經典揹包問題的探討

1、揹包問題的描述

揹包問題能夠有多種形式，下面將對其逐一進行描述：

 

（1）經典的0-1揹包問題（無物品的價值）：

假設有一個能裝入容量爲C的揹包和n件重量分別爲w1,w2,,...,wn的物品，可否從n件物品中挑選若干件剛好裝滿揹包,要求找出全部知足上述條件的解。

當C=10,各件物品重量爲{1,8,4,3,5,2}時，能夠找到下列4組解：(1,4,3,2)、(1,4,5)、(8,2)和(3,5,2)。

 

根據這個問題的一個變形是：

已知一個數爲C，一個長度爲n的無序的數組，分別是數w1,w2,...,wn，可否從這n個數中找到若干個數使其和等於數C,要求找出全部知足上述條件的解。

 

（2）經典的0-1揹包問題（有物品的價值）：

給定n種物品和一個揹包。物品i的重量是wi，其價值爲vi，揹包的容量爲C。應該如何選擇裝入揹包中的物品，使得裝入揹包中物品的總價值最大？

 

上面的兩個問題都是0-1揹包問題，由於隱含的信息是：對每種物品只有兩種選擇，即裝入揹包或者不裝入揹包。不能將物品裝入屢次，也不能只裝入部分的物品。

 

（3）揹包問題：與0-1揹包問題相似，所不一樣的是在選擇物品i裝入揹包時，能夠選擇物品i的一部分，而不必定要所有裝入揹包。

 

2、解決思路

對於問題（1），本文采用的是回溯思想，利用棧的「後進先出」的特性，首先將物品排成一列，而後順序選取物品裝入揹包，假設已選取了前i件物品以後揹包還沒裝滿，

則繼續選取第i+1件物品，若選該件物品的重量太大不能裝入，則放棄而繼續選取下一件，直至揹包裝滿爲止。可是若是在剩餘物品中找不到合適的物品以填滿揹包，則說明

「剛剛」裝入揹包的那件物品「不合適」，應該將它取出，再繼續從它以後的物品中選取，如此重複，直至求得知足要求的解，或者無解爲止。由於回溯的規則也是「後進先出」，

因此採用棧這個數據結構。

 

對於問題（2），其實能夠採用問題（1）的解法，由於要使價值最大化，確定也是儘量多的往揹包裏裝物品。只是此時不要求裝滿揹包，而是在過程當中不斷比較每種狀況的

總價值，並找到總價值最大的選擇方式。

 

對於問題（3），這種揹包問題能夠用貪心算法求解，先計算每種物品單位重量的價值vi/wi;而後根據貪心策略，將可能多得單位重量價值最高的物品裝入揹包；依次使用這種

策略，直至裝滿揹包爲止。

 

3、程序設計

問題（1）：

 

問題（2）：

 

問題（3）：