電子科技大學《圖論及其應用》複習（史上最全彙總）

時間 2019-12-13

標籤電子科技大學圖論及其應用複習史上彙總简体版

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1、重要概念算法

1. 圖、簡單圖、圖的同構、度序列與圖序列、補圖與自補圖、兩個圖的聯圖、兩個圖的積圖、偶圖
數組

圖：一個圖是一個有序對<V, E>，記爲G=(V, E)，其中： 1) V是一個有限的非空集合，稱爲頂點集合，其元素稱爲頂點或點。用|V|表示頂點數；2) E是由V中的點組成的無序對構成的集合，稱爲邊集，其元素稱爲邊，且同一點對在E中能夠重複出現屢次。用|E|表示邊數

注：圖G 的頂點集記爲V(G)，邊集記爲E(G)。圖G 的頂點數(或階數)和邊數可分別用符號n(G)和m(G)表示閉包

簡單圖：無環無重邊的圖稱爲簡單圖。（除此以外所有都是複合圖）

注：點集與邊集均爲有限集合的圖稱爲有限圖。只有一個頂點而無邊的圖稱爲平凡圖。邊集爲空的圖稱爲空圖spa

圖的同構：設有兩個圖G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)，若在其頂點集合間存在雙射，使得邊之間存在以下關係：設u1↔u2, v1↔v2， u1, v1∈V1，u2, v2∈V2；u1v1∈E1當且僅當u2v2∈E2，且u1v1與u2v2 的重數相同。稱G1與G2同構，記爲G1≌G2
圖的度序列：一個圖G的各個點的度d1, d2,…, dn構成的非負整數組(d1, d2,…, dn)稱爲G的度序列

注：非負整數組(d1, d2,…., dn)是圖的度序列的充分必要條件是：∑di 爲偶數。度序列的斷定問題爲重點！.net

圖的圖序列：一個非負數組若是是某簡單圖的度序列，稱它爲可圖序列，簡稱圖序列
補圖：對於一個簡單圖G=(V, E)，令集合E1={uv|u≠v, u, v∈V}，則圖H=(V，E1\E)稱爲G的補圖
自補圖：若簡單圖G與其補圖同構，則稱G爲自補圖

注：自補圖的性質3d

（1）若n階圖G是自補的(即)，則blog

聯圖：設G1，G2是兩個不相交的圖，做G1+G2，而且將G1中每一個頂點和G2中的每一個頂點鏈接，這樣獲得的新圖稱爲G1與G2的聯圖。記爲G1∨G2
積圖：設G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)是兩個圖，對點集V1×V2中的任意兩個點u=(u1, u2)與v=(v1, v2)，當(u1=v1和u2 adj v2)或(u2=v2和u1 adj v1)時，把u與v相連。如此獲得的新圖稱爲G1與G2的積圖。記爲記爲G1×G2

例如：get

偶圖：所謂具備二分類（X, Y）的偶圖（或二部圖）是指一個圖，它的點集能夠分解爲兩個非空子集X和Y，使得每條邊的一個端點在X中，另外一個端點在Y中

注：偶圖的斷定定理：一個圖是偶圖當且當它不包含奇圈it

2. 樹、森林、生成樹、最小生成樹、根樹、徹底m元樹
基礎

樹：不含圈的圖稱爲無圈圖，樹是連通的無圈圖

注：一、設G是具備n個點m條邊的圖，則下列命題等價：

（1）G 是樹

（2）G 無環且任意兩個不一樣點之間存在惟一的路

（3）G 連通，刪去任一邊便不連通

（4）G 連通，且 n = m + 1

（5）G 無圈，且 n = m + 1

（6）G 無圈，添加任何一條邊可得惟一的圈

二、幾個結論

（1）樹和森林都是簡單圖

（2）樹和森林都是偶圖

（3）每棵非平凡樹至少含有兩片樹葉

（4）樹是含有邊數最少的連通圖，成爲最小連通圖

（5）樹是含有邊數最多的無圈圖

（6）假定（n,m）圖G是由k棵樹組成的森林，則m=n-k

（7）若G是樹，且最大度大於等於k，則G至少有k片葉子

森林：無圈圖G爲森林
最小生成樹：圖G的一個生成子圖T若是是樹，稱它爲G的一棵生成樹；若T爲森林，稱它爲G的一個生成森林。生成樹的邊稱爲樹枝，G中非生成樹的邊稱爲弦

注：最小生成樹的求法：Kruskal算法、破圈法、Prim算法

根樹：一棵非平凡的有向樹T，若是恰有一個頂點的入度爲0，而其他全部頂點的入度爲1，這樣的有向樹稱爲根樹。其中入度爲0的點稱爲樹根，出度爲0的點稱爲樹葉，入度爲1，出度大於1的點稱爲內點。又將內點和樹根統稱爲分支點
m元徹底樹：對於根樹T，若每一個分支點至多m個兒子，稱該根樹爲m元根樹；若每一個分支點恰有m個兒子，稱它爲徹底m元樹

