維諾圖之平面掃描法

維諾圖（Voronoi Diagram），簡單來講，是一種平面區域的劃分方式。假設平面上有 n 個點：P1 ~ Pn，那麼對應維諾圖則劃分紅 n 個區域：S1 ~ Sn，而且 Si 內全部點到 Pi 的距離小於等於到其餘任意點的距離。維諾圖還常常和德洛內三角（Delaunay 三角網）扯上關係，德洛內三角是一系列相連不重疊的三角形集合，特色有兩個：一、任意三角形的外接圓不包含面內其餘三角形頂點，二、相鄰兩個三角形構成的凸四邊形，交換對角線，六個內角的最小角不會增大。以下圖，實線構成德洛內三角，虛線構成維諾圖，德洛內三角每個三角形的頂點即是維諾圖的初始點集。

理論上，兩種圖形能夠互相轉化。一、生成維諾圖後，鏈接有公共邊的初始點集，即可構成德洛內三角。二、生成德洛內三角後，針對每個三角形邊，生成垂直平分線，並將垂直平分線的端點設置爲三角形邊所在外接圓的圓心便可（內部三角形邊的垂直平分線爲線段，邊界三角形邊的垂直平分線爲射線）。

下面先推薦幾篇我看過寫得比較好的學習資料，能夠用於參考。（吐槽：這幾篇是我從海量博客中篩選出來的，網上能搜出一堆相關博客，可真正有內容的卻沒有幾篇）

一、http://www.cnblogs.com/zhiyishou/p/4430017.html 講解如何生成Delaunay三角網的博客。這篇文章是講解地比較細，比較全，比較容易理解的，不過一樣有不少坑，閱讀時不要遺漏了博客評論區，那裏指出了不少坑點。最坑的一點，即便你排除萬難，寫出了和做者如出一轍的代碼，仍然有不少BUG，好比點數少的狀況下有可能沒有任何生成，好比最終生成的德洛內三角不是凸包等。固然，文章確實好，值得一看，用來理解德洛內三角是頗有幫助的。

二、https://en.wikipedia.org/wiki/Fortune%27s_algorithm 講解如何生成維諾圖的維基百科，有個gif 圖能夠幫助理解，中間那段英文的算法描述寫得很好，讀下來大體就有了生成維諾圖的思路（英文很差的能夠百度翻譯一下）。下面還附了個僞代碼，不過這僞代碼我是徹底看不懂了，百度翻譯也無論用了。文章末尾還附加了幾個算法源碼，不過不推薦閱讀，代碼可讀性太差了，反正我是啃不下來，後面會推薦一個寫得比較清楚的源碼。

三、http://www.javashuo.com/article/p-gzbexjrb-bd.html 講解如何生成維諾圖的博客，內容比較少，不過比較清晰，附加的僞代碼也比較容易理解，建議有了大體思路後根據這篇博客來完善代碼。

四、https://www.cs.hmc.edu/~mbrubeck/voronoi.html 提供源碼的博客，其餘不少博客都只是簡單介紹方法，而像codeproject 或Wikipedia 上的源碼可讀性太差（不是我吐槽，是真的太差，徹底看不懂），而這篇博客提供的代碼很適合用來學習，定義清晰明瞭，雖然代碼效率達不到logn，但這僅僅是存放海岸線的數據結構差別，其他內容與平面掃描法一致，能夠參照該源碼去解讀推薦的第三篇博客。不過該源碼也有些BUG，有一些特殊狀況會返回不正確的維諾圖。

下面就介紹經過平面掃描法來生成維諾圖，首先介紹平面掃描法的幾個基礎定義：

一、掃描線：掃描線將從 y = 0 一直掃描到 y = maxY，掃描完成後，維諾圖也將生成完畢。（上圖的黑色線）

二、海岸線：由多段拋物線組成，拋物線的焦點是初始點集，準線爲掃描線。（上圖的藍色線）

三、站點事件：掃描線掃描到了某個初始點。

四、圓事件：掃描線掃描到了某個圓（三個站點共圓）的最低點。

算法思路：

咱們須要維護一條掃描線和一條海岸線，這兩條線都隨着程序的運行，經過整個平面。掃描線是一條直線，咱們能夠假定它是水平的，在平面上從上到下地移動。在算法運行期間，掃描線上方的初始點已經被歸入Voronoi圖，而掃描線下方的點暫未考慮。海灘線不是一條直線，而是一條複雜的多段曲線，位於掃描線的上方，它將已經肯定的區域和未肯定的區域分割開，即無論後續還有多少個點，海岸線上方的維諾圖都已是肯定的了。對於掃描線上方的初始點，咱們能夠定義距離該點和掃描線等距的點的曲線（即以該點爲焦點，以掃描線爲準線的拋物線），海岸線就是這些拋物線並集的邊界。隨着掃描線的推動，海岸線中相鄰拋物線交點（相交的點）將勾勒出維諾圖的邊。海岸線也隨着掃描線的推動而推動，始終保持其上的點到焦點的距離和到掃描線的距離相等。

