100天搞定機器學習|Day 30-32 微積分的本質

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咱們節選其中一部份內容，領略一下微積分的奧妙

要了解微積分的本質，咱們從一個你們都知道的公式提及。這個公式就是求圓的面積公式：A=πr²

 咱們將用微積分的方式來推導這個公式，在這個過程當中，咱們將利用到微分，積分，和二者的互逆。

首先咱們先將一個圓以下圖切分紅數個圓環。咱們得到每一個圓環的面積，而後將他們相加不就獲得圓的面積了。

因此咱們以相同的距離dr將圓切分紅若干個同心圓環。

好比圓環的半徑是3，dr取0.1 那麼咱們就將一個圓換分紅了30個寬度都是0.1的同心圓環：

每個圓環拉直會獲得一個新的形狀，咱們將這個形狀近似看作一個矩形

那麼這個矩形的面積就是這個圓環的周長乘以dr，圓環的周長爲圓環到圓心的距離*2π

那麼每一個圓環的近似面積面積就爲：2πr*dr(這裏的r是每一個圓環到圓心的距離)

你會發現咱們的dr 取值越小，那麼咱們計算出來的圓的面積也就越精確。

如今若是咱們把全部近似矩從小到大一個接一個的排列在一塊兒，咱們會有一些全新的發現：

注意，爲了方便觀察咱們y軸與x軸的比例爲5：1

如今咱們去的dr是0.1，而咱們取的dr值越小，得到的圓環的數量就越多，而這些圓環的近似矩形面積相加起來的面積就靠近原來的圓的面積。

如果無限多個圓環，那麼咱們得到的近似值愈來愈靠近真實值。

但是咱們取的圓環越多，那麼計算量不就越大，無限多的就表明根本無法計算。

但注意，當dr取值無限小的時候，咱們將全部圓環的面積加起來與下圖三角形的面積是相同的。

這個三角形的底是3 而高最大圓環的周長，也就是圓的周長：2π*3

若是圓的半徑是r，那麼它對應的三角形就是一個底爲r，高爲2π*r的三角形。根據三角形面積公式，咱們獲得

圓的面積爲：πr²

對於數學家來講，你不光要找到答案，你還想要能發展處解決通常問題的工具和技巧

咱們回想一下剛剛發生了什麼。爲何這樣作是可行的。這個從近似值到精確值的過程，經過這個過程，咱們能夠了解微積分的本質。

最開咱們將問題化解爲許多微小值的和，來得到一個近似的結果。

首先咱們取每間隔dr值，取一個圓環。咱們將一個圓換分紅若干個小圓環，將其近似當作若干個矩形，咱們就能得到近似的圓形面積。

這裏的dr 不只是圓環的寬度，也是每一個圓環半徑的間距。

咱們將這個這個dr越縮小，dr值取的越小，全部矩形相加的面積就越接近於一個三角形的面積。

咱們能夠得出結論，原來的原型的面積剛好就是這個三角形的面積。

注意此時已經不是近似值，而是徹底準確。

經過這種方法，咱們從新推導了計算圓的面積的公式。

如今咱們看看這種方法在其餘的地方如何發揮做用。

例如，已知騎車在每一個時間點上的速度，求這段時間騎車走了多遠的距離。

咱們能夠用每一個時間點的速度乘以這段微小的時間，而後相加求和，就是這一整段時間走的距離的近似值。

從圖中，咱們能夠看出，最後咱們將一個物理學的問題，變成了幾何學的問題。這是否是頗有趣？

還有不少的問題均可以這樣來計算，咱們將一個複雜的問題，拆解爲若干近似於a*b而後相加求和的問題(如上面的速度乘以時間)，

其中每個乘法計算中的a都是相同的。（如上一例子中，每個時間點之間的距離是相同的，也就是vt中的t是相同的）

那麼咱們就能夠將問題轉化爲若干細長的矩形面積(a*b不就是求矩形面積的公式？)相加取得近似值的問題。

如果咱們取的a（在這個汽車例子中的t）取值越小，咱們最終得到的值就越精確，並且愈加靠近求下圖面積的問題的。

等等，這個形狀的面積彷佛也不是那麼好求得。

彷佛咱們不會像求圓的面積的時候那麼的幸運，獲得圖形正好是一個三角形。

如上題咱們求一個汽車從發動到中止這段時間通過的距離，最後咱們獲得的這樣一個形狀，咱們要怎麼求它的面積呢？

一個二次函數的曲線下的面積要怎麼求呢？

視頻告訴咱們，當你在數學上遇到一個特別難解的問題是，不要想着正面硬解，這樣你每每會撞上南牆。

相反，你應該帶着不明確的目的不斷把玩這些概念。

咱們將二次函數，x²函數曲線下的面積設置A(x)

那麼A(x)與x²之間有什麼特殊關係呢？

若是咱們將x的值增長一點點，那A(x²)的值回發生怎樣的變化呢？

咱們把增長的面積叫作dA，x的增長值叫作dx

咱們將這個增長的面積近似看作一個矩形。

咱們能夠獲得：

dA≈x²dx   由此咱們獲得： dA/dx≈x²*

這裏咱們dx的值取的越小，那麼這個dA的面積就越接近矩形的面積。dA/dx也就越接近x²

咱們將x=3,dx0.001代入這個公式能夠獲得

如今咱們仍是不知道神祕的A(x)，可是咱們有了這樣一個一個公式：dA/dx≈f(x)

dx取值越小，這個公式就越精確。

做者：guolaomao@cnblogs

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