從「楊輝三角形」談起

時間 2019-11-12

標籤三角形談起简体版

原文原文鏈接

楊輝三角是二項式係數在三角形中的一種幾何排列，中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現。在歐洲，帕斯卡（1623~1662）在1654年發現這一規律，因此這個表又叫作帕斯卡三角形。帕斯卡的發現比楊輝要遲393年。php

若是將(a+b)ⁿ(n爲非負整數)的每一項按字母a的次數由小到大排列，就能夠獲得下面的等式：html

(a+b)⁰=1 ，它只有一項，係數爲1；
(a+b)¹=a+b ，它有兩項，係數分別是1，1；
(a+b)²=a²+2ab+b²，它有三項，係數分別是1，2，1；
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³，它有四項，係數分別是1，3，3，1；
……算法

由此，可得下面的圖表，這個圖表就是楊輝三角形。編程

觀察上圖表，咱們發現每一行的首末都是1，而且下一行的數比上一行多1個，中間各數都寫在上一行兩數中間，且等於它們的和，能夠按照這個規律繼續將這個表寫下去。數組

【例1】楊輝三角形。網絡

輸入n（1<=n<=30)，輸出楊輝三角形的前n行。ide

（1）編程思路1。ui

用一個二維數組 y[31][31] 來保存楊輝三角形每一行的值。楊輝三角形第row行能夠由第row－1行來生成。this

例如：spa

數組元素	Y[row][1]	Y[row][2]	Y[row][3]	Y[row][4]	Y[row][5]
Row=4行	1	3	3	1	0
Row=5行	1	4	6	4	1

由上表知：當row＝5時， y[5][1] = 1，

y[5][2] = y[4][1] + y[4][2]， y[5][3] = y[4][2] + y[4][3]，

y[5][4] = y[4][3] + y[4][4] ， y[5][5] = y[4][4] + y[4][5]

通常的，對於第row（1～30）行，該行有row＋1個元素，其中：

y[row][1]=1

第col（2～row+1)個元素爲： y[row][col] = y[row-1][col-1] + y[row-1][col]。

（2）源程序1。

#include <stdio.h>
int main()
{
int n,i,j,y[31][31]={0};
for (i=1;i<=30;i++) // 賦行首與行尾元素值爲1
y[i][1]=y[i][i]=1;
for (i=3;i<=30;i++) // 每行中間元素賦值
for (j=2;j<i;j++)
y[i][j]=y[i-1][j-1]+y[i-1][j];
while (scanf("%d",&n)!=EOF)
{
for (i=1;i<=n;i++)
{
for (j=1;j<=i;j++)
{
if (j!=1) printf(" ");
printf("%d",y[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}
return 0;
}

（3）編程思路2。

用一個一維數組 y[30] 來保存楊輝三角形某一行的值。楊輝三角形第row行能夠由第row－1行來生成。

例如：

數組元素	Y[0]	Y[1]	y[2]	Y[3]	Y[4]
Row-1=3行	1	3	3	1	0
Row=4行	1	4	6	4	1

由上表知：當row＝4時，y[4] = y[4]+y[3]， y[3] = y[3]+y[2]，

y[2] = y[2]+y[1] ， y[1] = y[1]+y[0]，

y[0]=1

通常的，對於第row（0～9）行，該行有row＋1個元素，

第col（row～1)個元素爲： y[col]=y[col]+y[col-1]，

y[0]=1

（4）源程序2。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{
int y[30],row,col,n;
while (scanf("%d",&n)!=EOF)
{
memset(y,0,sizeof(y)); // 數組元素初始化爲0
y[0]=1;
printf("%d\n",y[0]);
for (row=1;row<n;row++)
{
for (col=row;col>=1;col--)
y[col]=y[col]+y[col -1];
for (col=0;col<=row;col++)
{
if (col!=0) printf(" ");
printf("%d",y[col]);
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}
return 0;
}

