數位dp 筆記

目錄

• 數位dp 筆記
  • 解決的問題 & 主體思想
  • 入門 —— windy數
  • 繞一個彎 —— 萌數
  • the end? —— 恨7不成妻
  • 當心細節 [SDOI2016]儲能表
  • 複雜度起飛 [AHOI2009]同類分佈

數位dp 筆記

數位dp一直是個人弱項，惦記很久了，最近補了補，感受還行。

解決的問題 & 主體思想

解決一個區間中，知足某些條件（與每一位有關）的數的數量（或者帶權的和）。

作法：考慮求前綴 \([1,x]\) 的答案。

若是你是新手，請先考慮一下大概要怎麼作，再繼續看

先把位（不必定是十進制）拆開來，而後是一個形如 "dp到第 \(i\) 位，..." 的 dp，通常能夠用記憶化搜索，一位一位的填，使得它看起來友好一些（我的感受這樣可讀性好）。

而後要解決 \(\le x\) 的限制。每次按照這樣的規則來填數字：

• 默認每一位都不能超過 \(x\) 對應的位
• 若是有一位小於了 \(x\) 對應的位，則後面就沒限制了

這個很好理解。好比說如今欽點下來是 \(123***\)，\(x=123456\)，那後面顯然不能超過 \(456\)。

而若是如今欽點下來是 \(122***\)，那它就算是 \(122999\)，也不會超過 \(x\)。

用一個 lim 標記維護當前是否卡到上界。注意它應該被記在 dp 狀態裏。

入門 —— windy數

求區間知足：任意相鄰兩位的差都不超過 \(2\) 的數，的數量。

dp 狀態：到第幾位，當前選了什麼（以決定下一個可不能夠選），lim

而後每次 dfs 擴展的時候，判斷一下下一個填的是否合法，再加個記憶化，就好了。

代碼

繞一個彎 —— 萌數

求區間知足：將數當作字符串，沒有任何長度 \(\ge 2\) 的迴文串的數，的數量。

沒有任何長度 \(\ge 2\) 迴文串 \(\rightarrow\) 任意一個字符和它前面一個，兩個都不一樣。

這樣就保證了沒有長度等於 \(2,3\) 的迴文串，而後其他的迴文串都是由這兩種擴展出來的，天然也沒有了。

剩下就很好 dp 了，和上一個差很少。

代碼

the end? —— 恨7不成妻

hdu的題，我第一次學數位dp的時候被老師稱做「畢業題」

你要能把這個題寫出來，你數位dp就差很少了

當時看着老師標程打的，如今簡單複習了一下，發現還挺好想的 而後把它秒了，其實就是一個傻逼縫合怪題

要知足三個條件：

• 不能有數位7
• 數位和不能是7的倍數
• 數自己不能是7的倍數

區間求知足條件平方和。

這裏涉及到一個帶權求和。帶權求和狀態要變一下，表示從這位開始截取，的帶權和。

好比說 \(x=123\)，填好了 \(11*\)，知足條件的數有 \(111\)，\(113\)，\(114\)，\(116\)，\(118\)

帶權和爲 \(1^2+3^2+4^2+6^2+8^2=126\)

爲何要作一步截取呢？由於要方便轉移。考慮轉移，至關於，我先肯定好後面若干位，在它們的前面都填上相同的數字（這裏至關於放上了 \(1\)）

而後填相同的數字能夠看作是加法 （這裏至關於 \(+10\)）

而後平方和，總體加，好作吧：再維護數量和一次方和，設爲 dp[...][0/1/2]，對應數量，和，平方和

設如今總體加的爲 \(a\)，後面一位的 dp[...][0/1/2] 記下來爲 nex[0/1/2]，如今的是 cur[0/1/2]，則有：

cur[0]+=nex[0];
cur[1]+=nex[1]+nex[0]*a;
cur[2]+=nex[2]+2*nex[1]*a+nex[0]*a*a

（就是拆括號搞一下就行）

對於條件：

• 每次不填 \(7\)
• 記錄數位和對 \(7\) 的餘數，放在狀態裏，取 \(0\) 那個狀態
• 記錄整個數對 \(7\) 的餘數，放在狀態裏，取 \(0\) 那個狀態

代碼

當心細節 [SDOI2016]儲能表

求 \(\sum\limits_{i=0}^{n-1} \sum\limits_{j=0}^{m-1} \max(i\oplus j-k,0)\)

\(n,m,k\le 10^{18}\)

後面等價成 \(>k\) 的和，減去 \(>k\) 的數量乘以 \(k\)

拆成二進制，作數位 \(dp\)。記下三個 lim，表示是否卡在 \(n\) 的上界，\(m\) 的上界，\(k\) 的下界 （由於 \(k\) 那邊是個 \(>\) 的限制）

而後上一題相似的求一下帶權和就好了，要維護一下數量和總和。

代碼

複雜度起飛 [AHOI2009]同類分佈

因爲數位 dp 的基本模型只有一個 log，因此能夠帶不少別的

題意：求區間能整除數位和的數的數量

好比 \(12\) 就知足條件由於 \(1+2\) 是 \(12\) 的倍數

\(x\le 10^{18}\)

注意到數位和不會超過 \(9\times 18=162\)

先枚舉數位和 \(k\)，而後 dp 裏設兩維，一維表示當前數位和，一維表示當前數模 \(k\) 的餘數。最後取答案就是 \(\%k=0\)，數位和 \(=k\) 的那個狀態

複雜度是 \((9\times \log n^3)\log n\)，很是暴力

代碼