注：

3. 途徑(閉途徑)、跡(閉跡)、路(圈)、最短路、連通圖、連通分支、點連通度與邊連通度

途徑（閉途徑）:給定圖G = (V, E)，w =v0e1v1e2…ekvk是G中點邊交替組成的序列，其中vi∈V，ei∈E，若w知足ei的端點爲vi-1與vi，則稱w爲一條從頂點v0到頂點vk的途徑（或通道或通路)，簡稱(v0, vk)途徑。頂點v0和vk分別稱爲w的起點和終點，其餘點稱爲內部點，途徑中的邊數稱爲它的長度。起點和終點相同的途徑就稱爲閉途徑（環遊）
跡（閉跡）:邊不重複的途徑稱爲跡,起點終點相同的跡爲閉跡（迴路）
路（圈）：點不重複的跡稱爲路，起點終點相同的路成爲圈
最短路：鏈接u、v的長度最短的路的長度，也稱u與v的距離，記做d（u，v）
連通圖：若是圖G中任意兩個點都是連通的，則G爲連通圖
連通分支：在非連通圖G中，每個極大的連通部分爲G的連通分支，G的連通分支的個數，稱爲G 的分支數，記爲ω(G)。
點連通度：對n階非平凡連通圖G，若G存在頂點割，則稱G的最小頂點割中的點數爲G的連通度；不然稱n-1爲其連通度。G的連通度符號表示爲κ(G)，簡記爲κ；非連通圖或平凡圖的連通度定義爲0。
邊連通度：設G爲連通圖，稱使G-E ′不連通的G的邊子集E ′爲G的邊割，含有k條邊的邊割稱爲k邊割。邊數最少的邊割稱爲最小邊割

注：一、幾個結論

（1）若圖中兩個不一樣點u與v間存在途徑，則u與v間必存在路；若過點u存在閉跡，則過點u必存在圈。

（2）若過點u存在閉途徑，則過點u不必定存在圈。

（3）在n(n≥2)階連通圖中，至少有n-1條邊；若是邊數大於n-1，至少有個圈

（4）若一個圖G中的最小度大於等於2，則G中必然有圈

（5）若圖G是不連通的，則其補圖必定是連通圖

（6）設圖G爲n階圖，若G中任意兩個不相鄰頂點u與v知足d(u)+d(v)≥n-1，則G是連通圖且d(G)≤2

（7）若G是非平凡連通圖，則v是G的割點當且僅當{v}是G的1頂點割

（8）徹底圖沒有頂點割，實際上也只有以徹底圖爲生成子圖的圖沒有頂點割

（9）κ(Kn)=n-1；κ(Cn)=2，其中Cn爲n圈，n≥3

（10）非平凡連通圖均是1連通的；圖G是2連通的當且僅當G連通、無割點且至少含有3個點；K2連通、無割點、但連通度爲1

（11）非連通圖或平凡圖的邊連通度定義爲0

（12）λ(Kn)=n-1；λ(Cn)=2，其中Cn爲n圈，n≥2

（13）非平凡連通圖均是1邊連通的；圖G是2邊連通的當且僅當G連通、無割邊且至少含有兩個點

（14）對任意的圖G，有κ(G)≤λ(G)≤δ(G)

（15）設G是具備m條邊的n階連通圖，則

（16）設G是n階簡單圖，若δ(G)大於等於(n/2)向下取整，則G必連通

（17）設G是n階簡單圖，對正整數k<n，若，G是k連通的

（18）設G是n階簡單圖，若δ(G)≥（n/2）向下取整，則λ(G)=δ(G)

4. 歐拉圖、歐拉環遊、歐拉跡、哈密爾頓圈、哈密爾頓圖、哈密爾頓路、中國郵遞員問題、最優H圈

歐拉圖：對於連通圖G，若是G中存在通過每條邊的閉跡，則稱G爲歐拉圖，簡稱G爲E圖
歐拉環遊：歐拉閉跡又稱爲歐拉環遊，或歐拉回路
歐拉跡：對於連通圖G，若是G中存在通過每條邊的跡，則稱該跡爲G的一條歐拉跡
哈密爾頓圖：若是通過圖G的每一個頂點剛好一次後可以回到出發點，即存在H圈的圖稱爲哈密爾頓圖，簡稱H圖
哈密爾頓圈：通過圖中每一個點僅一次的圈是哈密爾頓圈
哈密爾頓路：圖G的通過每一個頂點的路稱爲哈密爾頓路
中國郵遞員問題：圖論模型爲在一個連通的具備非負權的賦權圖G中找一條包含每條邊 (容許重複) 且邊權之和最小的閉途徑，稱之爲最優環遊。

