幾道有意思的積性函數題

時間 2019-12-09

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幾道有意思的積性函數題

前言

最近在搞積性函數篩法之類的東西，選了幾道有意思的題放在這裏。
有公式恐懼症的勿看！
嘩啦啦。編程

[UOJ188] [UR #13]Sanrd

一句話題意：求$\sum_{i=1}^n p_{smax}(i)$，$n\leq 10^{11}$
其中$p_{smax(i)}$表示某個數的次大質因子，定義質數和$1$的$p_{smax}=0$。數組

min_25篩的簡單應用。
先在第一步的時候把質數個數$g(n,|P|)$給篩出來，而後進第二步。
第二步時，若當前在狀態$S(n,j)$，強制當前層選的質因子爲最大質因子，而後用$p_{j-1}$貢獻答案。
注意特判最大質因子和次大質因子相同的狀況。
結合上述思路，容易寫出轉移方程：
$S(n,j) = p_{j-1}(\ g(n,|P|)-(j-1)\ ) + \sum_{k=j}^{|P|} \sum_{e=1}^{p_{k}^{e+1}\leq n} (S(\lfloor \frac{n}{p_k^e} \rfloor ,k+1) + p_k)$。函數

[BZOJ3309] DZY Loves Math

一句話題意：線性篩出 $G(T) = \sum_{d|T}\mu(\frac{T}{d}) f(d)$ ，$T\leq 10^7$。
其中$f(d)$定義爲$d$惟一分解後的最大指數冪，如$f(2^33^55^4) = 5,f(17^43^{18})=18$。spa

這個題是真的有意思。
考慮惟一分解：$T=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_k^{c_k}$，$d=p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_k^{b_k}$。
顯然$\mu(\frac{T}{d})=0$的項沒有貢獻，因此有貢獻的項必定知足$c_i-b_i\leq 1$ 。
若存在$c_i < c_j$，則$b_i \leq b_j$ 。
此時$f(d)$的取值與$b_i$的取值無關，而$c_i-b_i=0$或$1$時在$\mu(\frac{T}{d})$中的貢獻剛好相反。
因此這種狀況下存在對稱性，即$\sum_{d|T} \mu(\frac{T}{d}) f(d) = 0$ 。
若$c_1=c_2=...c_k=c$，若存在$b_i<b_j$，則相似上面的對稱性，貢獻會爲$0$。
惟一不存在對稱性的狀況是$b_1=b_2=...b_k=c-1$，此時$f(d)$相比其反面少$1$。
故此時$\sum_{d|T} \mu(\frac{T}{d}) f(d) = (-1)^{k+1}$。
因此線性篩的同時記錄最大指數冪$g$，經過判斷$g[\frac{i}{low(i)}]$ 與 $g[low(i)p_j]$ 是否相同進行轉移。遞歸

[CQOI2017] 小Q的表格

兩句話題意：給定一張$n\times n$的表格，每一個位置有一個值$f(a,b)$，知足：
對於正整數$a,b$，有$f(a,b)=f(b,a)$且$bf(a,a+b)=(a+b)f(a,b)$。
初始$f(a,b)=ab$。如今有$m$次操做$(a,b,x,k)$，
每次操做你須要將$f(a,b)$改成$x$，並修改整個表格使得表格合法，
在修改完後，你須要輸出前$k$行前$k$列表格中的數字之和，數據範圍$n\leq 10^6,m\leq 10^4$。數學

首先把條件化爲$\frac{f(a,b)}{ab} = \frac{f(a,a+b)}{a+b}$。
這能夠看做一個類歐過程，故$\frac{f(a,a\%b)}{a(a\%b)} = \frac{f(a,b)}{ab}$，展開後有$\frac{f(a,b)}{ab} = \frac{f(d,d)}{d^2},d=gcd(a,b)$
答案爲$Ans = \sum_{a=1}^K\sum_{b=1}^K f(a,b)$。
帶入上面的展開式後稍微化簡一下有：$Ans = \sum_{d=1}^K f(d,d) G(\lfloor \frac{K}{d} \rfloor)$。
其中$G(n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n [gcd(i,j)=1]ij$，而後這題誤導性最強的地方就在這裏。
正常想法確定是反演，然而若是去反演那就完蛋了到死也作不出來，正確姿式應該是：
$G(n) = \sum_{i=1}^n i \sum_{j=1}^n [gcd(i,j)=1]j = 1+2\sum_{i=2}^n i(\frac{\varphi(i)}{2}i) = \sum_{i=1}^n i^2 \varphi(i)$ 。
最後的問題在於維護$f(d,d)$的前綴和，要求可以$O(\sqrt{n})$修改，$O(1)$回答。分塊就好了。io

