union-find算法分析(2)

2.3.weighted-quick-union——加權quick-union算法

上篇的quick-union算法的效率之因此低(平方級別)，最主要的緣由是union(p,q)方法，隨意將一棵樹鏈接到另外一棵樹上(一棵樹對應一個連通份量)。

1.若是是小樹(高度低)鏈接到大樹的根節點(高度高)，則小樹的高度加1，而整個樹的高度不變。

2.若是是大樹(高度高)鏈接到小樹的根節點(高度低)，則大樹的高度加1，而整個樹的高度由原來的小樹高度變成大樹高度加1。

根據quick-union算法分析，find(p)訪問的數組的次數與節點p所在的高度有關。高度越高，訪問數組的次數越多。

因而可知，爲了減小訪問數組的次數，提升算法效率，在執行union(p,q)操做時，確保是狀況1，即小樹鏈接到大樹上。爲此，須要一個數組sz[]來記錄觸點p所在的連通份量含有的觸點(觸點越多，對應的樹的節點越多，即爲大樹)。

3.固然還有一種特殊狀況，即p和q所在的連通份量對應的樹高度相等，此時不管是p鏈接到q仍是q鏈接到p，樹的高度都會增長。在加權quick-union算法中，這是最壞的狀況。

所以，由加權quick-union構成的樹的高度將遠小於未加權所構造的樹的高度。

   1: public class WeightedQuickUnionUF extends QuickUnionUF {

   2:  

   3:     /**

   4:      * sz[p]表示觸點p所在的連通份量所含的觸點數

   5:      */

   6:     private int[] sz;

   7:  

   8:     public WeightedQuickUnionUF(int N) {

   9:         super(N);

  10:         // TODO Auto-generated constructor stub

  11:         sz = new int[N];

  12:         for (int i = 0; i < N; i++)

  13:             sz[i] = 1;// 初始化時，每一個觸點都是一個連通份量

  14:     }

  15:  

  16:  

  17:     @Override

  18:     public void union(int p, int q) {

  19:         // TODO Auto-generated method stub

  20:         int pRoot = find(p);

  21:         int qRoot = find(q);

  22:         

  23:         if(pRoot == qRoot)

  24:             return;

  25:         

  26:         if(sz[pRoot] < sz[qRoot]){//當觸點p所在的連通份量對應的樹是小樹，則鏈接到q的連通份量上去

  27:             id[pRoot] = qRoot;

  28:             sz[qRoot] += sz[pRoot];//不要忘了，被鏈接的樹包含的節點數要相應的增長

  29:         }else{//當觸點p所在的連通份量對應的樹是大樹，則q所在的連通份量鏈接到p的連通份量上去

  30:             id[qRoot] = pRoot;

  31:             sz[pRoot] += sz[qRoot];

  32:         }

  33:         

  34:         count -- ;

  35:     }

  36:     

  37:     public static void main(String[] args) {

  38:         DirectInput.directInput(args);

  39:         int N = StdIn.readInt();

  40:         UF uf = new WeightedQuickUnionUF(N);

  41:         for(int i=0;i<N;i++){

  42:             int p = StdIn.readInt();

  43:             int q = StdIn.readInt();

  44:             

  45:             if(uf.connected(p, q)) continue;

  46:             

  47:             uf.union(p, q);

  48:             StdOut.println(p + " " + q);

  49:         }

  50:         StdOut.println(uf.count() + " components");

  51:     }

  52:  

  53: }

 

測試結果

算法分析

1.最壞的狀況：將要被歸併的樹的大小老是相等的(且老是2^n)。每一個樹均是含有2^n節點的滿二叉樹，所以高度正好是n。當歸並兩個含有2^n節點的樹時，獲得含有2^(n+1)個節點的書，由此樹的高度增長到n+1。由此可知，加權quick-union算法是對數級別的。即對於N個觸點所構成的樹最高的高度爲lgN。

2.狀況1的最壞的狀況是怎麼得來的？

簡單的分析可知，加權quick-union算法不可能會獲得線性表(未加權的quick-union會產生退化成線性表的樹)。所以，每層的節點越多，樹的高度就越小。最壞的狀況就是滿二叉樹。

3.加權quick-union算法處理N個觸點，M條鏈接時最多訪問數組cMlgN次。(c爲常數。每處理一條鏈接，調用一次union(p,q)方法。而union(p,q)是lgN級別的。lg[height(p)] + lg[height(q)] + 5 = clgN，M次即爲cMlgN)。而quick-find算法以及某些狀況下未加權的quick-union算法至少訪問數組MN次。