注：

（1）若圖G是一個歐拉圖，則找出G的歐拉回路便可。

（2）對通常圖，其解法爲：添加劇復邊以使G成爲歐拉圖G*，並使添加的重複邊的邊權之和爲最小，再求G*的歐拉回路。

（3）

最優H圈（旅行售貨員問題）：圖論模型：在賦權徹底圖G中求具備最小權的哈密爾頓圈，這個圈稱爲最優圈。採用邊交換技術求解最優H圈，詳情見PPT

5. 匹配、最大匹配、完美匹配、最優匹配、因子分解

匹配：若是M是圖G的邊子集(不含環)，且M中的任意兩條邊沒有共同頂點，則稱M是G的一個匹配或邊獨立集
最大匹配：若是M是圖G的包含邊數最多的匹配，稱M是G的一個最大匹配
完美匹配：若最大匹配飽和了G的全部頂點，稱它爲G的一個完美匹配
最優匹配：設G=(X, Y)是邊賦權徹底偶圖，G中的一個權值最大的完美匹配稱爲G的最優匹配
因子分解：所謂一個圖G的因子分解，是指把圖G分解爲若干個邊不重的因子之並。k-因子分解：每一個因子均爲k-因子的因子分解，此時稱G自己是k-可因子化的

注：一、匹配、飽和點與非飽和點：設M是圖G的邊子集，若任意的e∈M，e 都不是環，且屬於M的邊互不相鄰，則稱M爲G的一個匹配。設M爲 G的一個匹配，對v∈V(G)，若v是M中某邊的一個端點，則稱v爲M飽和點，不然稱爲M非飽和點

　　二、

　　三、完美匹配必是最大匹配，而最大匹配不必定是完美匹配；最大匹配必存在，但完美匹配不必定存在；G存在完美匹配的一個必要條件是G的點數必然爲偶數

　　四、交錯路與可擴路：設M爲圖G的一個匹配，G的M交錯路是指G中由M中的邊與非M中的邊交替組成的路。 M可擴路是指其起點與終點均爲M非飽和點的M交錯路

　　五、的完美匹配的個數分別爲：（2n-1）!!、n！

　　六、覆蓋：圖G的一個覆蓋是指V(G)的一個子集K，使得G的每條邊都至少有一個端點在K中。G中點數最少的覆蓋稱爲G的最小覆蓋

　　七、設K是G的覆蓋，M是G的匹配，因爲M中的邊互不相鄰，若要覆蓋中M中的邊，至少須要|M|個頂點，因此|M| ≤ |K|。特別地，若M*是最大匹配，且是最小覆蓋，則

　　八、設M是匹配，K是覆蓋，若|M| = |K|，則M是最大匹配,且K是最小覆蓋

　　九、在偶圖中，最大匹配中的邊數等於最小覆蓋中的點數

　　十、因子：圖G的一個因子是指至少包含G的一條邊的生成子圖，即非空的生成子圖就是一個因子(G的生成子圖是指知足V(H) =V(G)的子圖H)

　　十一、k-因子指k正則的因子

6.平面圖、極大平面圖、極大外平面圖、平面圖的對偶圖

平面圖：若是能把圖G畫在平面上，使得除頂點外，邊與邊之間沒有交叉，稱G能夠嵌入平面，或稱G是可平面圖。可平面圖G的邊不交叉的一種畫法，稱爲G的一種平面嵌入，G的平面嵌入表示的圖稱爲平面圖
極大平面圖：設G是簡單可平面圖，若是G是Ki (1≤i≤4)，或者在G的任意非鄰接頂點間添加一條邊後，獲得的圖均是非可平面圖，則稱G是極大可平面圖。極大可平面圖的平面嵌入稱爲極大平面圖
極大外平面圖：若一個可平面圖G存在一種平面嵌入，使得其全部頂點均在某個面的邊界上，稱該圖爲外可平面圖。外可平面圖的一種外平面嵌入，稱爲外平面圖
平面圖的對偶圖：給定平面圖G，G的對偶圖G*以下構造：1) 在G的每一個面fi內取一個點vi*做爲G*的一個頂點；2) 對G的一條邊e，若e 是面 fi 與 fj 的公共邊，則鏈接vi*與vj*，且連線穿過邊e；若e是面fi中的割邊，則以vi爲頂點做環，且讓它與e相交

注：一、設 f 是G的一個面，構成 f 的邊界的邊數(割邊計算2次)稱爲面 f 的次數，記爲deg( f )

　　二、

　　三、設G是具備m條邊的平面圖，則

　　四、設G是具備n個點，m 條邊，φ個面的連通平面圖，則有n–m+φ=2

　　五、設G是具備n個點，m條邊，φ個面，k個連通分支的平面圖，則

　　六、設G是具備n個點，m條邊，φ個面的連通平面圖，若是對G的每一個面f，有deg(f )≥ l ≥3，則(注意：G是平面圖的必要條件，不是充分條件)

　　七、設G是具備n個點，m條邊的簡單平面圖且n≥3，則

　　八、若G是簡單平面圖，則δ≤5

　　九、一個連通平面圖G是2連通的當且僅當G的每一個面的邊界是圈

　　十、一個圖可嵌入平面當且僅當它可嵌入球面

　　十一、設G是極大平面圖，則G必連通；若G的階數至少等於3，則G無割邊

　　十二、設G是至少有3個頂點的平面圖，則G是極大平面圖的充分必要條件爲G中各面的次數均爲3且爲簡單圖(極大平面圖的三角形特徵，即每一個面的邊界爲三角形)