[51NOD1847] 奇怪的數學題

一句話題意：求$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k$，$n\leq 10^9 , k\leq 50$。
其中$sgcd(i,j)$表示$i$和$j$的次小公因數。class

其實這題還蠻簡單的，畢竟太套路了，沒啥思惟含量......
顯然$sgcd(i,j) = \frac{gcd(i,j)}{p_{min}(gcd(i,j))}$。
因此枚舉$gcd(i,j)=d$，
列出式子後能夠獲得：$Ans = \sum_{d=1}^{n} (\frac{d}{p_{min}(d)})^k \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} [gcd(i,j)=1]$
而後用對稱性稍微弄一下就能夠獲得：
\[Ans = \sum_{d=1}^{n} (\frac{d}{p_{min}(d)})^k(2 \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\varphi(i)-1)\]
爽！用min_25篩預先解決$\sum_{i=1}^d(\frac{i}{p_{min}(i)})^k$，而後對於$\sum_{i=1}^n \varphi(i)$直接杜教篩便可。循環

[Luogu4240] 毒瘤之神的考驗

一句話題意：$T$次詢問$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \varphi(ij)$。$n,m\leq 10^5$ ; $T\leq 10^4$。構造函數

常見套路先把$\varphi(ij)$寫開能夠獲得：$Ans = \sum_{d=1}^n \frac{d}{\varphi(d)} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \varphi(i) \varphi(j) [gcd(i,j)=d]$。
不要把$gcd=d$變爲$gcd=1$，而是直接莫比烏斯反演能夠獲得：
\[Ans = \sum_{i=1}^n (\sum_{d|i} \frac{d}{\varphi(d)} \mu(\frac{i}{d})) G(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor , i) G(\lfloor \frac{m}{i} \rfloor)\]
其中$G(n , K) = \sum_{i=1}^n \varphi(iK)$ 。
前面的一坨$F(i) = \sum_{d|i} \frac{d}{\varphi(d)} \mu(\frac{i}{d})$顯然是個迪利克雷卷積，線性篩出來就好了。
關於$G$如何求，妙哉妙哉！注意到$iK\leq n$，因此暴力全算出來就好了，複雜度調和級數。
而後$Ans = \sum_{i=1}^n F(i) G(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor ,i) G(\lfloor \frac{m}{i} \rfloor ,i)$，如何快速求答案？
又是妙哉妙哉，咱們設$H(U,n,m) = \sum_{i=1}^n F(i) G(n,i) G(m,i)$。
而後咱們設置一個閥值$B$，將$n,m\leq B$的$H$所有預先算出來存到一個數組裏去。
咱們用預處理好$H$加上數論分塊算好全部$n,m\leq B$的答案。
對於$n,m > B$ 的部分，由於有$\frac{n}{i}> B$，因此$i\leq \lfloor \frac{n}{B} \rfloor$不會很大，這部分直接暴力算。
那麼此時複雜度變爲了$O(B^2n + T(\sqrt{n} + \lfloor \frac{n}{B} \rfloor ))$，$B$取$T^{\frac{1}{3}}$左右便可獲得可行的複雜度。

[NOI2016]循環之美

一句話題意：求$K$進制下，$\sum_{x=1}^n \sum_{y=1}^m [$$\frac{x}{y}$爲純循環小數$]$。$n,m\leq 10^9$,$K\leq 2000$。