該算法使用了排序二叉樹來維護海岸線，使用優先隊列來維護可能引發海岸線變化的事件。這些事件包括新增拋物線到海岸線（掃描過一個初始點，稱之爲站點事件）和從海岸線中刪除某一條拋物線（這條拋物線縮小成一個點時，即海岸線中相鄰的三個拋物線焦點生成的圓與掃描線相切，稱之爲圓事件）。每個事件能夠用發生該事件時的掃描線 y 座標來肯定優先級。而後，咱們要作的就是反覆從優先隊列中取出事件，進行處理，可能會影響到海岸線結構，可能會新增圓事件。

因此，該算法的重點即是如何處理站點事件和圓事件。首先看站點事件，當掃描線遇到 P4 時，過 P4 作掃描線的垂線，垂線和海岸線相交點到 P4 和 P2 距離相等，當掃描線越過 P4 時，將生成一條以 P4 爲焦點，掃描線爲準線的拋物線，該拋物線和 P2 對應的海岸線相交於兩點，這兩點會隨着掃描線的移動而分離，事實上，這兩點將勾勒出同一條維諾圖邊（能夠肯定該邊上點到 P4 和 P2 距離相等）。P4 拋物線與 P2 拋物線交於兩點，會將 P2 拋物線分割成兩段拋物線，命名爲S一、S2，假設 P4 下方沒有新的站點，隨着掃描線繼續移動，P4 對應拋物線將越變越寬，可能會將原先 S一、S2 擠兌沒，即 S1 可能由一段拋物線縮小成一個點，而 P1 拋物線和 S1 的交點，與 P4 拋物線和 S1 的交點重合，這便產生了一個圓事件，即縮小成的那一點到 P一、P二、P4 距離相等。固然程序不可能作到一點一點的移動掃描線，因此生成圓事件，是在遇到 P4 的一瞬間決定的，即遇到 P4 時，判斷 P一、P二、P4 是否共圓。接着咱們來看圓事件，當發生了圓事件後，就說明有某一段拋物線縮小成一個點，因此咱們就須要將該段拋物線刪除，並生成已經肯定下來的維諾圖邊。 

維諾圖的目標是找出全部站點對應區域的邊，而邊是隨着掃描線移動，由相鄰拋物線交點勾勒出來的，因此咱們把邊記在弧上，一條弧左右各有一個交點，因此咱們每條弧記兩條邊S0、S1。當發生站點事件時，先找到其正上方的弧，而後這條弧中間部分將被新的拋物線取代，即由一段弧變成兩個交點Inter一、Inter2 和 三段弧Arc一、Arc二、Arc3，其中Arc2 是新增的弧，Arc一、Arc3 是原弧分裂出來的，因此Arc1 的S0 繼承自原弧的S0，Arc3 的S1 繼承自原弧的S1，Arc1 的S1 與 Arc2 的S0 將指向根據左交點建立的一條新邊，Arc2 的S1 和Arc3 的S0 將指向根據右交點建立的一條新邊。當發生圓事件時，弧Arc 消失，因此 Arc 的S0、S1 將完成構造，即S0、S1 的終點設置在圓事件的圓心，而 Arc 消失後，其前置弧和後置弧相交在一塊兒，因此前置弧的S1 和後置弧的S0 將指向根據圓心建立的一條新邊。當全部事件處理完畢後，咱們須要假設一條掃描線，使剩餘的全部相鄰弧交點位於維諾圖邊界外，計算此時這些交點的位置，完成剩餘的維諾圖邊。

數據結構：

一、咱們須要按 y 順序遍歷站點和圓事件，因此引入優先隊列這個數據結構（Y 越小越靠前，Y 相同則 X 越小越靠前）。

二、咱們須要快速獲取某點正上方的拋物線，因此引入排序二叉樹，排序二叉樹每個葉子結點表明一段拋物線，每個內部結點表明相鄰拋物線的交點，排序依據就是交點的 x 座標，從而能夠用logn 的時間，快速獲取某點正上方的拋物線。（排序二叉樹可能會退化成鏈表，真正使用的時候能夠考慮是否能夠替換成平衡二叉樹）

三、咱們須要快速檢查相鄰的三段拋物線對應焦點是否共圓，因此引入雙向鏈表，用於管理排序二叉樹的葉子結點，即每一個葉子結點記錄上一片葉子和下一片葉子指針。

源碼連接：僞代碼能夠看上面的第三篇博客，或者直接閱讀下面的源代碼，註釋應該是比較全了。該源碼僅用於交流學習，內部有挺多細節沒有考慮最優的算法。

https://github.com/hchlqlz/VoronoiDiagram

歡迎你們指出源碼 BUG。