牛客小白月賽12 F 華華開始學信息學 （分塊+樹狀數組）

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來源：牛客網

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64bit IO Format: %lld

題目描述

由於上次在月月面前丟人了，因此華華決定開始學信息學。十分鐘後，他就開始學樹狀數組了。這是一道樹狀數組的入門題：

給定一個長度爲N的序列A，全部元素初值爲0。接下來有M次操做或詢問：
操做：輸入格式：1 D K，將 ADAD加上K。
詢問：輸入格式：2 L R，詢問區間和，即∑Ri=LAi∑i=LRAi。

華華很快就學會了樹狀數組並經過了這道題。月月也很喜歡樹狀數組，因而給華華出了一道進階題：
給定一個長度爲N的序列A，全部元素初值爲0。接下來有M次操做或詢問：
操做：輸入格式：1 D K，對於全部知足 1≤i≤N1≤i≤N且i≡0(modD)i≡0(modD)的i，將AiAi加上K。
詢問：輸入格式：2 L R，詢問區間和，即∑Ri=LAi∑i=LRAi。
華華是個newbie，怎麼可能會這樣的題？不過你應該會吧。

輸入描述:

第一行兩個正整數N、M表示序列的長度和操做詢問的總次數。
接下來M行每行三個正整數，表示一個操做或詢問。

輸出描述:

對於每一個詢問，輸出一個非負整數表示答案。

示例1

輸入

複製

10 6
1 1 1
2 4 6
1 3 2
2 5 7
1 6 10
2 1 10

輸出

複製

3
5
26

備註:

1≤N,M≤1051≤N,M≤105，1≤D≤N1≤D≤N，1≤L≤R≤N1≤L≤R≤N，1≤K≤1081≤K≤108


解題思路：首先對於詢問區間和咱們能夠很容易想到須要創建一個樹狀數組，可是對於更新操做卻有點棘手，對於全部知足1≤i≤N且i≡0(modD)的i，將Ai加上K，即須要使下標爲D的倍數的數加上a[i],而這些數基本遍及整個區間[1,n]，特別是當D很小時，複雜度越高。
可是咱們能夠發現對於D比較小的狀況，這類狀況也比較有限。好比當D大於sqrt(n)時，咱們所要更新的數字的個數也最多也不超過sqrt(n),而對於這部分數據咱們能夠直接暴力更新就行了，而當D小於等於sqrt(n),咱們能夠用一個標記數組lazy[D]累計起來，標記
lazy[D]+=k,這樣咱們就至關於把區間[1,n]的任意下標x若是x<sqrt(n)把其和其在區間中的倍數當作一個塊，當咱們查詢區間和sum[l,r]時咱們即可以用當前區間和（使用樹狀數組ask(r)-ask(l-1)），加上各個塊在該區間的個數(r-l+1)乘以該塊的標記值(lazy數組值)。
例如：
n=12
下標： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
值： 2 1 7 14 6 4 1 7 10 3 7 9

塊數目sqrt(n)=3
把下標爲1的倍數當作是一塊，即下標爲1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12的數
把下標爲2的倍數也當作是一塊，即下標爲 2 4 6 8 10 12的這幾個數
把下標爲3的倍數也當作是一塊，即下標爲3 6 9 12的這幾個數
當D的值大於3時，如D=5，k=1，咱們就直接暴力更新各個值更新下標爲5的值和下標爲10的值變成：
下標： 1   2   3   4   5   6   7   8  9   10  11   12
值：   2   1   7  14   7  4   1   7  10   4   7   9
而當D=2，k=1時，咱們選擇不更新數組，而是直接用lazy數組標記，使得lazy[2]+=1，它表示的是2的倍數這一整塊數都須要加上1
而後當咱們詢問區間和時，如詢問區間[3,10]的和時，咱們先用樹狀數組求數組在該區間的和sum=7+14+7+4+1+7+10+4=54；
而後咱們遍歷每個塊，看是否含有標記值，若是有，則加上該塊的標記值*該塊在查詢區間內的我的。
在例子中，lazy[1]爲0（1的倍數並未被標記），表示無標記，則跳過；
當遍歷到2的倍數這一塊時，由於lazy[i]=1含有值，因此咱們須要使sum+=lazy[2]+(10/2-3/2)(其中10/2-3/2表示區間[3,10]中2的倍數的個數)
而當遍歷到3的倍數時，由於lazy[3]=0因此也會跳過，這樣咱們便得出告終果。

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=1e6; int n,m; ll sum[maxn],lazy[maxn]; int lowbit(int x){return x&(-x);} void add(int x,ll val){ for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) sum[i]+=val; } ll ask(int x){ ll res=0; for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) res+=sum[i]; return res; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); int block=sqrt(n); while(m--){ int id,x,y; scanf("%d%d%d",&id,&x,&y); if(id==1){ if(x>block) for(int i=x;i<=n;i+=x)add(i,y);  //想較大，暴力更新下標爲x的倍數的值
            else lazy[x]+=y;  //x值較小，用數組標記x的倍數這個塊
 } else{ ll ans=ask(y)-ask(x-1); for(int i=1;i<=block;i++) if(lazy[i])  //若是這個塊有標記值，加上該標記值
                    ans+=(y/i-(x-1)/i)*lazy[i]; printf("%lld\n",ans); } } return 0; }