「SOL」屠龍勇士(LOJ)

寫題解看成複習筆記
（這樣就能夠少寫一篇博客了 Yeah）

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# 題面

> Link LOJ 2721

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# exCRT

「問題」

求解線性同餘方程組

$$ \begin{cases} x\equiv a_1\pmod{m_1}\\ x\equiv a_2\pmod{m_2}\\ \cdots\\ x\equiv a_n\pmod{m_n} \end{cases} $$

$m$ 能夠不互質。

考慮等價地合併兩個同餘方程：

\[\begin{cases} x\equiv a_1\pmod{m_1}\\ x\equiv a_2\pmod{m_2} \end{cases} \]

能夠把同餘方程寫爲不定方程的形式，因而獲得參數的一些關係：

\[x=k_1m_1+a_1=k_2m_2+a_2 \]

因爲 \(m_1,m_2\) 不必定互質，因此關於 \(k_1,k_2\) 的不定方程不必定有解。具體地說，設 \((m_1,m_2)=g\)，則

\[k_1m_1-k_2m_2=a_2-a_1 \]

等式左側 \(g\mid k_1m_1-k_2m_2\)，則右側也必須知足 \(g\mid a_2-a_1\)，不然無解。

若知足上述條件，則等式兩邊同時除以 \(g\) 仍然等價，即

\[\begin{array}{c} m_1'=\tfrac{m_1}{g},m_2'=\tfrac{m_2}{g},t=\tfrac{a_2-a_1}{g}\\ k_1m_1'-k_2m_2'=t \end{array} \]

此時 \((m_1',m_2')=1\)，能夠直接用 exGCD 解決上述問題，獲得 \(k_1\) 的一個特解爲 \(k_0\)。由

\[k_1m_1'-k_2m_2'=(k_1+m_2')m_1'-(k_2+m_1')m_2' \]

能夠知道 \(k_1\) 的通解爲 \(k_1=k_0+nm_2'(n\in\mathbb{Z})\)。

將 \(k_1\) 代回 \(x\) 的表達式，則有

\[\begin{array}{c} x=k_0m_1+a_1+nm_1m_2'\\ x\equiv k_0m_1+a_1\pmod{m_1m_2'} \end{array} \]

因而就獲得了兩個式子合併後的等價的式子。這樣不斷合併就能夠獲得最終 \(x\) 的通解。

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# 解析

一開始能夠根據輸入求出「用哪一把劍攻擊第 \(i\) 條龍」，記爲 \(w_i\)。具體能夠用 multiset 實現。

點擊展開/摺疊multiset使用技巧

multiset 內部每一個位置儲存了一個元素（並非把相同的元素合到同一個位置而且記錄次數），所以用迭代器 iterator 訪問其中的某個位置，訪問到的是單個元素。若是按迭代器順序訪問 multiset，就至關於把插入的全部元素排了個序。

multiset 內置有 lower_bound 和 upper_bound 函數，前者返回第一個大於等於給定值的元素的迭代器，後者返回第一個嚴格大於給定值的元素的迭代器。

multiset 的 delete 函數有兩類參數。第一類是給定數值，會刪除其中全部該數值；第二類是給定迭代器，會刪除迭代器對應的元素——這樣就只會刪掉一個數字。

利用這些特色，咱們能夠用 upper_bound 找到第一把攻擊力大於龍的生命值的劍，而上一把劍就是攻擊力小於等於生命值的劍。而後用 delete 刪除該劍的迭代器（不能是數值！）。

記龍的生命爲 \(h_i\)，回覆力爲 \(r_i\)，則有兩個限制：

• 攻擊後龍的生命模 \(r_i\) 餘 \(0\)；
• 攻擊後，龍的生命小於等於 \(0\)。

問題直接轉化爲 \(n\) 對方程構成的方程組

\[\begin{cases} w_ix\equiv h_i\pmod{r_i}\\ w_ix\ge h_i \end{cases} \]

不等式方程能夠求出 \(x\) 的下界。考慮如何求解同餘方程。

\(w_i,r_i\) 不必定互質，因而可能自己就無解。記 \((w_i,r_i)=g_i\)，則必須知足 \(g_i\mid h_i\)，方程纔有解。

知足有解的條件後，\(w_i,h_i,r_i\) 同時除以 \(g_i\)，獲得等價的方程 \(w_i'x=h_i'\pmod {r_i'}\)，此時 \((w_i',r_i')=1\)，\(w_i'\) 存在逆元，因而能夠獲得

\[x\equiv (w_i')^{-1}h_i'\pmod{r_i'} \]