　　1三、設G是一個有n個點，m條邊，φ個面的極大平面圖，且n≥3，則(1) m=3n–6(2) φ=2n–4

　　1四、若是在不可平面圖G中任意刪去一條邊所得的圖爲可平面圖，則稱G爲極小不可平面圖。例如K5和K3,3

　　1五、設 G 是一個有 n (n≥3)個點，且全部點均在外部面上的外平面圖，則G是極大外平面圖當且僅當其外部面的邊界是圈，內部面是三角形

　　1六、設G是一個階數爲n (n≥4)且全部點均在外部面上的極大外平面圖，則G中存在兩個度數均爲2且不相鄰的點

　　1七、設G是一個有n (n≥3)個點，且全部點均在外部面上的極大外平面圖，則G有n–2個內部面

　　1八、設G是一個具備n (n≥4)個點，m條邊的簡單連通外平面圖。若G不含三角形，則m≤(3n–4)/2

　　1九、每一個至少有7個頂點的外可平面圖的補圖不是外可平面圖，且7是這個數目的最小者

　　20、圖G是可平面的當且僅當它不含與K5或K3,3同胚的子圖

7.邊色數、點色數、色多項式

邊色數：設G是圖，對G進行正常邊着色須要的最少顏色數，稱爲G的邊色數，記爲χ'(G)
點色數：對圖G正常頂點着色須要的最少顏色數，稱爲圖G的點色數，用χ(G)表示
色多項式：對圖進行正常頂點着色，其方式數Pk(G)是k的多項式，稱爲圖G的色多項式

注：

　　一、邊着色/k邊可着色：設G是圖，對G的邊進行着色，若相鄰邊着不一樣顏色，則稱對G進行正常邊着色；若是能用k種顏色對圖G 進行正常邊着色，稱G是k邊可着色的

　　二、在任何正常邊着色中，與任一頂點關聯的各邊必須着不一樣色，由此推知：對無環圖

　　三、Km,n的一個正常邊着色爲 χ′(Km, n)=Δ

　　四、設G是非空的簡單圖。若G中恰有一個度爲Δ(G)的點，或G中恰有兩個度爲Δ(G)的點而且這兩個點相鄰，則χ′(G)=Δ(G)

　　五、設圖G=(V, E)是n階簡單圖，若n=2k+1且邊數m>kΔ，則χ′=Δ+1

　　六、設G是奇階Δ正則簡單圖。若Δ>0，則 χ′=Δ+1

　　七、對任意的無環圖G，均有χ ≤Δ+1

　　八、設G是簡單連通圖。假定G既不是徹底圖又不是奇圈，則χ ≤ Δ

　　九、設G是非空簡單圖，若G中度數最大的點互不相鄰，則

　　十、對任意的簡單平面圖，均有χ≤5

　　十一、若k<χ(G)，則Pk(G)=0； χ(G)=min{k | Pk(G)≥1}

　　十二、若G爲n階空圖，則Pk(G)=k^n

　　1三、

　　1四、若圖G含有n個孤立點，則Pk(G)=k^n*Pk(G′)，其中G′是 G去掉n個孤立點後所得的圖

　　1五、若圖G有環或有重邊，則去掉環並將重邊用單邊代替之後所得圖的k着色數目與原圖同樣

　　1六、設e=uv是圖G的一條邊，而且d(u)=1，則 Pk(G)=(k-1)Pk(G-u)

　　1七、對n階簡單圖G，Pk (G)是k的整係數n次多項式，首項爲k^n，常數項爲零，而且各項係數的符號正負相間

8.強連通圖、單向連通圖、弱連通圖

強連通圖：若D的中任意兩點是雙向連通的，稱D是強連通圖
單向連通圖：若D中任意兩點是單向連通的，稱D是單向連通圖
弱連通圖：若D的基礎圖是連通的，稱D是弱連通圖

注：一、有向圖D=(V, E)是強連通的當且僅當D中存在含有全部頂點的有向閉途徑

　　二、設D'是有向圖D=(V, E)的一個子圖。若是D'是強連通的(單向連通的、弱連通的)，且D中不存在真包含D'的子圖是強連通的(單向連通的、弱連通的)，則稱D'是D的一個強連通分支(單向連通分支、弱連通分支)

　　三、有向圖D=(V, E)的每一個點位於且僅位於D的一個強(弱)連通分支中

　　四、若G是2邊連通的，則G存在強連通定向圖

　　五、如有向圖D的基礎圖是樹，則稱D爲有向樹

　　六、恰有一個頂點的入度爲0，其他頂點的入度均爲1的非平凡是有向樹稱爲根樹。根樹中入度爲0的頂點稱爲樹根，出度爲0的頂點稱爲樹葉，其他點稱爲內點，內點和根統稱爲分支點。

