【ACM】Knapsack without repetition - 01揹包問題

 

無界揹包中的狀態及狀態方程已經不適用於01揹包問題，那麼咱們來比較這兩個問題的不一樣之處，無界揹包問題中同一物品可使用屢次，而01揹包問題中一個揹包僅可以使用一次，區別就在這裏。咱們將 K(ω)改成 K(i,ω) 便可，新的狀態表示前 i 件物品放入一個容量爲 ω的揹包能夠得到的最大價值。

如今從以上狀態定義出發尋找相應的狀態轉移方程。K(i−1,ω)爲 K(i,ω)的子問題，若是不放第 i 件物品，那麼問題即轉化爲「前 i−1 件物品放入容量爲 ω 的揹包」，此時揹包內得到的總價值爲 K(i−1,ω)；若是放入第 i 件物品，那麼問題即轉化爲「前 i−1 件物品放入容量爲 ω−ωi 的揹包」，此時揹包內得到的總價值爲 K(i−1,ω−ωi)+vi. 新的狀態轉移方程用數學語言來表述即爲：K(i,ω)=max{K(i−1,ω),K(i−1,ω−ωi)+vi}

這裏的分析是以容量遞推的，可是在容量特別大時，咱們可能須要以價值做爲轉移方程。定義狀態dp[i + 1][j]爲前i個物品中挑選出價值總和爲j 時總重量的最小值（因此對於不知足條件的索引應該用充分大的值而不是最大值替代，防止溢出）。相應的轉移方程爲：前i - 1 個物品價值爲j, 要麼爲j - v[i](選中第i個物品). 即dp[i + 1][j] = min{dp[i][j], dp[i][j - v[i]] + w[i]}. 最終返回結果爲dp[n][j] ≤ W 中最大的 j.

 

以上咱們只是求得了最終的最大獲利，假如還須要輸出選擇了哪些項如何破？

以普通的01揹包爲例，若是某元素被選中，那麼其必然知足w[i] > j且大於以前的dp[i][j], 這還只是充分條件，由於有可能被後面的元素代替。保險起見，咱們須要跟蹤全部可能知足條件的項，而後反向計算有可能知足條件的元素，有可能最終輸出不止一項。

 

import java.util.*;

public class Backpack {
    // 01 backpack with small datasets(O(nW), W is small)
    public static int backpack(int W, int[] w, int[] v, boolean[] itemTake) {
        int N = w.length;
        int[][] dp = new int[N + 1][W + 1];
        boolean[][] matrix = new boolean[N + 1][W + 1];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int j = 0; j <= W; j++) {
                if (w[i] > j) {
                    // backpack cannot hold w[i]
                    dp[i + 1][j] = dp[i][j];
                } else {
                    dp[i + 1][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][j - w[i]] + v[i]);
                    // pick item i and get value j
                    matrix[i][j] = (dp[i][j - w[i]] + v[i] > dp[i][j]);
                }
            }
        }

        // determine which items to take
        for (int i = N - 1, j = W; i >= 0; i--) {
            if (matrix[i][j]) {
                itemTake[i] = true;
                j -= w[i];
            } else {
                itemTake[i] = false;
            }
        }

        return dp[N][W];
    }

    // 01 backpack with big datasets(O(n\sigma{v}), W is very big)
    public static int backpack2(int W, int[] w, int[] v) {
        int N = w.length;
        // sum of value array
        int V = 0;
        for (int i : v) {
            V += i;
        }
        // initialize
        int[][] dp = new int[N + 1][V + 1];
        for (int[] i : dp) {
            // should avoid overflow for dp[i][j - v[i]] + w[i]
            Arrays.fill(i, Integer.MAX_VALUE >> 1);
        }
        dp[0][0] = 0;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int j = 0; j <= V; j++) {
                if (v[i] > j) {
                    // value[i] > j
                    dp[i + 1][j] = dp[i][j];
                } else {
                    // should avoid overflow for dp[i][j - v[i]] + w[i]
                    dp[i + 1][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i][j - v[i]] + w[i]);
                }
            }
        }

        // search for the largest i dp[N][i] <= W
        for (int i = V; i >= 0; i--) {
            // if (dp[N][i] <= W) return i;
            if (dp[N][i] <= W) return i;
        }
        return 0;
    }

    // repeated backpack
    public static int backpack3(int W, int[] w, int[] v) {
        int N = w.length;
        int[][] dp = new int[N + 1][W + 1];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int j = 0; j <= W; j++) {
                if (w[i] > j) {
                    // backpack cannot hold w[i]
                    dp[i + 1][j] = dp[i][j];
                } else {
                    dp[i + 1][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i + 1][j - w[i]] + v[i]);
                }
            }
        }

        return dp[N][W];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] w1 = new int[]{2, 1, 3, 2};
        int[] v1 = new int[]{3, 2, 4, 2};
        int W1 = 5;
        boolean[] itemTake = new boolean[w1.length + 1];
        System.out.println("Testcase for 01 backpack.");
        int bp1 = backpack(W1, w1, v1, itemTake); // bp1 should be 7
        System.out.println("Maximum value: " + bp1);
        for (int i = 0; i < itemTake.length; i++) {
            if (itemTake[i]) {
                System.out.println("item " + i + ", weight " + w1[i] + ", value " + v1[i]);
            }
        }

        System.out.println("Testcase for 01 backpack with large W.");
        int bp2 = backpack2(W1, w1, v1); // bp2 should be 7
        System.out.println("Maximum value: " + bp2);

        int[] w3 = new int[]{3, 4, 2};
        int[] v3 = new int[]{4, 5, 3};
        int W3 = 7;
        System.out.println("Testcase for repeated backpack.");
        int bp3 = backpack3(W3, w3, v3); // bp3 should be 10
        System.out.println("Maximum value: " + bp3);
    }
}