python實現斐波拉契數列

描述

斐波那契數列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
由列昂納多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖爲例子而引入，故又稱爲「兔子數列」。

這個數列從第3項開始，每一項都等於前兩項之和。
若是設F(n）爲該數列的第n項（n∈N*），那麼這句話能夠寫成以下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2)

遞歸版本

經過這個公式，容易想到第一個遞歸版本

def f(n):
        """遞歸版本 1"""
        return 1 if n <= 2 else f(n - 1) + f(n - 2)

遞歸版本 1 簡單明瞭，可是存在不少冗餘運算，致使運行效果堪憂。

def f(n):
        """遞歸版本 2"""
        cache = {1: 1, 2: 1}
        s = lambda n: cache.get(n) or cache.setdefault(n, s(n - 1) + s(n - 2))
        return s(n)

遞歸版本 2 經過字典避免了冗餘元算，可是存在大量函數調用的開銷。

def f(n, a=1, b=1):
        """遞歸版本 3"""
        return a if n <= 1 else f(n - 1, b, a + b)

遞歸版本 3 使用傳參及默認參數，減小冗餘元算的同時也減小了函數調用。

迭代版本

有遞歸版本，怎麼少的了迭代版本

def f(n):
        """迭代版本 1"""
        lst = [1, 1]
        for i in range(2, n):
            lst.append(lst[i - 2] + lst[i - 1])
        return lst[-1]

迭代版本 1 經過一個列表存儲了每次運算的結果，也很直觀

def f(n):
        """迭代版本 2"""
        dct = {1: 1, 2: 1}
        for i in range(3, n + 1):
            dct[i] = dct[i - 1] + dct[i - 2]
        return dct[n]

迭代版本 2 和迭代版本 1 相似，使用字典而不是列表存儲，佔用空間更大

def f(n):
        """迭代版本 3"""
        a, b = 1, 1
        for _ in range(n - 2):
            a, b = b, a + b
        return b

迭代版本 3 較前面2個迭代版本，經過交換技巧，節省了空間，效率有了提高

公式版本

這個數列有通項公式，因此還能夠來個公式版本

def f(n):
        """公式版本"""
        sqf = math.sqrt(5)
        return int(sqf / 5 * (math.pow(((1 + sqf) / 2), n) - math.pow(((1 - sqf) / 2), n)))

提示

python遞歸版本從新設置遞歸層數限制

import sys
sys.setrecursionlimit(1000000)

公式版本n較大時會引起溢出

OverflowError: math range error

總結

又想了個遞歸版本，利用了python中一個使人詬病的寫法（可變類型做爲默認參數）提高效率

def f(n, cache={1: 1, 2: 1}):
        """遞歸版本徹底體"""
        return cache.get(n) or cache.setdefault(n, f(n - 2, cache) + f(n - 1, cache))

n=1000 時，千次執行時間（s）