scheme實現最基本的天然數下的運算

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　　做者：窗戶

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　　教一個基本沒編過什麼程序的朋友scheme，爲何教scheme呢？由於他想學，由於一直聽我鼓吹，而他以爲他本身多少有C語言一點基礎，而又由於我以爲函數式纔像數學，而過程式是偏向物理現實的，感受不夠抽象。固然，對於一個成年人來講，有着太多的生活、學習、工做經驗，這些不少由於是物理現實，頗有過程式的意思，對於理解遞歸這種數學抽象總以爲是不容易的。我告訴他，這個和你曾經讀書時學的C語言有天壤之別。但不管如何，我決定試一試。

　　理解了前綴表達，理解了基本的遞歸，想一想仍是從這裏開始吧。

　　我給出了三個函數：eq0，用來判斷是否爲0；inc，用來獲得一個天然數的後繼數；dec，用來獲得一個天然數是哪一個天然數的後繼（有個特例，0不是任何數的後繼，這裏返回0）。而後讓他藉助scheme的遞歸，其他的只利用這三個函數來構造加減乘除乃至餘數、乘方、對數。

;使用這三個函數實現天然數內的加減乘除乘方對數(《遞歸論》裏的運算,除法和對數都是向下取整，減法被減數小於減數獲得0)
(define (eq0 x) (=  x 0))
(define (inc x) (+ x 1))
(define (dec x) (if (= x 0) 0 (- x 1)))

　　遞歸論裏都是天然數內部的函數，固然遞歸論其實本質上不過是用天然數（一個特殊的可列集）內的遞歸來模擬全部的運算，由於本質上咱們一個肯定的計算都是針對可列集。天然數裏的計算搞定了，全部可計算問題均可以等價的轉爲天然數內的計算。

　　固然，上升到遞歸論層次，有些東西仍是難懂的，好比通常遞歸算子和原始遞歸算子的理解。不過，若是隻是學習函數式編程，而不是爲了學習數學，一些東西能夠庸俗化一點。

　　很顯然，這個問題是難到他了，半天連加法彷佛沒有出來。因而我決定啓發一下他。咱們能夠這樣去考慮遞歸：

　　咱們知道任何一個數加0都等於自身，那麼假設計算4+3，能夠這樣考慮遞歸的過程，

　　4+3=5+2=6+1=7+0=7

　　也就是x+y往(x+1)+(y-1)的方向去遞歸，直到第二個數字遞歸到0爲止。

　　很快這位仁兄寫出瞭如下代碼

(define (add x y) 
 (if (eq0 y) x 
  (add (inc x) (dec y))
 )
)

　　再接再礪，減法也是先後兩個數逐漸dec，直到兩個有一個變爲0，嗯，也很快搞定(由於是天然數內的，這裏的減法小的數減大的數結果爲0，遞歸論裏定義的減法就是這樣)

(define (sub x y) 
 (if (eq0 x) 0 
  (if (eq0 y) x 
   (sub (dec x) (dec y))
  )
 )
)

　　我而後說，這裏其實能夠縮減一下(0 dec仍是0)

(define (sub x y) 
 (if (eq0 y) x 
  (sub (dec x) (dec y))
 )
)

　　作乘法的時候，遇到了困難，因而我就提醒了一下，其實x*y，y=0的時候爲0，y不爲0的時候,x*y=x*(y-1)+x，因此能夠這樣寫

(define (mul x y)
 (if (eq0 y) 0
  (add x (mul x (dec y)))
 )
)

　 他不可理解了，說add不是剛纔定義過的嗎，爲何如今就能夠用了？我頓時明白了他之因此爲難的緣由，因而解釋說，固然能夠用，咱們數學裏面不是爲了證實一個定理，不少時候先去證實一個引理嘛。他頓時理解了。

　　而後我接着說，若是不直接用也是能夠的，只是複雜一些。我用3*3來解釋這個問題，我須要記錄過程狀態：

　　3 3 0 0

　　3 2 3 0

　　3 2 2 1

　　3 2 1 2

　　3 2 0 3

　　3 1 3 3

　　3 1 2 4

　　3 1 1 5

　　3 1 0 6

　　3 0 3 6

　　3 0 2 7

　　3 0 1 8

　　3 0 1 9

　　左邊第一個是被乘數，第二個是乘數，第四個是累計的結果。

　　計算過程規則以下：

　　(1)最開始的時候，第三個數和第四個數都爲0。

　　(2)當第三個數爲0的時候，第三個數減1，第四個數加1。
　　(3)當第三個數爲0的時候，若是乘數不爲0，就借一個被乘數過來，而後乘數減1；若是乘數爲0，那麼第四個累計的結果就是乘積。

　　做爲函數式編程使用附加的值只能再加參數，因而有了這樣的計算方法：

(define (_mul x y x2 r)
 (if (eq0 x2)
  (if (eq0 y) r
   (_mul x (dec y) x r)
  )
  (_mul x y (dec x2) (inc r))
 )
)
(define (mul x y)
 (_mul x y 0 0)
)

　　他很驚訝於原來還能夠這麼幹，不過很快理解了個人作法，而後我又告訴他，由於這個_mul是爲了解決mul臨時定義出來的函數，如同證實中的引理，能夠寫到mul的定義裏面，寫成

(define (mul x y)
 (define (_mul x y x2 r)
  (if (eq0 x2)
   (if (eq0 y) r
    (_mul x (dec y) x r)
   )
   (_mul x y (dec x2) (inc r))
  )
 )
 (_mul x y 0 0)
)

　　接着，很快，他很快完成了乘方，

(define (pow x y)
 (if (eq0 y) 1
  (mul x (pow x (dec y)))
 )
)

　　嗯，還算能夠，至少會觸類旁通，只是0的任意次冪爲0，但0的0次冪嘛。。。算了，索性x不能等於0，算解決了。

　　除法（天然數內的除法這裏只考慮整數部分）也很快作完，

(define (div x y)
 (if (> y x) 0
  (inc (div (sub x y) y))
 )
)

　　我「嗯？」了一下，而後說我這裏只定義了一個謂詞eq0，並無定義>

　　而後我提醒他須要定義>，他搞不定了。

　　因而仍是得我來寫，

(define (> x y)
  (if (eq0  x) #f
   (if (eq0 y)
        #t
        (> (dec x) (dec y))
   )
  )
)

　　其實，也能夠用以前的減法定義>

(define (> x y) (if (eq0 (- x y)) #f #t))
 

 

　　接着，他完成了餘數和對數

(define (rem x y)
 (if (> y x) x
  (rem (sub x y) y)
 )
)
;這裏的對數，是實數下對數的整數部分
(define (log x y)
 (if (> y x) 0
  (inc (log (div x y) y))
 )
)

　　然而對數的實現稍有問題（固然，不考慮x,y爲0，y爲1的狀況），也不符合這個函數我想讓他寫成的樣子，不過我不得不說他寫對了，與其說是寫對了，倒不如說是蒙對了，由於這個的寫法是須要一個數學證實的（不要忘了，div返回的只是整數）。

　　證實在這裏我就不贅述了，我但願他完成的大體應該以下：

(define (log x y)
 (define (_log x y y^r r)
  (if (> y^r x) (dec r)
   (_log x y (mul y^r y) (inc r))
  )
 )
 (_log x y 1 0)
)

　　不過總體來講，我還算滿意，畢竟只學了一點點時間，能在指導下搞定這麼些，已經挺不錯。