算法導論讀書筆記（9）

算法導論讀書筆記（9）

目錄

• 選擇問題
  • 最小值和最大值
• 隨機選擇算法
• 最壞狀況線性時間的選擇

選擇問題

在一個由 n 個元素組成的集合中，第 i 個 順序統計量 （order statistic）是該集合中第 i 小的元素。例如，在一組元素所組成的集合中， 最小值 是第 1 個順序統計量（ i = 1 ）， 最大值 是第 n 個順序統計量（ i = n ）。而 中位數 （median）是它所在集合的「中點元素」。像這樣從一個由 n 個不一樣數值構成的集合中選擇其第 i 個順序統計量的問題，能夠形式化地定義爲 選擇問題 （selection problem）：

輸入： 一個包含 n 個（不一樣的）數的集合 A 和一個數 i ，1 <= i <= n 。
輸出： 元素 x ∈ A ，它剛好大於 A 中其餘的 i - 1個元素。

最小值和最大值

MINIMUM(A)
1 min = A[1]
2 for i = 2 to A.length
3     if min > A[i]
4         min = A[i]
5 return min

MAXIMUM(A)
1 max = A[1]
2 for i = 2 to A.length
3     if max < A[i]
4         max = A[i]
5 reutrn max

對於上面兩個過程來講，只要比較 n - 1次就能找出最大值/最小值。

隨機選擇算法

通常選擇問題看起來要比找最小值的簡單選擇問題更難，但兩種問題的漸近運行時間倒是相同的：都是 Θ ( n )。這裏介紹一種解決選擇問題的分治算法，即 RANDOMIZED-SELECT 算法。該算法利用了以前介紹的 RANDOMIZED-PARTITION 過程。

RANDOMIZED-SELECT(A, p, r, i)
1  if p == r
2      return A[p]
3  q = RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r)
4  k = q - p + 1
5  if i == k    // the pivot value is the answer
6      return A[k]
7  elseif i < k
8      return RANDOMIZED-SELECT(A, p, q - 1, i)
9  else
10     return RANDOMIZED-SELECT(A, q + 1, r, i - k)

隨機選擇算法的最壞狀況運行時間爲 Θ ( n² )。

最壞狀況線性時間的選擇

如今來看一個最壞狀況運行時間爲 Θ ( n )的選擇算法 SELECT 。像 RANDOMIZED-SELECT 同樣， SELECT 經過對輸入數組的遞歸劃分來找出所求元素。可是，該算法的基本思想是要保證對數組的劃分是個好的劃分。 SELECT 採用了取自快速排序的肯定性劃分算法 PARTITION ，並作了修改，把劃分主元元素做爲其參數。

算法 SELECT 經過執行下列步驟來肯定一個有 n > 1個元素的輸入數組中的第 i 小的元素。

1. 將輸入數組的 n 個元素劃分紅 FLOOR(n / 5) 組，每組5個元素，且至多隻有一個組由剩下的 n mod 5個元素組成。
2. 尋找 CEIL(n / 5) 個組中每一組的中位數。首先對每組中的元素（至多爲5個）進行插入排序，而後從排序過的序列中選出中位數。
3. 對第 2 步中找出的 CEIL(n / 5) 箇中位數，遞歸調用 SELECT 以找出其中位數 x 。
4. 利用修改過的 PARTITION 過程，按中位數的中位數 x 對輸入數組進行劃分。讓 k 比劃分低區的元素數目多1，因此 x 是第 k 小的元素，而且有 n - k 個元素在劃分的高區。
5. 若是 i = k ，則返回 x 。不然，若是 i < k ，則在低區遞歸調用 SELECT 以找出第 i 小的元素，若是 i > k ，則在高區找出第 i - k 個最小元素。