淺入淺出數據結構（18）——希爾排序

　　在上一篇博文中咱們提到：要令排序算法的時間複雜度低於O(n²)，必須令算法執行「遠距離的元素交換」，使得平均每次交換減小不止1逆序數。

　　而希爾排序就是「簡單地」將這個道理應用到了插入排序中，將插入排序小小的升級了一下。那麼，希爾排序是怎麼將這個道理應用於插入排序的呢？咱們先來回顧一下插入排序的代碼：

void InsertionSort(int *a, unsigned int size)
{//StartPos表示執行插入操做的元素開始插入時的下標
   //令StartPos從1遞增至size-1，對於每一個a[StartPos]，咱們執行向前插入的操做
   for (int StartPos = 1;StartPos < size;++StartPos) 
       for (int CurPos = StartPos;CurPos != 0;--CurPos)
           if(a[CurPos - 1] > a[CurPos])
              swap(&a[CurPos],&a[CurPos-1]);   //令當前元素與前一元素交換
}

 

　　不難看出，在插入排序中，對於每個元素，咱們都令其執行「向前插入」操做，直至到達順序位置。可是，在「向前插入」這個操做中，每一次「當前元素」都是與前一元素進行比較，而這也是插入排序時間複雜度沒能低於O(n²)的緣由。

　　因此，希爾排序與插入排序之間的區別就是：希爾排序在「向前插入」時，「當前元素」老是與前k元素（若當前元素下標爲n，則前k元素即下標爲n-k的元素）進行比較，而且第一個開始「插隊」的元素再也不是[1]，而是[k]。從代碼角度來講，即是將插入排序的循環改成：

   //StartPos表示執行插入操做的元素開始插入時的下標
   //令StartPos從k遞增至size-1，對於每一個a[StartPos]，咱們執行向前插入的操做
   for (int StartPos = k;StartPos < size;++StartPos) 
       for (int CurPos = StartPos;CurPos >= k;CurPos-=k)
           if(a[CurPos - k] > a[CurPos])
              swap(&a[CurPos],&a[CurPos-k]);   //令當前元素與前k元素交換

　　不難看出，插入排序就是k=1的狀況。通過上述代碼處理後，數據能夠保證以下屬性：

　　a[n],a[n+k],a[n+2k]……a[n+x*k]有序，其中0=<n<size且n+x*k<size，也就是說：全部相隔距離爲k的元素組成的數列都有序（當k爲1時即全體有序）

 

　　舉個實例來看看，假設數組以下，間距爲3的元素用同色標註：

　　35,30,32,28,12,41,75,15,96,58,81,94,95

　　令k=3，進行k=3的「插入排序」後，間距爲3的元素互相有序：

　　28,12,32,35,15,41,58,30,94,75,81,96,95

 

　　分析上例能夠看出，當k>1時，間距爲k的k-插入排序的交換能夠實現「遠距離交換元素」，上例中，3-的插入排序交換了5次元素，逆序數減小了9，平均一次交換減小了1.8逆序數。

　　同時能夠看出，上述屬性，只有在k爲1時才能保證整個數組有序，也即普通插入排序的狀況，而k>1時則不能。也就是說，要想「遠距離交換元素」，就要令k>1，而k>1卻又不能保證數組最後有序，那該怎麼辦呢？

　　萬幸的是，咱們有這麼一個定理：

　　若數組已經進行過間距爲k的k-插入排序，即已經肯定間距爲k的元素互相有序，則對數組進行間距爲(k-1)的(k-1)-插入排序後，數組依然保持「間距爲k的元素互相有序」

　　用大白話來講，就是：雖然k>1的k-插入排序不能保證數組徹底有序，但能夠保證不增長數組的逆序數。

　　因而，希爾排序的發明者唐納德·希爾想出了這麼一個辦法，也就是希爾排序：先進行k比較大的「插入排序」，而後逐步減少k的值，直至k=1。這樣一來，希爾排序就能保證最後數組有序。

　　接下來的問題就是，k的初始值該如何選？k又該如何減少至1？這一點相當重要，其重要性相似於哈希函數對於哈希表的意義。咱們稱k從初始值k_n減少至1的各值：k_n,k_n-1,k_n-2……1組成的序列稱爲「增量序列」，即「增量」（Increment，意指k的大小）組成的序列。希爾本人推薦的增量序列是初始值爲size/2，任一k_n-1=k_n/2。這樣一來，使用希爾增量序列的希爾排序完整算法以下：

void ShellSort(int *a, unsigned int size)
{
    unsigned int CurPos, Increment;  //CurPos表示執行插入的元素當下所處的下標，Increment即增量k
    int temp;   //用於暫存當前執行插入操做的元素值，能夠減小交換操做
    