將上面的兩個源程序提交給HDU 2032「楊輝三角」，都可以Accepted。

下面咱們進一步討論一下楊輝三角形。

咱們根據楊輝三角形前16行中每一個數的奇偶性決定是否輸出一個特定字符。好比若是是奇數，輸出一個「*」號；是偶數，輸出一個空格。編寫以下的程序：

#include <stdio.h>
int main()
{
int n,i,j,y[17][17]={0};
for (i=1;i<=16;i++) // 賦行首與行尾元素值爲1
y[i][1]=y[i][i]=1;
for (i=3;i<=16;i++) // 每行中間元素賦值
for (j=2;j<i;j++)
y[i][j]=y[i-1][j-1]+y[i-1][j];
for (i=1;i<=16;i++)
{
for (j=1;j<=i;j++)
if (y[i][j]%2==1) printf("* ");
else printf(" ");
printf("\n");
}
return 0;
}

運行上面的程序，能夠獲得以下的運行結果。

運行結果的圖形是一個遞歸深度爲4的三角形。經過這個圖形，咱們感受楊輝三角形中每一個數字的奇偶應該知足必定的規律。

組合數C(n,m)是指從n個元素中選出m個元素的全部組合個數。其通用計算公式爲：

C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!] C(0,0)=1 C(1,0)=1 C(1,1)=1
從n個元素中取m個元素，考慮第n個元素，有兩種狀況：（1）不取。則必須在前n-1個元素中取m個元素，方案數爲C(n-1,m)；（2）取。則只需在前n-1個元素中取m-1個元素，方案數爲C(n-1,m-1)。所以， C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)

這正好符合楊輝三角形的遞推公式。即楊輝三角中第i行第j列的數字正是C（i,j）的結果。所以，下面對楊輝三角形中各行各列數字的討論轉化爲對組合數C(n,m)的討論。

【例2】組合數的奇偶性。（POJ 3219）

二項式係數C(n, m)因它在組合數學中的重要性而被普遍地研究。二項式係數能夠以下遞歸的定義：

C(1, 0) = C(1, 1) = 1；
C(n, 0) = 1 對於全部n > 0；
C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m) 對於全部0 < m ≤ n。

給出n和k，肯定C(n, m)的奇偶性。

（1）編程思路1。
對於給定C(n,m)，檢查n！中2因子的個數與m！和(n-m)！中2因子個數和的關係，假設n!中2因子個數爲a，m!中2因子個數爲b，(n-m)!中2因子個數爲c，則顯然有a>=(b+c)；而且當a==b+c時，必定爲奇，不然爲偶。

（2）源程序1。

#include <stdio.h>
int getTwo(int x) // x!中2的因子的個數
{
int cnt=0;
while (x/2!=0)
{
cnt += x/2;
x=x/2;
}
return cnt;
}
int main()
{
int n,k;
while (scanf("%d%d", &n,&k)!=EOF)
{
if (getTwo(n)-getTwo(k)-getTwo(n-k)>0)
printf("0\n");
else
printf("1\n");
}
return 0;
}

（3）編程思路2。

前面經過楊輝三角形中數字的奇偶性輸出「*」圖時，咱們感受其數字的奇偶性與數字所在的行號和列號有必定的關係，即組合數C(n,m)的奇偶性與n和m有對應關係。

根據網絡上的資料，給出結論以下：

　　組合數的奇偶性斷定方法爲:
　　對於C(n,m)，若n&m == m 則C(n,m)爲奇數，不然爲偶數。
　　證實： // 下面的證實採用數學概括法，若是沒興趣，跳過便可，知道結論好了！