　　七、根樹T中，若每一個分支點至多有m個兒子，則稱T爲m元樹；若每一個分支點恰有m個兒子，則稱T爲m元徹底樹

　　八、設m元徹底樹T的樹葉數爲t，分支點數爲i，則(m-1)i=t-1

2、重要結論

一、握手定理及其推論

定理1 圖G中全部頂點的度數和等於邊數的2倍。

推論1 在任何圖中，奇點個數爲偶數。

推論2 正則圖的階數和度數不一樣時爲奇數。

二、Turan定理

定理2 若n階簡單圖G不包含，則G度弱於某個徹底l 部圖 H，且若G具備與H相同的度序列，則G≌H

三、樹的性質

定理3 設T是(n, m)樹，則m=n-1

四、最小生成樹算法

Kruskal算法，Prim算法，破圈法。

五、偶圖斷定定理

定理4 圖G是偶圖當且僅當G中沒有奇圈

六、Menger定理

定理5 (1) 設x與y是圖G中的兩個不相鄰點，則G中分離點x與y的最小點數等於獨立的(x, y)路的最大數目；(2) 設x與y是圖G中的兩個不相鄰點，則G中分離點x與y的最小邊數等於G中邊不重的(x, y)路的最大數目。

七、歐拉圖、歐拉跡的斷定

定理6 下列命題對於非平凡連通圖G是等價的：
(1) G是歐拉圖；
(2) G的頂點度數爲偶數；
(3) G的邊集合能劃分爲圈。

推論連通非歐拉圖G存在歐拉跡當且僅當G中只有兩個頂點度數爲奇數。

八、H圖的斷定

定理7 (必要條件) 若G爲H圖，則對V(G)的任一非空頂點子集S，成立：ω(G－S) ≤|S|。

定理8 (充分條件) 對於n≥3的簡單圖G，若是δ(G) ≥n/2，則G是H圖。

定理9 (充分條件) 對於n≥3的簡單圖G，若是G中的任意兩個不相鄰頂點u與v，有d(u)+d(v) ≥n，則G是H圖。

定理10 (閉包定理) 圖G是H圖當且僅當它的閉包是H圖。

定理11 (度序列斷定法) 設簡單圖G的度序列是(d1, d2,…,dn)，其中d1≤d2≤…≤dn，而且n≥3。若對任意的m<n/2，或者，或者，則G是H圖。

定理12 設G是n階簡單圖。若n≥3且則G是H圖；而且具備n個頂點條邊的非H圖只有C1,n以及C2,5

九、偶圖匹配與因子分解

定理13 設G=(X, Y)是偶圖，則G存在飽和X的每一個頂點的匹配的充要條件是：

推論若G是k (k>0)正則偶圖，則G存在完美匹配。

定理14 在偶圖中，最大匹配的邊數等於最小覆蓋的頂點數。

定理15 K2n可一因子分解。

定理16 具備H圈的三正則圖可一因子分解。

定理17 K2n+1可2因子分解。

定理18 K2n可分解爲一個1因子和n-1個2因子之和。

定理19 每一個沒有割邊的3正則圖是一個1因子和1個2因子之和。

十、平面圖及其對偶圖

1)平面圖的次數公式

定理20 設G是平面圖，則次數之和等於2倍的邊數。

2)平面圖的歐拉公式

定理21 (歐拉公式) 設G=(n, m)是連通平面圖， φ是G的面數，則n-m+φ=2。

3)幾個重要推論

推論1 設G是具備n個點m條邊φ個面的連通平面圖，若是對G的每一個面f，有deg (f )≥l ≥3，則：

推論2 設G=(n,m)是簡單平面圖，則m≤3n-6。

推論3 設G是簡單平面圖，則δ(G)≤5。

注：推論2的證實

4)對偶圖的性質

定理22 平面圖G的對偶圖必然連通。

5)極大平面圖的性質

定理23 設G是至少有3個頂點的平面圖，則G是極大平面圖，當且僅當G的每一個面的次數是3且爲簡單圖。

十一、着色問題

1)邊着色

定理24 徹底二部圖的邊色數等於頂點度數的最大值。

定理25 二部圖的邊色數等於頂點度數的最大值。

定理26 若G是簡單圖，則邊色數要麼爲最大度，要麼等於最大度+1。

定理27 設G是簡單圖且Δ(G)>0。若G中只有一個最大度點或恰有兩個相鄰的最大度點，則邊色數等於最大度。

定理28 設G是簡單圖。若點數n=2k+1且邊數m>kΔ，則邊色數等於最大度+1。

定理29 設G是奇數階Δ正則簡單圖，若Δ>0，則邊色數等於最大度+1。

2)點着色

定理30 對任意的圖G，

定理31 若G是連通的簡單圖，而且它既不是奇圈，又不是徹底圖，則。

3)色多項式

a)遞推計數法

定理32 設G爲簡單圖，則對任意e∈E(G)，有

b)、理想子圖計數方法

12根樹問題

定理32 在徹底m元樹T中，若樹葉數爲t，分支點數爲i，則(m-1)i = t-1。

Note：以上爲暫時的所有總結，在近些天覆習的過程當中發現漏洞會及時填補。

補充內容

一、關於正則與徹底圖的一些理解：k正則圖，指的是每一個點都有k度，n階k正則圖就是n個頂點的度數都爲k，而徹底圖是最大的正則，所以徹底圖中每一個頂點的度數爲n-1，爲n-1正則圖。

