圖解：如何實現最小生成樹（Prim算法與Kruskal算法）

這是圖算法的第四篇文章 圖解：如何實現最小生成樹

文章目錄：

• 1.概念和性質
• 2.思路探索
• 3.Kruskal算法
• 4.Prim算法
• 5.代碼實現

1.概念和性質

今天咱們考慮的模型是加權無向圖，問題是如何獲取它的一幅最小生成樹！首先，咱們給出最小生成樹的定義：

圖的生成樹是它的一棵含有其全部頂點的無環連通子圖。一幅加權圖的最小生成樹（MST）是它的一棵權值（樹中全部邊的權值之和）最小的生成樹。

如圖所示：

首先，咱們給出一些約定來簡化問題（這並不會影響咱們理解問題）

• 只考慮連通圖（若是不連通的話是不存在最小生成樹的）
• 邊的權重多是0或者負數
• 全部邊的權重各不相同（咱們給出這個假設以後對於一幅圖來講只存在惟一的最小生成樹，這樣方便咱們理解，可是若是把這個限制條件去掉，咱們以前獲得的算法依然有效😎）

簡而言之，咱們的討論對象是一幅權重各不相同的加權無向圖，任務是求最小生成樹的每條邊。接下來，咱們一塊兒思考如何實現這個算法！

2.思路探索

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1）咱們的任務是求得最小生成樹的每條邊，也就是我只要肯定了這些邊，天然而然也就惟一肯定了最小生成樹；那麼，一棵最小生成樹有多少條邊呢？咱們先來回顧一下樹的兩個性質：

• 用一條邊鏈接樹中的任意兩個頂點都會產生一個新的環
• 從樹中刪去一條邊將會獲得兩棵獨立的樹

由於一共有V個頂點，生成樹的邊剛好鏈接全部頂點（很少很多），因此生成樹一定有V-1條邊。好了，恭喜你！🙃到這裏咱們已經前進了一小步！

2）接下來，我說一句話你看是否是對的：

只要找到屬於最小生成樹的V-1條邊（不管什麼手段），也就解決了這個問題

你確定會說，這不是顯然的嗎？對！但這個是咱們向前走的基本思想。記牢了🤓

3）接下來，咱們就要尋找一種條件，只要一條邊知足這個條件，那麼咱們就可以斷言這條邊確定在最小生成樹中。一旦存在，咱們就能夠經過創造這種條件找到屬於最小生成樹的邊，將它標記；反覆創造上述條件，就能夠反覆地標記邊；直到咱們標記了V-1條邊！ 你是否是驚奇地發現：咱們已經成功地解決了這個問題！

4）咱們的任務變成了如何尋找與製造這種條件。站在巨人的肩膀上，咱們只須要理解就好了😂。這個條件，咱們稱之爲切分定理。

6）咱們隨意將一幅加權圖分爲兩個非空的集合，橫跨兩個集合的一條邊被稱爲橫切邊。而橫切邊中最短的那個一定屬於最小生成樹！ 如圖所示：

全部的灰色頂點是一個集合，全部的白色頂點是另一個集合，橫跨兩個集合的全部的邊稱爲橫切邊（用紅色標出）；其中權重最小的橫切邊一定屬於最小生成樹！

這個定理其實很容易想明白，由於這兩個集合之間必需要存在且只能存在一條邊；若是存在的不是這條最短橫切邊，那它就不是最小生成樹了！請注意一條很重要的性質：這種劃分是任意的！
——————咱們隨便怎麼劃分都無所謂！這就爲處理問題帶來了很強的靈活性！

7）咱們隨後介紹一種通用的算法思想：貪心算法（其實咱們在前文已經接觸過）。

使用切分定理找到最小生成樹的一條邊，不斷重複直到找到最小生成樹的全部邊（V-1條便可）

這是一幅貪心算法的執行過程，每次都是將全部頂點分紅兩個集合（注意：這是任意的！！），而後取最小的橫切邊加入最小生成樹。如此反覆，最終就達到了咱們的目的！

8）接下來再日後，咱們將真正地實現這種算法，而不是隻停留在思想上（talk is cheap，show me the code！😍）

• Kruskal算法
• Prim算法地兩種形式

3.Kruskal算法

1）咱們接着剛纔的思路繼續，咱們面臨着兩個問題：切分與找到最小橫切邊；對於切分，因爲是隨意的，因此仍是很容易實現的；另外一個問題：怎樣很天然地找到最小的橫切邊呢？

2）一個比較容易想到的解決方案是：

按照邊的權重順序（從小到大）處理他們；
首先，將最小的邊加入最小生成樹，而後從小到大依次加入邊，（注意：待加入的邊不能和已經加入的邊構成環）；一直重複上述過程直到樹中含有V-1條邊爲止

3）如今咱們仔細思考一下這個方法。只要待加入的邊和已經加入的邊沒有構成環，就說明這條邊是一條橫切邊，同時，得益於咱們加入的順序（從小到大），咱們能夠肯定這條待加入的邊是最小橫切邊，那麼它必定屬於最小生成樹，將它加入也就沒有什麼毛病了。來看一下下面的過程：

咱們在實現的時候使用了一條優先隊列來將邊按照權重排序；用前幾篇文章中實現的判斷無向圖連通性的類判斷是否連通；用一條隊列來保存最小生成樹的全部邊；就能夠很容易實現Kruskal算法。

4.Prim算法

Prim算法的思想與Kruskal算法乍一看有所不一樣，可是最終你會發現，只是在尋找最小權重的橫切邊這裏使用了不一樣的 策略罷了。

1）咱們考慮這樣一種方案：維護一棵生長中的樹

• 初始化：將一個頂點（隨意，記爲A）添加到最小生成樹中
• 找到與最小生成樹相連的權重最小的一條邊（一個頂點在樹中，一個頂點不在），並將這條邊和相應的頂點加入到最小生成樹中
• 重複上述操做，直到全部頂點都被添加

2）這個過程比Kruskal更加簡明——————與最小生成樹相連的權重最小的一條邊；咱們把已經在樹中的點記爲集合A，全部沒有在樹中的頂點記爲集合B，顯然咱們選擇的那條邊就是最小橫切邊！

3）雖然過程比較簡明，可是實現的代碼卻不簡單，咱們須要：

• 頂點。使用一個由頂點索引的布爾數組 marked[]，若是頂點 v 在樹中，那麼 marked[v] 的值爲true
• 邊。使用一條隊列mst來保存最小生成樹中的邊
• 橫切邊：使用一條優先隊列 MinPQ<Edge> 來根據權重比較全部邊

具體的操做過程以下：

4）到這兒，咱們已經實現了Prim算法，它被稱爲 Prim算法的延時實現 ；可是，還有能夠改進的地方，咱們能夠經過一些改進————刪除一些冗餘的信息，從而獲得Prim算法的即時實現。

5）可是，在這篇文章中，咱們就不加以介紹了；它的思想和延時實現一致，目標一樣是找到與最小生成樹相連的權重最小的一條邊，只不過實現方法更加靈活罷了！

5.代碼實現

此次和往常不一樣，我並無在文章中間摻雜算法的具體實現，個人想法是把它真正的思路講明白（但願我講的沒有讓你失望🤔）；可是，代碼仍是要有的，我將它們放在了這裏，具體來講書籍算法4上面都有！！

• 如何實現一個加權邊
• 如何實現加權無向圖
• Kruskal算法的實現
• Prim算法的實現

如何實現一個加權邊

如何實現加權無向圖

Kruskal算法的實現

Prim算法的實現（兩張圖片）

6.後記

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本文參考：《算法》（第四版），圖片來源於此