　　由C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1);
　　對應於楊輝三角：
　　1
　　1 2 1
　　1 3 3 1
　　1 4 6 4 1
　　………………
　　能夠驗證前面幾層及m = 0時知足結論，下面證實在C(n-1,m)和C(n-1,m-1) (m>0) 知足結論的狀況下，C(n,m)知足結論。
　　1）假設C(n-1,m)和C(n-1,m-1)爲奇數：
　　則有：(n-1)&m == m;
　　 (n-1)&(m-1) == m-1;
　　因爲m和m-1的最後一位（在這裏的位指的是二進制的位，下同）必然是不一樣的，因此n-1的最後一位必然是1。
　　現假設 n&m == m。
　　則一樣由於n-1和n的最後一位不一樣推出m的最後一位是1。
　　由於n-1的最後一位是1，則n的最後一位是0，因此n&m != m，與假設矛盾。
　　因此得 n&m != m。
　　2）假設C(n-1,m)和C(n-1,m-1)爲偶數：
　　則有：(n-1)&m != m;
　　 (n-1)&(m-1) != m-1;
　　現假設n&m == m.
　　則對於m最後一位爲1的狀況：
　　此時n最後一位也爲1，因此有(n-1)&(m-1) == m-1，與假設矛盾。
　　而對於m最後一位爲0的狀況：
　　則m的末尾必有一部分形如：10; 表明任意個0。
　　相應的，n對應的部分爲： 1{*}*; *表明0或1。
　　而若n對應的{*}*中只要有一個爲1，則(n-1)&m == m成立，因此n對應部分也應該是10。
　　則相應的，m-1和n-1的末尾部分均爲01,因此(n-1)&(m-1) == m-1 成立，與假設矛盾。
　　因此得 n&m != m。
　　由1)和2)得出當C(n,m)是偶數時，n&m != m。
　　3）假設C(n-1,m)爲奇數而C(n-1,m-1)爲偶數：
　　則有：(n-1)&m == m;
　　 (n-1)&(m-1) != m-1;
　　顯然，m的最後一位只能是0，不然由(n-1)&m == m便可推出(n-1)&(m-1) == m-1。
　　因此m的末尾必有一部分形如：10;
　　相應的，n-1的對應部分爲： 1{*}*;
　　相應的，m-1的對應部分爲： 01;
　　則若要使得(n-1)&(m-1) != m-1 則要求n-1對應的{*}*中至少有一個是0.
　　因此n的對應部分也就爲： 1{*}*; (不會由於進位變1爲0)
　　因此 n&m = m。
　　4).假設C(n-1,m)爲偶數而C(n-1,m-1)爲奇數：
　　則有：(n-1)&m != m;
　　 (n-1)&(m-1) == m-1;
　　分兩種狀況：
　　當m-1的最後一位爲0時:
　　則m-1的末尾必有一部分形如: 10;
　　相應的，m的對應部分爲 : 11;
　　相應的，n-1的對應部分爲 : 1{*}0; (若爲1{*}1,則(n-1)&m == m)
　　相應的，n的對應部分爲 : 1{*}1;
　　因此n&m = m。
　　當m-1的最後一位爲1時:
　　則m-1的末尾必有一部分形如: 01; (前面的0能夠是附加上去的)
　　相應的，m的對應部分爲 : 10;
　　相應的，n-1的對應部分爲 : 01; (若爲11，則(n-1)&m == m)
　　相應的，n的對應部分爲 : 10;
　　因此n&m = m。
　　由3),4)得出當C(n,m)爲奇數時，n&m = m。
　　綜上，結論得證!

（4）源程序2。

#include <stdio.h>
int main()
{
int n,k;
while (scanf("%d%d", &n,&k)!=EOF)
{
if ((n&k)==k)
printf("1\n");
else
printf("0\n");
}
return 0;
}

根據組合數的奇偶性斷定方法: 對於C(n,m)，若n&m == m 則C(n,m)爲奇數，不然爲偶數。

能夠寫出以下一個程序。

#include <stdio.h>
int main()
{
int n,i,j;
while (scanf("%d",&n) && n!=0)
{
for (i=0;i<(2<<(n-1));i++)
{
for (j=0;j<=i;j++)
if ((i&j)==j) printf("* ");
else printf(" ");
printf("\n");
}
}
return 0;
}

運行這個程序，輸入4，能夠獲得前面所示的星號圖形。有一次，我在網上隨意瀏覽時，發現上面這個程序，當時以爲有些奇妙，有些小神奇。由於，要輸出一個遞歸形式的星號圖形，我習慣性地採起遞歸的方法。例如，爲達到上面程序的功能，根據輸入的n，輸出相應的遞歸圖形，我會編寫以下的程序：

