數位dp

數位DP

經典的數位Dp是要求統計符合限制的數字的個數。

通常的形式是：求區間[n,m]知足限制f(1)、f(2)、f(3)等等的數字的數量是多少。條件 f(i)通常與數的大小無關，而與數的組成有關。

善用不一樣進制來處理，通常問題都是10進制和二進制的數位dp。

數位dp的部分通常都是很套路的，可是有些題目在數位dp外面套了一個華麗的外衣，有時咱們難以看出來。

例題：windy數

                             

 

 

 精華都在代碼的註釋裏呢，好好看吧

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll l,r;
int num[20];
ll f[20][20];/*按照題目定維數*/ 

ll dfs(int i,int last,bool have,bool lim)
/*須要傳遞的各類參數，視題目而定*/
/*本題中分別表示當前到了第幾位，上一位是什麼，
有沒有前導0，有沒有頂上界*/
/*通常須要有的是位數，上界，其餘視狀況而定*/ 
{
    if(i==0) return 1;/*判斷是否已經枚舉完，返回1就表示你枚舉的數是合法的*/ 
    if(!have&&!lim&&f[i][last]!=-1)/*判斷邊界條件以及是否已經搜索過*/ 
     return f[i][last];
    int up=0;/*這一位枚舉的上界*/ 
    if(lim==1) up=num[i];/*上一位頂到上界的話對這一位就有限制*/ 
    else up=9;/*若是上一位沒有頂到上界的話這一位就能夠隨意*/ 
    ll ans=0;
    int op=0;/*表示這一位選擇的數是什麼*/ 
    for(int j=0;j<=up;j++)
    {
        if(abs(j-last)<2) continue;/*判斷不合法條件*/ 
        op=j;
        if(have&&j==0) op=-2;
        ans+=dfs(i-1,op,op==-2,lim&&j==up);/*繼續記搜，必定要注意各類限制條件的傳遞*/ 
    }
    if(!have&&!lim) f[i][last]=ans;/*在必定條件下記錄記搜的答案*/ 
    return ans;
}

ll work(ll x)
{
    memset(num,0,sizeof(num));
    int tot=0;
    while(x)/*把數字的各個位拆到數組中存儲*/ 
    {
        num[++tot]=x%10;
        x/=10;
    }
    memset(f,-1,sizeof(f));
    return dfs(tot,-2,1,1);
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&l,&r);
    printf("%lld",work(r)-work(l-1));/*前綴和思想*/ 
}

 

來看另外一道題

洛谷P4317 花神的數論題

                      

 

 

 

題意就是說求1~n每一個數二進制含有1的個數的乘積

也是數位DP

設f[i][j]表示前i位有j個1的方案數

而後記憶化搜索

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=10000007;
ll n;
ll f[51][51];
int num[51];

ll dfs(int i,int cnt,bool lim)
{
    if(i==0) return max(cnt,1);
    if(!lim&&f[i][cnt]!=-1) return f[i][cnt];
    ll ans=1;
    int up=0;
    if(lim==1) up=num[i];
    else up=1;
    for(int j=0;j<=up;j++)
    {
        ans=(ans*dfs(i-1,j==1?cnt+1:cnt,lim&&j==up))%mod;
    }
    if(!lim&&f[i][cnt]==-1) f[i][cnt]=ans;
    return ans;
}

inline void work(ll x)
{
    int cnt=0;
    while(x)
    {
        num[++cnt]=x%2;
        x/=2;
    }
    cout<<dfs(cnt,0,1);
}

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    memset(f,-1,sizeof(f));
    work(n);
}

 

關於數位dp的經驗

1：注意不少時候帶進去是n==0要特殊處理。

2：還有通常問[m,n]，咱們求[1,n]-[1,m-1]可是有的時候m爲0就炸了。

3：求全部包含49的數，其實就是（總數-全部不包含49的數）。前者的化須要有兩維限制，一個是上一位是什麼，一個是以前有沒有49。可是後 者只須要記一個上一位是什麼。就能好寫一些。

4：通常問題的數位dp部分，都是套路，可是這並不表明它外面「華麗的外衣」和與其餘算法結合的的部分也是無腦的。要看出它是考數位dp，要看出問題怎麼變化一下就是數位dp了。

5：dp初始化memset要置爲-1。不能置爲0！！！！！！由於有不少時候dp值就應該是0，而後咱們若是誤覺得是由於以前沒有計算，從新計算的話，就會tle。

6：既然是記憶化搜索，那就能夠剪枝！！！！可行性剪枝！！

7：注意windy數的狀況，有時前導0也須要記的！！！