小學"奧術"學過純循環小數的處理：存在$t$，使得$\frac{K^tx-x}{y} = k$。
因此$K^tx = ky + x$。因此$K^t \% y = 1$。
因此$Ans = \sum_{x=1}^n \sum_{y=1}^m [x \perp y][K\perp y]$，下面一題多解：
爲了節省篇幅，設$f_s(n)=\sum_{i=1}^n [i\perp K] = \lfloor \frac{n}{K} \rfloor \varphi(K) + brute(n \%K)$

解1：(暴力拆$[x\perp y]$)
$Ans = \sum_{x=1}^n \sum_{y=1}^n [K\perp y] \sum_{d|gcd(x,y)} \mu(d)$
$Ans = \sum_{d=1}^n \mu(d) \sum_{x=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor } \sum_{y=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor} [K \perp yd] $
$Ans = \sum_{d=1}^n \mu(d)[K\perp d] \sum_{x=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor } \sum_{y=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor} [K \perp y] = \sum_{d=1}^n \mu(d) [K \perp d] \lfloor \frac{n}{d} \rfloor f_s(\lfloor \frac{m}{d} \rfloor) $
$f(n,K) = \sum_{d=1}^n \mu(d)[K\perp d] = \sum_{d=1}^n \mu(d) \sum_{s|K,s|d}\mu(s)$
$f(n,K) = \sum_{s|K} \mu(s) \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{s} \rfloor} \mu(si) = \sum_{s|K} \mu(s)^2 \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{s} \rfloor} f(\lfloor \frac{n}{s} \rfloor , s)$
遞歸處理便可，終態$f(n,1)$直接杜教篩。

QaQ一下，duang~~~

解2：(暴力拆$[K\perp y]$)
$g(n,m,K) = \sum_{x=1}^n \sum_{y=1}^m [x\perp y] \sum_{d|K,d|y} \mu(d)$
$g(n,m,K) = \sum_{d|K} \mu(d) \sum_{x=1}^n \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor} [x\perp id]$
$g(n,m,K) = \sum_{d|K} \mu(d) \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor} \sum_{x=1}^n [x\perp i] [x\perp d] = \sum_{d|K} \mu(d) g(\lfloor \frac{m}{d}\rfloor ,n,d)$
遞歸處理便可，終態$g(n,m,1)$直接數論分塊+杜教篩處理。

QwQ一下，duang~~~

解3：(某高姓一本爺神仙的作法)
拿着這道題去問$gzy$這題怎麼算複雜度啊？min_25篩作是否是假的啊？
而後神仙就給了我這個神仙作法，
該作法時間複雜度僅$O(\sqrt{n} + n^{\frac{2}{3}})$，不管時間複雜度仍是編程複雜度都吊打了一切題解。
回到解法一的中間：求$\sum_{d=1}^n f(d) = \sum_{d=1}^n \mu(d) [K\perp d]$。
咱們構造函數$g(d) = [d\perp K]$，$f,g$都積性，故用$f(d)$與$g(d)$構造迪利克雷卷積。
$\sum_{i=1}^n h(i) = \sum_{i=1}^n \sum_{d|i} f(d) g(\frac{i}{d}) = \sum_{i=1}^n \sum_{d|i} \mu(d) [K\perp d][K\perp \frac{i}{d}]$
$\sum_{i=1}^n h(i) = \sum_{i=1}^n \sum_{d|i} \mu(d) [K \perp i] = \sum_{i=1}^n [K\perp i] \sum_{d|i} \mu(d)$。
$\sum_{i=1}^n h(i) = \sum_{i=1}^n [K\perp i][i=1] = \sum_{i=1}^n [i=1]$。
故$h(i) = [i=1]$，寫完整：$\sum_{i=1}^n [i=1] = \sum_{i=1}^n \sum_{d|i} \mu(d) [K\perp d][K\perp \frac{i}{d}]$
因此直接杜教篩便可：$\sum_{i=1}^n f(i) = 1 - \sum_{i=2}^n [i\perp K]\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} f(j)$。這個解法真的太妙了！這構造真的神了，無論你怎麼以爲，反正我是當場直接給跪了。

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