二、鄰接矩陣的概念

定義設n階標定圖G = (V, E)，V = {v1, v2,…, vn}，則G的鄰接矩陣是一個n×n 矩陣A(G) = [ aij ] (簡記爲A)，其中若 vi鄰接vj，則aij =1；不然aij =0

若aij 取爲鏈接vi與vj 的邊的數目，則稱A爲推廣的鄰接矩陣。

性質：鄰接矩陣是一個對稱方陣；簡單標定圖的鄰接矩陣的各行 (列) 元素之和是該行 (列) 對應的點的度

定理令G是一個有推廣鄰接矩陣A的 p階標定圖，則An的i 行 j 列元素aij(n)等於由vi到vj的長度爲n的通道的數目

推論設A爲簡單圖G的鄰接矩陣，則(1) 的元素是 vi 的度數。A3 的元素是含 vi 的三角形的數目的兩倍 (2) 若G是連通的，對於i≠j，vi 與vj 之間的距離是使An 的aij(n) ≠0 的最小整數n

三、l部圖概念及特徵

定義若簡單圖G的點集V有一個劃分：且全部的Vi 非空，Vi 內的點均不鄰接，稱G是一個 l 部圖。

定義若是在一個l 部圖G中, |Vi|=ni, 任何兩點u∈Vi , v∈Vj , i ≠ j , i, j =1, 2,…, l 均鄰接，則稱G爲徹底l 部圖。記做

四、生成樹：若圖G的生成子圖T是樹，則稱T爲G的生成樹；若T爲森林，稱它是G的生成森林。生成樹的邊稱爲樹枝，G中非生成樹的邊稱爲弦。

定理每一個連通圖至少包含一棵生成樹

計數：用τ(G) 表示G的生成樹的個數，

　　一個定理：

五、單調不增正整數序列(d1, d2,…, dn)是一棵非平凡樹的度序列當且僅當∑ di=2(n-1)

六、

七、簡單圖必定存在度數相同的頂點

八、k正則二部圖（k正則偶圖）G的相關結論：

　　（1）若k≥2，則G無割邊

（2）存在完美匹配

（3）可1-因子化

九、彼得森圖：，其相關結論有：

點連通度爲3，邊連通度爲3
是一個3正則圖
點色數爲3，邊色數爲4
半徑與直徑均爲2
不是H圖（刪去任意頂點後爲H圖）
是不可平面圖
存在完美匹配
雖然該圖無割邊，但也不可1-因子分解（3正則圖有割邊，不能1-因子分解）
是一個1-因子和一個2-因子的並

十、歐拉圖相關等價命題：

每一個點的度爲偶數
是連通圖
邊集能夠劃分爲邊不重的圈的並

十一、歐拉跡相關結論：

連通圖存在歐拉跡當且僅當G最多有兩個奇度頂點
有向圖中存在歐拉跡，當且僅當D連通且除了兩個點外，每一個點出度與入度相等。而這兩個點中，一個點入度比出度大1，另外一個點出度比入度大1

十二、徹底偶圖：是指具備二分類(X, Y )的簡單偶圖，其中X的每一個頂點與Y 的每一個頂點相連，若 |X|=m，|Y|=n，則這樣的偶圖記爲

1三、相關結論（從平時做業中的選擇題提煉出來）：

有割邊的圖不必定有割點，好比K2
有割點的圖不必定有割邊，好比8字形的圖
割點至少屬於圖的兩個塊
割邊不在圖的任意一個圈之中
階數至少是3的連通圖中，圖的割點也是子圖的割點
G爲n階簡單圖，若δ(G) ≥n/2，則G連通且λ(G)=δ(G)
非平凡樹不必定存在割點，但必定存在割邊，好比K2
徹底圖不必定沒有割邊，好比K2
2連通圖必定沒有割邊
若圖G是塊，則塊中不必定有圈，好比K2；塊中不必定無環，好比自環
非平凡樹T，最多包含一個完美匹配
非平凡樹T是隻有一個面（外平面）的平面圖
非平凡樹T的對偶圖不必定是簡單圖，好比K2的對偶圖爲自環，自環不是簡單圖
無割邊的三正則圖必定存在完美匹配，有割邊的三正則圖不必定有完美匹配
有完美匹配的三正則圖不必定沒有割邊
三正則哈密爾頓圖存在完美匹配，可1-因子分解
任意非平凡正則偶圖包含完美匹配且可以1-因子分解
只有一個面的連通平面圖必定是樹
存在一種方法，總能夠把平面圖中任意一個內部面轉爲外部面
無環圖是2連通的平面圖，必定不包含割點，同時不包含割邊，必定不包含只屬於一個面的邊，邊界均爲圈
若（n,m）圖是極大外平面圖且n大於等於3，則m=2n-3
階數至少爲3的極大外平面圖必定是H圖

