數據結構：樹

1.樹定義

　　專業定義:

　　　　1.有且只有一個稱爲根的結點

　　　　2.有若干個互不相關的子樹，這些子樹自己也是一棵樹

　　通俗定義

　　　　1.樹是由結點和邊組成

　　　　2.每個結點只有一個父節點，但能夠有多個子節點

　　　　3.但有一個結點例外，該節點沒有父節點，此結點稱爲根結點

　　專業術語

　　　　結點  父節點  子節點  子孫  堂兄弟

　　　　深度：

　　　　　　從根結點到最底層結點的層數稱之爲深度

　　　　　　根結點是第一層

　　　　葉子結點：

　　　　　　沒有子結點的結點

　　　　非終端結點：

　　　　　　實際就是非葉子結點

　　　　度：

　　　　　　子結點的個數稱爲度

2.樹分類

　　通常樹

　　　　任意一個結點的子結點的個數都不受限制

　　二叉樹

　　　　任意一個結點的子結點個數最多兩個，且子結點的位置不可更改（序號）

　　　　分類：

　　　　　　通常二叉樹

　　　　　　滿二叉樹

　　　　　　　　在不增長樹的層數的前提下，沒法添加一個結點的二叉樹就是滿二叉樹

　　　　　　　　一個結點的二叉樹就是滿二叉樹

　　　　　　徹底二叉樹（必須是滿的而後再砍）

　　　　　　　　若是隻是刪除了滿二叉樹最底層最右邊的連續若干個結點

　　　　　　　　這樣造成的二叉樹就是徹底二叉樹

　　　　　　　　(滿二叉樹是徹底二叉樹的特例，就是一個不刪)

　　　　　　森林

　　　　　　　　n個互不相交的樹的集合

 

　　紅的是通常二叉樹

　　藍的是補充爲 滿二叉樹

　　黃色的是砍除部分，稱爲徹底二叉樹

3.樹的存儲

　　（1）二叉樹的存儲

　　　　連續存儲【徹底二叉樹】（根據序號和算法等）

 　　　　　　優勢：

　　　　　　　　查找某個結點的父結點和子結點（也包括判斷有沒有子節點）速度很快

　　　　　　缺點：　　

　　　　　　　　耗用內存空間過大

　　　　鏈式存儲（根據指針域指向來存儲）

 

　　（2）通常樹的存儲

　　　　雙親表示法

　　　　　　求父節點方便

　　　　　　（經過結構體數組或類來存儲子節點數據以及父節點的下標）

　　　　孩子表示法

　　　　　　求子節點方便

　　　　　　（經過鏈表來存儲子節點）

　　　　雙親孩子表示法

　　　　　　求父節點和子節點都很方便

　　　　　　（結合前兩種，操做比較複雜）

　　　　二叉樹表示法

 　　　　　　把一個普通樹轉化成二叉樹來存儲

　　　　　　　具體轉換方法：

　　　　　　　　　　設法保證任意一個結點的

　　　　　　　　　　　　左指針域指向第一個孩子

　　　　　　　　　　　　右指針域指向它的兄弟

　　　　　　　只要知足就能夠把一個普通樹轉化成二叉樹 

　　　　　　    一個普通樹轉化成二叉樹必定沒有右子樹

　　　　　　　　　　

　　（3）森林的存儲

　　　　相似於通常樹的二叉樹表示法

 

　　

4.二叉樹操做

　　遍歷

　　　　先序遍歷【先訪問根結點】

　　　　　　先訪問根結點

　　　　　　再先序訪問左子樹

　　　　　　再先序訪問右子樹

　　　　中序遍歷【中間訪問根結點】

　　　　　　中序遍歷左子樹

　　　　　　再訪問根結點

　　　　　　再中序遍歷右子樹

　　　　後序遍歷【最後訪問根結點】

　　　　　　中序遍歷左子樹

　　　　　　中序遍歷右子樹

　　　　　　再訪問根結點 

　　已知兩種遍歷序列求原始二叉樹

　　　　　　經過先序和中序，或者中序和後序能夠還原出原始二叉樹

　　　　　　可是經過先序和後序沒法還原出原始的二叉樹

　　　　　　先序和中序：經過先序第一個來判斷根結點，以後找到中序的那個根結點後，截斷左

　　　　　　　　　　　　邊，再找先序中根結點後下一個字母，截斷該字母左和右

　　　　　　中序和後序：經過後序第一個來判斷根結點，操做與先序只是從後開始的區別

5.應用

　　樹是數據庫中數據組織的一種重要形式

　　操做系統子父系統的關係自己就是一棵樹

　　面嚮對象語言中類的繼承關係

 

　　赫夫曼樹

　　　（1）術語

　　　　結點的路徑長度：從根結點到該結點的路徑上的鏈接數

　　　　樹的路徑長度：樹中每一個葉子結點的路徑長度之和

　　　　結點帶權路徑長度：結點的路徑長度與結點權值的累加

　　　　樹的帶權路徑長度：WPL 樹的全部葉子結點的帶權路徑長度之和

　　　（2）舉例

　　　　

 

　　　　　　　　　　　　　左邊　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　右邊

　　　　結點的路徑長度：　A:1 B:2 C:3 D:3　　　　　　　　　　　　　　　 A:3 B:3 C:2 D:1

　　　　樹的路徑長度：　　1+2+3+3=9　　　　　　　　　　　　　　　　　1+2+3+3=9

　　　　結點帶權路徑長度：A:1*5=5 B:2*15=30 C:3*70=210   D:3*10=30        A:15 B:45 C:140   D:10

　　　　樹的帶權路徑長度：275　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　210

　　　　左邊的WLP大於右邊，因此右邊效率更好（WLP越小二叉樹性能越高效）