x)是咱們的假設函數，那麼線性迴歸的代價函數以下： 

 

那麼在梯度降低法中，最終用於迭代計算參數θθ的迭代式爲： 

 

其中α是learning rate. 上式是沒有添加L2正則化項的迭代公式，若是在原始代價函數以後添加L2正則化，則迭代公式會變成下面的樣子： 

 

其中λ就是正則化參數。從上式能夠看到，與未添加L2正則化的迭代公式相比，每一次迭代，θj都要先乘以一個小於1的因子，從而使得θjθj不斷減少，所以總得來看，θ是不斷減少的。

 

最開始也提到L1正則化必定程度上也能夠防止過擬合。以前作了解釋，當L1的正則化係數很小時，獲得的最優解會很小，能夠達到和L2正則化相似的效果。

正則化參數的選擇

L1正則化參數

一般越大的λλ可讓代價函數在參數爲0時取到最小值。下面是一個簡單的例子，這個例子來自Quora上的問答。爲了方便敘述，一些符號跟這篇帖子的符號保持一致。

假設有以下帶L1正則化項的代價函數： 

 

其中x是要估計的參數，至關於上文中提到的w以及θ. 注意到L1正則化在某些位置是不可導的，當λ足夠大時可使得F(x)在x=0時取到最小值。以下圖： 

圖3 L1正則化參數的選擇

分別取λ=0.5和λ=2，能夠看到越大的λ越容易使F(x)在x=0時取到最小值。

L2正則化參數

從公式5能夠看到，λ越大，θj衰減得越快。另外一個理解能夠參考圖2，λ越大，L2圓的半徑越小，最後求得代價函數最值時各參數也會變得很小。