這個方程就能夠用 exCRT 了。

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# 源代碼

點擊展開/摺疊代碼

/*Lucky_Glass*/
#include<set>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

template<class T>T rin(T &r){
	int b=1,c=getchar();r=0;
	while(c<'0' || '9'<c) b=c=='-'?-1:b,c=getchar();
	while('0'<=c && c<='9') r=(r<<1)+(r<<3)+(c^'0'),c=getchar();
	return r*=b;
}
typedef long long llong;
const int N=1e5+10;
#define con(type) const type &

multiset<llong> sword;
int n,m;
llong ih[N],rec[N],rew[N],atk[N];

llong ina_GCD(con(llong)a,con(llong)b){return b?ina_GCD(b,a%b):a;}
llong ex_GCD(con(llong)a,con(llong)b,llong &x,llong &y){
	if(!b){x=1,y=0;return a;}
	llong ret=ex_GCD(b,a%b,x,y);
	swap(x,y);
	y-=a/b*x;
	return ret;
}
llong ina_ABS(con(llong)a){return a<0?-a:a;}
llong mul(llong a,llong b,llong mod){
	bool neg=(a<0)^(b<0);
	a=ina_ABS(a),b=ina_ABS(b);
	a%=mod,b%=mod;
	llong ret=0;
	while(b){
		if(b&1) ret=(ret+a)>=mod? ret+a-mod:ret+a;
		a<<=1,b>>=1;
		if(a>=mod) a-=mod;
	}
	if(neg && ret) return mod-ret;
	return ret;
}
pair<llong,llong> comb_CRT(con(llong)m0,con(llong)r0,con(llong)m1,con(llong)r1){
	llong g=ina_GCD(m0,m1);
	if((r1-r0)%g){
		// printf("(%lld,%lld)=%lld %lld %lld\n",m0,m1,g,r1,r0);
		return make_pair(-1ll,-1ll);
	}
	llong p,q;
	ex_GCD(m0/g,m1/g,p,q);
	p=mul((r1-r0)/g,p,m1/g);
	llong m2=m0/g*m1,r2=(mul(p,m0,m2)+r0)%m2;
	if(r2<0) r2+=m2;
	return make_pair(m2,r2);
}
llong solve(){
	sword.clear();
	rin(n),rin(m);
	for(int i=1;i<=n;i++) rin(ih[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) rin(rec[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) rin(rew[i]);
	for(int i=1,tmp;i<=m;i++) sword.insert(rin(tmp));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		multiset<llong>::iterator it=sword.upper_bound(ih[i]);
		if(it!=sword.begin()) it--;
		atk[i]=*it;
		sword.erase(it);
		sword.insert(rew[i]);
	}
	llong mnbon=0;
	pair<llong,llong> now(-1ll,-1ll);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		mnbon=max(mnbon,(ih[i]+atk[i]-1)/atk[i]);
		llong k=atk[i],r=ih[i],m=rec[i];
		// printf("%lld x = %lld (mod %lld) -> ",k,r,m);
		//kx = r (mod m)
		k%=m,r%=m;
		if(!k){
			if(r){
				// printf("A\n");
				return -1ll;
			}
			continue;
		}
		llong g=ina_GCD(k,m);
		if(r%g){
			// printf("B\n");
			return -1ll;
		}
		k/=g,m/=g,r/=g;
		llong invk,non;
		ex_GCD(k,m,invk,non);
		invk=(invk%m+m)%m;
		r=mul(r,invk,m);
		// printf("x = %lld (mod %lld)\n",r,m);
		pair<llong,llong> tmp(m,r);
		if(i==1) now=tmp;
		else now=comb_CRT(now.first,now.second,tmp.first,tmp.second);
		if(now.first==-1){
			// printf("C\n");
			return -1ll;
		}
	}
	if(now.first==-1) return mnbon;
	if(now.second>=mnbon) return now.second;
	else{
		llong k=(mnbon-now.second+now.first-1)/now.first;
		return now.second+k*now.first;
	}
}
int main(){
	// freopen("input.in","r",stdin);
	freopen("dragon.in","r",stdin);
	freopen("dragon.out","w",stdout);
	int cas;rin(cas);
	while(cas--) printf("%lld\n",solve());
	return 0;
}

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THE END

Thanks for reading!

祈願在風中漸漸冷冽
那一刻她眼底有華光泯滅
海潮呼嘯着哽咽
想把不捨宣泄
全部分別都太決絕
回憶都太熾烈
最後一面何處去借

——《流光幻夜》By 司夏

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