微分幾何在機器人領域的應用（一）

 微分幾何在機器人領域的應用（一）

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 微分幾何基礎

微分幾何是現代數學領域中的重要分支，在理論探索和實際應用中都是重要學科。大名鼎鼎的高斯、歐拉是微分幾何學派的建立者（是否記得多少公式和定理以這兩人的名字命名）。20世紀是微分幾何發展迅猛的100年，中國的數學家也作出太重要貢獻，如陳省身、邱成桐（菲爾茲獎得主）。在計算機領域，微分幾何是計算機圖形學的基礎，逼真酷炫的電腦遊戲、電影特效等，都是在微分幾何基礎上的產業化。在機器人領域，核心控制系統須要合適的傳感器（如相機）獲取信息，並理解環境信息，屬於計算機視覺的範疇；如需完成複雜動做，如抓取、放置等操做，則須要理解物體的幾何信息，須要用幾何特徵描述來決策機器人要執行的動做。

完成機器人抓取須要以下兩個過程：

• 識別過程，屬於視覺和深度學習的範疇，在此再也不贅述。

• 獲取物體的三維空間描述，微分幾何。

三維空間中的物體有哪些特徵呢？

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 曲率

爲理解曲率，首先回到二維平面。什麼是曲率？簡答說來，是幾何體的不平坦程度。平面曲線的曲率定義爲其密切圓的倒數。採用微分的定義，密切圓在很小的範圍內同曲線重合。故平面中的圓全部點曲率一直，爲半徑的倒數，密切圓爲其自己。直線曲率到處爲0，因其密切圓半徑無窮大。

 

 

 

曲線的密切圓和密切圓半徑。曲率爲半徑的倒數。

 

三維空間中可用曲率描述曲面。包括兩個主曲率、高斯曲率、平局曲率等。點的主曲率是經過此點曲線最大和最小曲率。高斯曲率爲兩個曲率之積，平均曲率則是兩個主曲率之平均。

一些特殊狀況，如負曲率，如馬鞍型，常見使用：冷卻塔，廣州塔。

 

 

 

 

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二次曲線（Conics）和二次曲面（Quadrics）

 二次曲線也稱圓錐曲線，其在數學上的定位爲一個正圓錐面和一個平面的相切造成的曲線。其公式可表述爲：

 

其中A，B，C不得皆等於0。故常見的圓、橢圓、拋物線等皆屬於二次曲線。

二次曲面則是三維空間中最多見的曲面，其通常公式爲：

 

 

常見的二次曲面包括：

• 橢球（Ellipsoid），形如 的曲面。故球體是橢球的一種特例。

• 雙曲面（Hyperbolic），形如或

 

圓錐體（elliptic cone），形如：

 

 

一些特殊二次曲面示例：

 

 
 

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曲面擬合

在機器人抓取領域，通常採用深度相機做爲傳感器。深度相機可直接獲取空間點雲信息。對於特定物體的抓取，通常在檢測定位的基礎上，採用點雲擬合的方式定位，從而獲取物體在深度相機座標系下的位置和姿態。經常使用的擬合有以下幾種： 

• 平面擬合。空間中的平面可由空間中一點和法向量惟一肯定。經常使用擬合方案有，主成分分析；最小二乘法；隨機採樣法（RANSAC）。

• 圓柱擬合。實際抓取場景中常常碰到圓柱面物體的狀況。實際點雲擬閤中，若是已知主軸方向，則可投影到平面中，作圓的擬合。如方向未知，可首先用PCA的方法肯定主軸方向。

• 球體擬合，看似複雜，實際只需肯定圓心（一個點）和半徑。總共4個自由度（未知變量），可以使用最小二乘法或數值最優化方法來肯定。
  

 

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 不規則形狀

機器人抓取的實際場景中，通常曲面較爲複雜，很難用簡單公式表述。對於複雜曲面（曲線），通常採用ICP（IterativeClosestPoint）的方案完成自由形狀的對齊。

 

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  總結

曲率是描述空間中的曲線或曲面最重要的特徵。通常來講，進行機器人抓取，須要首先利用圖像信息肯定物體的圖像位置，而後經過深度相機獲取的點雲信息技術其幾何特性，完成抓取過程。曲面擬合和ICP的方案仍然有許多細節，在機器人抓取中須要特別注意。請關注後續文章。

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