【算法】遞歸

遞歸

• 遞歸實現的原理：
  一個遞歸函數的調用過程相似於多個函數的嵌套的調用，只不過調用函數和被調用函數是同一個函數。爲了保證遞歸函數的正確執行，系統需設立一個工做棧。具體地說，遞歸調用的內部執行過程以下：
  1. 運動開始時，首先爲遞歸調用創建一個工做棧，其結構包括值參、局部變量和返回地址；
  2. 每次執行遞歸調用以前，把遞歸函數的值參、局部變量的當前值以及調用後的返回地址壓棧；
  3. 每次遞歸調用結束後，將棧頂元素出棧，使相應的值參和局部變量恢復爲調用前的值，而後轉向返回地址指定的位置繼續執行。
• 注意：在咱們瞭解了遞歸的基本思想及其數學模型以後，咱們如何才能寫出一個漂亮的遞歸程序呢？我認爲主要是把握好以下三個方面：
  1. 明確遞歸函數的做用；
  2. 明確遞歸終止條件與對應的解決辦法；
  3. 找出函數的等價關係式，提取重複的邏輯縮小問題規模。
• 遞歸三步走：
  • 明確函數功能：要清楚你寫這個函數是想要作什麼；
  • 尋找遞歸出口：遞歸必定要有結束條件，否則會永遠遞歸下去，禁止套娃；
  • 找出遞推關係：開始實現遞歸，一步一步遞推出最終結果。

明確函數功能

第一步，明確這個函數的功能是什麼，它要完成什麼樣的一件事。
而這個功能，是徹底由你本身來定義的。也就是說，咱們先無論函數裏面的代碼是什麼、怎麼寫，而首先要明白，你這個函數是要用來幹什麼的。

例如，求解任意一個數的階乘：
要作出這個題，
第一步，要明確即將要寫出的這個函數的功能爲：算n的階乘。

//算n的階乘（假設n不爲0）
int f(int n) {
    
}

尋找遞歸出口（初始條件）

遞歸：就是在函數實現的內部代碼中，調用這個函數自己。因此，咱們必需要找出遞歸的結束條件，否則的話，會一直調用本身，一直套娃，直到內存充滿。

• 必須有一個明確的結束條件。由於遞歸就是有「遞」有「歸」，因此必須又有一個明確的點，到了這個點，就不用「遞下去」，而是開始「歸來」。

第二步，咱們須要找出當參數爲什麼值時，遞歸結束，以後直接把結果返回。
（通常爲初始條件，而後從初始條件一步一步擴充到最終結果）

注意：這個時候咱們必須能根據這個參數的值，可以直接知道函數的結果是什麼。

讓咱們繼續完善上面那個階乘函數。
第二步，尋找遞歸出口：
當n=1時，咱們可以直接知道f(1)=1；
那麼遞歸出口就是n=1時函數返回1。
以下：

//算n的階乘（假設n不爲0）
int f(int n) {
    if(n == 1) {
        return 1;
    }
}

固然，當n=2時，咱們也是知道f(2)等於多少的，n=2也能夠做爲遞歸出口。遞歸出口可能並不惟一的。

找出遞推關係

第三步，咱們要從初始條件一步一步遞推到最終結果。（能夠類比數學概括法，多米諾骨牌）

• 初始條件：f(1) = 1
• 遞推關係式：f(n) = f(n-1)*n

這樣就能夠從n=1，一步一步推到n=2，n=3...

// 算n的階乘（假設n不爲0）
int f(int n) {
    if(n = 1) {
        return n;
    }
    // 把f(n)的遞推關係寫進去
    return f(n-1) * n;
}

到這裏，遞歸三步走就完成了，那麼這個遞歸函數的功能咱們也就實現了。
可能初學的讀者會感受很奇妙，這就能算出階乘了？

那麼，咱們來一步一步推一下。
f(1)=1
f(2)=f(1)*2=2
f(3)=f(2)*3=2*3=6
...
你看看是否是解決了，n都能遞推出來！

例題

斐波那契數列

斐波那契數列的是這樣一個數列：一、一、二、三、五、八、1三、2一、34....，即第一項 f(1) = 1,第二項 f(2) = 1.....,第 n 項目爲 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 項的值是多少。

• 明確函數功能：f(n)爲求第n項的值

  // 1.f(n)爲求第n項的值
  int f(int n) {
  
  }

• 尋找遞歸出口：f(1)=1,f(2)=1

  // 1.f(n)爲求第n項的值
  int f(int n) {
      // 2.遞歸出口
      if(n <= 2) {
          return 1;
      }
  }

• 找出遞推關係：f(n) = f(n-1)+f(n-2)

  // 1.f(n)爲求第n項的值
  int f(int n) {
      // 2.遞歸出口
      if(n <= 2) {
          return 1;
      }
      // 3.遞推關係
      return f(n-1) + f(n-2);
  }

小青蛙跳臺階

一隻青蛙一次能夠跳上1級臺階，也能夠跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。

• 明確函數功能：f(n)爲青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法

  int f(int n) {
  
  }

• 尋找遞歸出口：f(0)=0,f(1)=1

  int f(int n) {
      // 遞歸出口
      if(n <= 1) {
          return n;
      }
  }

• 找出遞推關係：f(n) = f(n-1)+f(n-2)

  int f(int n) {
      // 遞歸出口
      if(n <= 2) {
          return 1;
      }
      // 遞推關係
      return f(n-1) + f(n-2);
  }

遞歸優化思路

自頂向下

上面說了那麼多，都是自底向上的
（我比較習慣自底向上，由於比較符合數學概括法，順着推）

例如，階乘能夠理解爲f(n)一步一步分解爲f(n-1)...直到f(1)，一步步化小，這樣也是能夠的。

重複計算

其實遞歸當中有不少子問題被重複計算。

對於斐波那契數列，f(n) = f(n-1)+f(n-2)。
遞歸調用的狀態圖以下：

其中，遞歸計算時f(6)、f(5)...都被重複了不少次，這是極大的浪費，當n越大，因重複計算浪費的就越多，因此咱們必需要進行優化。

• 優化思路：
  • 創建一個數組，將子問題的計算結果保存起來。
  • 判斷以前是否計算過：
    • 計算過，取出來用
    • 沒有計算過，再遞歸計算
• 實例：
  • 把n做爲數組下標，f(n)做爲值。
    例如arr[n] = f(n)。
  • f(n)尚未計算過的時候，咱們讓arr[n]等於一個特殊值。
    例如arr[n] = -1。
  • 當咱們要判斷的時候，
    • 若是 arr[n] = -1，則證實f(n)沒有計算過；
    • 不然，f(n)就已經計算過了，且f(n) = arr[n]。
      直接把值取出來用就好了。

代碼以下：

// 咱們實現假定 arr 數組已經初始化好的了。
int f(int n) {
    if(n <= 1) {
        return n;
    }
    //先判斷有沒計算過
    if(arr[n] != -1) {
        //計算過，直接返回
        return arr[n];
    }else {
        // 沒有計算過，遞歸計算,而且把結果保存到 arr數組裏
        arr[n] = f(n-1) + f(n-1);
        reutrn arr[n];
    }
}