#include <stdio.h>
#define N 64
void draw(char a[][N], int n, int row, int col)
{
if(n==1)
{
a[row][col] = '*';
return;
}
int w = 1;
int i;
for(i=1; i<=n-2; i++) w *= 2;
draw(a, n-1, row, col);
draw(a, n-1, row+w, col+w);
draw(a, n-1, row+w,col);
}
int main()
{
char a[N][N];
int n,w,i,j;
while (scanf("%d",&n) && n!=0)
{
for(i=0;i<N;i++)
for(j=0;j<N;j++)
a[i][j] = ' ';
w=1;
for(i=1; i<=n-1; i++) w *= 2;
draw(a,n,0,0);
for(i=0; i<w; i++)
{
for(j=0; j<w; j++)
printf("%c ",a[i][j]);
printf("\n");
}
}
return 0;
}

一個簡單的二重循環便可完成遞歸圖形的描繪，我當時還琢磨半天，怎麼會這樣？怎麼想出來的？怎麼會這樣，我如今明白了，組合數的奇偶性判斷規則。怎麼想出來的，也只能歸結於小神奇了，畢竟組合數的奇偶性剛好和一個遞歸圖形完美結合起來，單靠想是難想出來的。固然，對大牛們可能也簡單，我就呵呵了！

關於遞歸圖形的構造輸出，有興趣可看看個人另外一篇隨筆：遞歸（五）：遞歸圖形。下面採用二重循環的方法實現該隨筆中例2的遞歸圖形的輸出。

【例3】一個遞歸圖形。

小明在X星球的城堡中發現了以下圖形：

編寫一個程序，實現該圖形的打印。

（1）編程思路。

設row表明行號，col表明列號。用組合數的奇偶性判斷規則，若是是奇數（row & col ==col），輸出」*「；若是是偶數，就輸出空格。

輸入n（表明度，即遞歸深度，題幹中給出的兩個圖形的都分別爲4和6），輸出的行數row=2^n-1。因爲最後一行抵左端，從下往上每行向後縮進一個位置（經過輸出空格實現）。所以，第row行應先輸出的空格數爲 2^n-1-row-1。

（2）源程序。

#include <stdio.h>
int main()
{
int n,i,w,row,col;
while (scanf("%d",&n) && n!=0)
{
w=1;
for (i=1; i<=n-1; i++) w *= 2;
for (row=0; row<w; row++)
{
for (col=1; col<w-row; col++) // 完成縮進
printf(" ");
for (col=0;col<=row;col++)
if ((row & col)==col)
printf("* ");
else
printf(" ");
printf("\n");
}
}
return 0;
}

楊輝三角形做爲二項式係數有着重要的應用價值。熟練地構造出楊輝三角形的各項（見例1的源程序），能夠用來解決實際問題。

【例4】新生晚會（HDU 2519）。

Problem Description
開學了，杭電又迎來了好多新生。ACMer想爲新生準備一個節目。來報名要表演節目的人不少，多達N個，可是隻須要從這N我的中選M個就夠了，一共有多少種選擇方法？
Input
數據的第一行包括一個正整數T，接下來有T組數據，每組數據佔一行。
每組數據包含兩個整數N（來報名的人數,1<=N<=30），M（節目須要的人數0<=M<=30）
Output
每組數據輸出一個整數，每一個輸出佔一行
Sample Input
5
3 2
5 3
4 4
3 6
8 0
Sample Output
3
10
1
0
1

（1）編程思路。

本題實質求組合數C(n,m)的值。構造一個楊輝三角形便可。

（2）源程序。

#include <stdio.h>
int main()
{
int n,m,i,j,t,y[31][31]={0};
for (i=1;i<=30;i++) // 賦行首與行尾元素值爲1
y[i][0]=y[i][i]=1; // 注意列標從0開始
for (i=2;i<=30;i++) // 每行中間元素賦值
for (j=1;j<i;j++)
y[i][j]=y[i-1][j-1]+y[i-1][j];
scanf("%d",&t);
while (t--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
printf("%d\n",y[n][m]);
}
return 0;
}

【例5】Code （POJ 1850）。

Description

Transmitting and memorizing information is a task that requires different coding systems for the best use of the available space. A well known system is that one where a number is associated to a character sequence. It is considered that the words are made only of small characters of the English alphabet a,b,c, ..., z (26 characters). From all these words we consider only those whose letters are in lexigraphical order (each character is smaller than the next character).

The coding system works like this:
• The words are arranged in the increasing order of their length.
• The words with the same length are arranged in lexicographical order (the order from the dictionary).
• We codify these words by their numbering, starting with a, as follows:
a - 1
b - 2
...
z - 26
ab - 27
...
az - 51
bc - 52
...
vwxyz - 83681
...