1四、塊的定義：沒有割點的連通圖稱爲塊圖，簡稱塊。若圖G的子圖B是塊，且G中沒有真包含B的子圖也是塊，則稱B是G的塊

　　相關性質：

僅有一條邊的塊，要麼是割邊，要麼是環
僅有一個點的塊，不是孤立點就是自環
至少兩個點的塊無環
階數至少爲3的塊無割邊
階數至少爲3的塊中的任意兩點都位於同一個圈上
階數至少爲3的塊中的任意兩條邊都在同一個圈上

1五、歐拉圖的相關結論：

必定是連通圖
歐拉圖不必定沒有割點，好比8字形的圖
歐拉圖必定沒有割邊
非平凡的歐拉圖中必定有圈
至少具備兩個點的無環歐拉圖必定是2邊連通的

1六、閉圖：在n階簡單圖G中，若對d(u)+d(v)≥n的任何一對點u和v都是相鄰的，則稱G是閉圖

1七、閉包：若一個與G 有相同點集的閉圖 Ĝ，使GĜ，且對異於Ĝ的任何圖H，如有GHĜ，則H不是閉圖，則稱Ĝ是G的閉包

1八、H圖相關結論：（舉反例想到長度爲５的圈）

必定沒有割邊
不必定沒有割點，好比H圖+自環（也是H圖，而自環讓該點成爲了割點）
一個簡單圖是H圖當且僅當它的閉包是H圖
G是n≥3的簡單圖，若G的閉包是徹底圖，則G是H圖
若G是階數至少爲3的簡單圖，其中任何兩個不鄰接的點u和v均有d(u)+d(v)≥n，則 G是H圖
若G是階數至少爲3的簡單圖，若G中每一個點的度d(v)≥n/2，則G是H圖
圖G的閉包是Kn，則G是H圖
G爲階數至少爲3的非H的簡單圖，G度弱於某個Cm,n圖（度極大的H圖）
H圖不必定是徹底圖，好比長度爲5的圈
G爲階數至少爲3的H簡單圖，若n爲奇數，則G必定不是偶圖

1九、G爲n階簡單圖，若任意兩個頂點存在d(u)+d(v)大於等於n-1，則該圖G存在H路

20、n方體：超立方體Qn簡稱爲n方體，。其構造方式爲：n方體有2^n個頂點，每一個頂點能夠用長度爲n的二進制碼來表示，兩個頂點連線當且僅當表明兩個頂點的二進制碼只有一位座標不一樣

　　其相關結論有：

　　
每一個n方體都有完美匹配（n大於等於1）

2一、因子分解相關結論

若G有一個1-因子(其邊集爲完美匹配)，則顯然G的階數是偶數。因此，奇數階圖不能有1-因子。
徹底圖是能夠1-因子化
k正則偶圖(k>0)是1-可因子化
具備Hamilton圈的3正則圖是1-可因子化的（注意：1-可因子分解的3正則圖不必定有Hamilton圈）
若3正則圖有割邊，則不可1-因子分解（注意：無割邊的3正則圖可能也沒有1-因子分解，好比彼得森圖）
K4有惟一的1-因子分解
一個圖2-可因子化，則每一個2-因子是邊不重圈的並
2-可因子化的圖的全部點的度必定是偶數，因此徹底圖不是2-可因子化的
若一個2-因子是連通的，則它是一個H圈
圖是n個H圈的並
徹底圖是一個1-因子和n-1個H圈的並
每個沒有割邊的3正則圖是一個1-因子和一個2-因子的並
若沒有割邊的3正則圖中的2-因子是一些偶圈，則該圖也是1-可因子化的
一個連通圖是2-可因子化的當且僅當它是偶數度正則圖
的不一樣1-因子數目爲(2n-1)!!

2二、存在且只存在5種正多面體：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體

2三、一個有n個頂點，m條棱和φ個面的凸多面體的棱數與面數知足：n–m+φ=2。設每一個面的次數爲l，每一個點的度數爲r，則

2四、對偶圖相關結論：

平面圖G的對偶圖G*也是平面圖，且G*的點數 = G的面數；G*的邊數 = G的邊數；G*的面數 = G的點數 (G連通)；d(vi*) = deg ( fi )
設G*是平面圖G的對偶圖，則G*必連通
假定G是平面圖，則(G*)* = G當且僅當G是連通圖
若G1≌G2，在通常條件下，只存在非同構的對偶圖G1*與G2*

2五、2度頂點的擴充與收縮：在圖G的邊上插入一個新的2度頂點，使一條邊分紅兩條邊，則稱將圖G在2度頂點內擴充；去掉圖G的一個2度頂點，使這個2度頂點關聯的兩條邊合成一條邊，則稱將G在2度頂點內收縮

