黎曼猜測簡析

原文： http://www.fengchang.cc/post/105

參考  這裏​ 和  這裏​ 和  這裏​ 

就說這個猜測跟素數的分佈有關，而素數的重要性被奉爲萬數之基。

一句話定義黎曼猜測：

黎曼zeta函數只在下面兩種點上爲0值：第一種是負偶數第二種是實部爲1/2的複數。

 

用二維座標系表示複平面，那麼取零值的點只在下面兩條橫縱直線上：

前一種稱爲平凡零點，不怎麼受人關注，後一種叫「非平凡零點」，聽說跟素數的分佈有某種神祕的聯繫，下面研究看看。

 

 

上面的定義看完只能理解表層的數學定義，可是這個東西跟素數有什麼關係，背後有什麼深意，則徹底是一頭霧水，也就是說，只看這個定義，只是至關於該知識的冰山一角。我徹底不能滿意，那麼下面我將嘗試展開該問題，以求得到問題的全貌，這是一個困擾人類一百多年至今仍懸而未決的數學難題，我這輩子估計是不可能解出來的，不過解不出來，嘗試理解一下問題自己總能夠吧？爲了對得起本身的學歷，下面嘗試展開對這個問題作一些分析。

 

 

上面的定義中，黎曼zeta函數是什麼？表明了什麼含義？

黎曼zeta函數用無窮級數定義以下：

重點在於s是複數，且僅在s的實部大於1的狀況下，該級數才收斂。

可是黎曼這個神人作了一個「解析拓延」，這是這裏面的重中之重，好比上面的級數最初的定義域是在大於1的天然數上定義的，但後來逐步拓展到大於一的實數，而後最終拓展到複平面。總之這裏解析拓延是黎曼猜測的重中之重，也是水很深的地方，我只能作這麼個粗淺解釋，有興趣能夠本身研究 。

 

用積分形式的定義以下:

看上面的積分形式定義，問題又來了，這個分母中的函數是個什麼鬼？怎麼念？

這個函數的定義以下：

其實就是個階乘函數，可是偏移掉最大的一個數。

 

 

歐拉證實素數無限的方法，:

- If Q is prime, you’ve found a prime that was not in your 「list of all the primes」.

- If Q is not prime, it is composite, i.e made up of prime numbers, one of which, p, would divide Q (since all composite numbers are products of prime numbers). Every prime p that makes up P obviously divides P. If p divides both P and Q, then it would have to also divide the difference between the two, which is 1. No prime number divides 1, and so the number p cannot be on your list, another contradiction that your list contains all prime numbers.

求在給定正整數範圍內有多少素數，是一個頗有用的函數，記爲π(x), 容易理解這個函數是個階梯函數，每當x爲素數時階躍1，來看一眼這個函數的圖像，大概也能感受到素數分佈之規律難尋：

素數定理：

用python畫了一下分母的這個函數x/ln(x)的趨勢，以下圖：

把黎曼zeta函數跟素數發生關係的一個公式：歐拉乘積公式（Euler product formula）

右邊的p是全部的素數。

這個結論乍看起來一頭霧水，這樣一個無窮級數怎麼能跟素數的某種形式的練乘掛上鉤呢？下面就作一個簡單的證實：

首先對zeta函數（級數形式）兩邊都乘以第二項

而後跟原始的等式按以下方式作差：

其結果就是右邊的項中分母中底數爲2的倍數的項都沒了。

再來作相似的操做，等式兩邊乘以右邊第二項：

而後再跟以前的等式兩邊同時作差。獲得下式：

說白了這裏不過是一些處理無窮級數項的小技巧而已，沒什麼複雜的，可是經過不斷地作以上的操做，類推下去，最終會把右邊的項，所有幹掉，只剩下1：

而後左邊的項，看剩下的分母中的底數，爲2，3，5，7 。。。等，全是素數。爲何會全是素數呢？其實若是知道埃拉託斯特尼篩法，天然就能理解了，原理大概就是例如求100之內的全部素數，只要把2的倍數所有剔除，再把3的倍數所有剔除，順序往下，把沒剔除的數的倍數所有剔除，直到沒得剔了，那麼剩下的數就是素數，很直觀的一種方法。

至此，證畢，起碼到此爲止的成就是，把素數跟Zeta函數掛上鉤了。可是zeta函數的那些非平凡零點又意味着什麼，暫時還不知道。

又仔細研究了下，獲得的結論大概是這樣：zeta函數在複平面上的非平凡零點跟素數分佈有着緊密聯繫，具體怎麼聯繫的，體如今相似素數定理的偏差項，已經證實的是非平凡零點的實部在0到1的條狀帶內，而黎曼猜測的標書則更強，直接定位在實部等於1/2處，這樣至關於得到了更強的素數計數函數的偏差項：

那麼若是證實出來裏面函數會有什麼影響？答案個人理解是這樣，考慮到黎曼猜測在結論層面，已經不少人默認它爲真並基於它去作一些具體的事了，那麼若是最終被證實，對這些已經默認它爲真的事情理應是沒啥影響，考慮到如今已經找到的大量的零點都符合黎曼猜測，這個猜測的成立的機率仍是挺大的，因而在現實應用層面，證實了更不該該會有什麼影響，卻是若是被證僞了，影響會比較大，但在現實應用層面（例如密碼學）影響也有限，不會是顛覆性的。

可是可能的大的影響是來自證實過程的，例如素數定理自己就是研究黎曼猜測的過程當中引出來的，那麼若是真正證實出黎曼猜測，大機率其過程當中會有新的一些重要發現。

牽涉到的一些數學概念：

素數定理， 解析延拓，虛數指數函數的意義， 連續統