Specify for a given word if it can be codified according to this coding system. For the affirmative case specify its code.
Input

The only line contains a word. There are some constraints:
• The word is maximum 10 letters length
• The English alphabet has 26 characters.
Output

The output will contain the code of the given word, or 0 if the word can not be codified.
Sample Input

bf
Sample Output

（1）編程思路。

題目的意思是：已知26個英文字母的組合和數值的對應關係，如a~z表示第1~26列，ab~az表示第27~51，…。輸入字母組成的字符串str，問它對應的整數爲多少。

首先判斷輸入的str是不是升序序列，若是不是升序序列，則輸入不合法，直接輸出 0。

若是是升序序列，則先計算比str長度少的全部字符串個數。

假設str爲 vwxyz ，其長度爲5。則

長度爲1的字符串有 a,b,c,…，y,z 共 C(26,1)=26 個。

長度爲2的字符串

以a開頭的有 ab,ac,ad,…,ay,az 共 C(25,1)=25個；

以b開頭的有 bc,bd,…,by,bz 共 C(24,1)=24個；

以x開頭的有 xy,xz 共 C(2,1)=2個；

以y開頭的有 yz 共 C(1,1)=1個。

由數學公式：

知，長度爲2的字符串共有 C(1,1)+C(2,1)+…+C(24,1)+C(25,1)=C(26,2) 個。

同理，長度爲3的字符串共有 C(26,3) 個。

長度爲4的字符串共有 C(26,4) 個。

所以，長度比5小的字符串的總數爲： C(26,1)+C(26,2)+C(26,3)+C(26,4)=26+325+2600+14950=17901。

而後，從高位到低位處理長度爲5，但比str小的字符串的個數。

首位爲」v「，所以，首位爲a,b,…,u的字符串均比str小。

首位爲 a 的字符串有 abcde,abcdf, …，awxyz，共 C( 25,4)個，即後4個字母能夠在b~z這25個字母中任取4個。

首位爲 b 的字符串有 bcdef,bcdeg, …，bwxyz，共 C( 24,4)個，即後4個字母能夠在c~z這24個字母中任取4個。

……

首位爲 u 的字符串有 uvwxy，uvwxz，uvwyz，uvxyz，uwxyz，共 C(5,4)個，即後4個字母能夠在v~z這5個字母中任取4個。

所以，考慮首位後，比str小的字符串個數有

C(25,4)+C(24,4)+……+C(6,4)+C(5,4)=12650+10626+8855+7315+5985+4845+3876+3060+2380+1820+1365

+1001+ 715+ 495+ 330+ 210+ 126+ 70+ 35+ 15+ 5=65779

次位爲」w「，由於首位爲v，次位爲w，後3位的又都要比w大，不然不知足升序，所以只有xyz可選，考慮次位後，比str小的字符串個數爲0。

同理，考慮第3位、第4位及最後1位，比str小的字符串個數均爲0。

故 vwxyz 對應的數字爲： 17901+65779+1（表明自身）=83681。與題幹一致。

（2）源程序。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{
char s[15],ch,t;
int c[27][27],len,ans=1,flag;
int i,j;
for (i=1;i<=26;++i)
{
c[i][0]=1; c[i][i]=1;
for (j=1;j<i;++j)
c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
}
scanf("%s",s);
len=strlen(s);
flag=1;
for (i=1;i<len;i++) // 檢查輸入的字符串是否爲升序，不是則輸入不合法，輸出0
if (s[i]<=s[i-1])
{
flag=0;
break;
}
if (flag==0)
printf("0\n");
else
{
for (i=1;i<len;++i) // 長度比該串短的先加上
ans+=c[26][i];
for(i=0;i<len;i++) // 從高位進行處理對於每一位處理到該位的前一個，好比該位爲‘d'，就處理到c
{
ch=(i==0? 'a':(s[i-1]+1));
for (t=ch;t<s[i];t++)
ans+=c['z'-t][len-1-i];
}

printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}

POJ 1496 」Word Index「與本題相似，在理解了本題後，能夠順手經過POJ 1496。

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