關於gcd

內容：

\(gcd(a,b)=gcd(b,a\% b)\)

用途：

這不廢話嘛，固然是用來求最大公約數啊

證實：(這仍是四月份的時候cdx巨佬給我講的qwq)

設\(d=gcd(a.b)\)
則有\(a=md,b=nd\), \(\Rightarrow\) \(a-b=(m-n)d\)
\(\because\) \(m\)與\(n\)互質
\(\therefore\) \((m-n)\)與\(n\)互質
\(\therefore\) \(gcd((m-n)d,nd)=d\)即\(gcd(a-b,b)=d\)
\(\therefore\) \(gcd(a,b)=gcd(a-b,b)\)
\(\therefore\) \(gcd(a,b)=gcd(a\%b,b)\)

關於爲何\(m-n\)與\(n\)互質：
證實：假設\(m-n\)不與\(n\)互質，有\(gcd(m-n,n)=p,p\neq 1\)
則\(m-n=xp,n=yp\)
\(\therefore\) \(m=(x+y)p\)
\(\therefore\) \(a=md=(x+y)pd,b=nd=ypd\)
\(\therefore\) \(a,b\)有公約數\(pd\)
$\because $ \(gcd(a,b)=d\)
\(\therefore\) \(p=1\)與假設矛盾
故\(m-n\)與\(n\)互質

Code：

int gcd(int x, int y) {
    return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
}

謝謝收看，祝身體健康！