思惟題（兩點逼近）LeetCode11 Container with Most Water

Given n non-negative integers a1, a2, ..., an, where each represents a point at coordinate (i, ai). n vertical lines are drawn such that the two endpoints of line i is at (i, ai) and (i, 0). Find two lines, which together with x-axis forms a container, such that the container contains the most water.

給定n條線段，每條線段的端點爲(i,0)和(i,a[i])，如今須要在這n條線段中選擇兩條並與x軸組成一個水桶，求最大容量的水桶的容量（面積）。

 

暴力的方法就是直接枚舉兩條線段，找最大面積，這樣複雜度是O(n^2)的。（沒想到leetOJ竟然還有稍強的數據，感受是故意卡死這個複雜度的方法的。。）

 

我換了一個思路後，想到因爲最後的最大面積必定是以某一個線段爲桶的一側（多是左側或者右側）而且恰好淹沒這條線段，那咱們只須要枚舉每條線段，而後找出這條線段左側（或者右側）比它高的最左（最右）的一個線段的位置，而後計算面積，並記錄最大面積便可。

找到左側比當前線段要高的最左側線段的方法，能夠直接將每一個線段先按高度從大到小，再按座標從小到大排序，而後掃描數組，記錄 到當前的最小座標，因爲後掃描到的線段高度必定比先掃描到的高度小，因此只須要記錄前面的座標的最小值，即是當前線段的最左側線段的座標。時間複雜度O(nlogn)空間O(n)。

 

官網給出的標準方法，因爲智力有限並不能想到，可是對其正確性仍是能夠給出證實。方法以下：

令指針i,j指向數組的開頭和結尾，而後每次選取height[i]和height[j]較小的那個指針，並將指針想中間位置移動覺得，並從新計算面積。(時間複雜度O(n),空間複雜度O(1))。

雖然我不能對這個方法有比較好的啓發式的思惟來想到，可是我至少仍是得對其正確性給出證實，個人方法以下：

令a(i,j)表示線段i和j組成的面積(即a(i,j)=(j - i) * min{height(i), height(j)}）,令DP(i,j)表示區間[i,j]的最大答案，則有：

DP(i,j) = max{DP(i+1,j), DP(i, j-1), a(i, j)}

只要證實當height(i) <= height(j)時，DP(i,j) = max{DP(i+1,j),a(i,j)}恆成當即可。

證實過程只須要分狀況討論便可：

一、若a(i,j) == DP(i,j) 這時結論顯然成立。

二、若a(i,j) < DP(i,j) 

        1) 若DP(i+1, j-1) == DP(i,j)  這時，因爲DP(i+1,j) >= DP(i+1, j-1)，這時結論成立。

        2) 若DP(i+1, j-1) < DP(i,j)  這時有DP(i,j) = max{DP(i+1,j), DP(i, j-1)}

            由於DP(i + 1,j) = max{DP(i+1,j-1), a(i+1,j), a(i+2, j), ... , a(j - 1, j), a(j, j)}

            同時DP(i, j - 1) = max{DP(i+1,j-1), a(i, i), a(i,i+1), a(i, i+2), ... , a(i, j - 1)}

            由於height(i) <= height(j) 因此有max{a(i, i), a(i,i+1), a(i, i+2), ... , a(i, j - 1)} <= a(i, j) < DP(i, j)恆成立。

            因此 DP(i, j) = DP(i+1, j)。得證。

 

 1 public class Solution {
 2     public int maxArea(int[] height) {
 3         int maxarea = 0, l = 0, r = height.length - 1;
 4         while (l < r) {
 5             maxarea = Math.max(maxarea, Math.min(height[l], height[r]) * (r - l));
 6             if (height[l] < height[r])
 7                 l++;
 8             else
 9                 r--;
10         }
11         return maxarea;
12     }
13 }