    //Increment從size/2開始，按Increment/=Increment的方式遞減至1
    for (Increment = size / 2;Increment > 0;Increment /= 2)
        //下方代碼與插入排序幾乎相同，只是比較對象由[CurPos-1]變爲[CurPos-Increment]
        for (unsigned int StartPos = Increment;StartPos < size;++StartPos)
        {
            temp = a[StartPos];
            for (CurPos = StartPos;CurPos >= Increment&&a[CurPos - Increment] > temp;CurPos -= Increment)
                a[CurPos] = a[CurPos - Increment];
            a[CurPos] = temp;
        }
}

 

　　接下來，咱們以希爾增量序列爲例，說明爲何增量序列的設定對於希爾排序性能相當重要：

　　設數據爲：1,9,2,10,3,11,4,12，則對應增量序列爲4,2,1

　　4-插入排序後：1,9,2,10,3,11,4,12

　　2-插入排序後：1,9,2,10,3,11,4,12

　　1-插入排序後：1,2,3,4,9,10,11,12

　　不難發現，這個例子中的增量序列很很差，4-排序和2-排序都沒有任何的有效操做。這個例子告訴咱們兩件事：

　　1.增量序列對於希爾排序的性能很是重要，差的增量序列會減小須要本能夠執行的「遠距離交換」

　　2.希爾推薦的增量序列編程實現簡單，但實際應用中表現並很差，緣由在於其增量序列不互素。

　　而且能夠肯定的是，若需排序的數組a大小n爲2的冪，任一x爲偶數的a[x]均大於x爲奇數的a[x]，且a[x]>a[x-2]，則希爾的增量序列只有在進行1-排序時纔有交換操做。

　　舉例來講：9,1,10,2,11,3,12,4,13,5,14,6,15,7,16,8。

　　其增量序列爲8,4,2,1，可是8-排序、4-排序與2-排序都沒有交換元素。

　　此外，若某元素排序前位於下標奇數處，排序後所在位置爲i，則進行1-排序前，其位置在2*i+1處（如例中元素4，其下標爲奇數，其有序位置應爲3，1-排序前位置爲7），而將其從位置2*i+1移動至i須要執行i+1次交換，這樣的元素（下標奇數）共有n/2個，因此將這些元素移動至正確位置就須要(0+1)+(1+1)+(2+1)+……+(N/2+1)共N²/8-N/4，時間複雜度爲O(n²)。可見，使用希爾增量序列希爾排序的最壞狀況是O(n²)

 

 

　　那麼，希爾排序的增量序列該如何選擇呢？本文給出兩個序列，它們都比希爾增量序列要好：

　　1.Hibbard序列：{1,3,7……2^k-1}，k爲大於0的天然數，使用Hibbard序列的希爾排序平均運行時間爲θ(n^5/4)，最壞情形爲O(n^3/2)。

　　2.Sedgewick序列：令i爲天然數，將9*4-9*2+1的全部結果與4-3*2+1的全部結果進行並集運算，所得數列{1,5,19,41,109……}。使用此序列的希爾排序最壞情形爲O(n^4/3)，平均情形爲O(n^7/6)

　　如何實現這兩個序列的希爾排序並非難事，Hibbard序列能夠直接經過計算得出初始值（小於數組大小便可），然後每次令Increment=(Increment-1)/2便可。Sedgewick序列則稍稍麻煩點，須要先將序列計算出足夠項（最後一項小於數組大小），然後存於某個數組，再不斷從中取出元素做爲增量。

 

　　希爾排序的性能（使用Sedgewick序列）在數據量較大時依然是不錯的。若是說插入排序是咱們的「初級排序」，用於較少數據或趨於有序數據的狀況，那麼希爾排序就是咱們的「中級排序」，用於數據量偏多的狀況。固然，當數據量極大時，咱們將用上咱們的「高級排序」——快速排序。至於怎麼樣算數據量偏多，這個就須要因情境而異了，數據的存儲形式等都是須要考慮的問題，通常來講數據量爲萬級時咱們使用希爾排序，數據量爲十萬、百萬級時使用快速排序，而數據量爲百、千級時插入排序和希爾排序均可以考慮。而且須要再次說明的是，數據越趨於有序，則插入排序越快。從這個角度來講，插入排序也不失爲一個「高級排序」。

　　那麼，咱們學習堆時提到的用堆進行排序的想法，明明有着很好的時間界O(N*logN)，爲何不在考慮之列呢？咱們下一篇博文就簡單地分析分析。