　　同胚：兩個圖G1和G2，若是G1≌G2，或者經過反覆在2度頂點內擴充和收縮它們能變成同構的，則稱G1和G2是同胚的或G1和G2在2度頂點內是同構的

2六、初等收縮/收縮邊uv運算：設uv是簡單圖G的一條邊。去掉該邊，重合其端點，再刪去由此產生的環和重邊。這一過程稱爲圖G的初等收縮或收縮邊uv運算，並記所得之圖爲G/uv。一個圖G可收縮到H，是指H可從G經過一系列初等收縮而獲得

2七、基礎簡單圖：給定圖G，去掉G中的環(如有的話)，將G中的重邊(如有的話)用單邊代替，稱這樣所得的圖爲G的基礎簡單圖

　　與可平面性的關係：（1）圖G是可平面圖當且僅當其基礎簡單圖是可平面圖（2）圖G是可平面圖當且僅當它的每一個塊是可平面圖

2八、瓦格納定理（平面圖的斷定定理）：簡單圖G是可平面圖當且僅當它不含可收縮到K5或K3,3的子圖（仍是必要條件，不是充要條件）

2九、臨界圖：若對圖G的任意真子圖H都有χ(H)< χ(G)，則稱G是臨界圖；色數爲k的臨界圖稱爲k臨界圖

　　相關性質：k色圖均有k臨界子圖；每一個臨界圖均爲簡單連通圖；若G是k臨界圖，則δ≥k-1；臨界圖沒有割點

30、每一個k色圖至少有k個度不小於k-1的頂點

3一、惟一可着色圖：設簡單標號圖G的色數是k，若是在任意的k正常點着色方案下，導出的頂點集合劃分惟一，稱G是惟一k可着色圖，簡稱惟一可着色圖

　　相關結論：

δ≥k-1；
在G的任意一種k着色中，G的任意兩個色組的並導出的子圖是連通的；
每一個惟一k (k≥2)可着色圖是(k-1)連通的；
設G是惟一n(n≥2)可着色圖，π是任意一種n着色方案，則由π的任意k個色組導出的子圖是(k-1)連通的
惟一1可着色圖是空圖
惟一2可着色圖是連通的偶圖
每一個惟一4可着色可平面圖都是極大可平面圖

3二、團：圖G的一個團是指G的頂點子集S，使得導出子圖G[S]是徹底圖。G的k團是指G的含k個點的團；G的最大團的點數稱爲G的團數記爲cl(G)，即cl(G)=max{|S| | S是G的團}。圖G的色數與團數的關係爲

3三、完美圖：設G是一個圖，若對G的每一個點導出子圖H，均有 χ(H)=cl(H)，則稱G爲完美圖。圖G是完美圖當且僅當G的補圖是完美圖

　　相關結論：

徹底圖、偶圖均爲完美圖，而不含三角形但含奇圈的圖不是完美圖
偶圖的補圖是完美圖
長度至少爲5的奇圈及其補圖均不是完美圖

3四、理想子圖：設H是圖G的生成子圖。若H的每一個分支均爲徹底圖，則稱H是G的一個理想子圖。用Nr (G)表示G的具備r個分支的理想子圖的個數。設G是具備n個點m條邊的圖，則有(1) Nn(G)=1;

　　(2) Nn-1(G)=m;(3) 若k<ω(G)，則Nk(G)=0

3五、獨立數:一個圖的點獨立集，簡稱獨立集，是指圖中一些互不相鄰的點構成的點子集。圖G中含點數最多的獨立集稱爲G的最大獨立集；最大獨立集所含的頂點數稱爲G的點獨立數，簡稱獨立數，記爲α(G)，簡記爲α

3六、圖G的最大獨立集中包含的頂點個數與G的最小覆蓋中包含的頂點個數之和等於G的階數

3七、覆蓋數：G的一個包含頂點數最少的覆蓋稱爲G的最小覆蓋。G的最小覆蓋包含的頂點數，稱爲G的點覆蓋數，簡稱覆蓋數，記爲β(G)

3八、拉姆齊數：設m和n是兩個正整數，令R(m, n)是最小的正整數l使得任意的l階圖要麼包含m個頂點的團，要麼包含n個頂點的獨立集。R(m, n)稱爲(m, n)Ramsey數。R(2, n)=n，R(3, 3)=6，

　　R(m, n)=R(n, m)，R(1, n)=R(n, 1)=1

3九、高爲h的徹底二元樹至少有h+1片樹葉

40、最優樹：設T是一棵有t片樹葉的二元樹，若對T的全部t片樹葉賦以權值(實數) w1, w2,…, wt，則稱T爲帶權二元樹；若帶有權wi的樹葉的層數爲l(wi)，則稱爲T的權，給定實數w1, w2,…, wt，在全部樹葉帶有權w1, w2,…, wt 的二元樹中，W(T)最小的二元樹稱爲最優樹。

4一、頻序列：設n階圖G 的各點的度取s個不一樣的非負整數d1, d2,…, ds。又設度爲di的點有bi個(∑bi=n)，則稱 (b1, b2,…, bs) 爲G的頻序列

　　相關結論：