算法分析的一個小例子--大數乘法

x,y爲兩個長度爲n位的整數，計算它們的積
X=A2^n/2+B ，Y=C2^n/2+D。這樣，X和Y的乘積爲：

XY=(A2^n/2+B)(C2^n/2+D)=AC*2^n+(AD+CB)2^n/2+BD
4次n/2位整數的乘法(AC，AD，BC和BD)，以及3次不超過n位的整數加法(式中的加號)，此外還要作2次移位(分別對應於式中乘2n和乘2n/2)。全部這些加法和移位共用O(n)步運算
T（N）=4T（N/2）+ O（N） T(n)=O(n^log4)=O(n^2)

改進：
XY=(A2^n/2+B)(C2^n/2+D)=AC*2^n+(AD+CB)2^n/2+BD
=AC2^n+[(A-B)(D-C)+AC+BD]*2^n/2+BD
需作3次n/2位整數的乘法(AC，BD和(A-B)(D-C))，6次加、減法和2次移位

T（N）=3T（N/2）+ O（N） T(n)=O(n^log3)=O(n^1.59)
T（N）爲長度爲n的乘法運算，可變爲3個長度爲n/2的乘法運算， O（N）把3個長度爲n/2的乘法運算結果組裝起來的時間（加法和位移操做）
畫遞歸樹更容易看出時間複雜度

第k級子問題數爲3^k，樹的高度爲logn，最後一級k=logn,子問題數爲3^logn,工做量爲O（3^logn）=O（n^log3)=O（n^1.59),由於每一級時間成本幾何增長，因此最後一級就是整個算法的時間複雜度

注：